2022-2023学年贵州省黔西南州八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年贵州省黔西南州八年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面分别是三根小木棒的长度，能摆成三角形的是( )
A. 5cm，8cm，2cmB. 5cm，8cm，13cm
C. 5cm，8cm，5cmD. 2cm，7cm，5cm
2.汉字称之为方块字，是中国几千年来汉字书写规范的传统结论．下列方块字中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. a2+a2=a4B. 2a−a=2C. (a2)3=a5D. (ab)2=a2b2
4.使分式x−1x+2有意义的x的取值范围是( )
A. x≥−2B. x≤−2C. x>−2D. x≠−2
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=∠BCD，则△BDC是( )
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 钝角三角形
6.如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=4.2，F是射线OB上的任一点，则DF的长度不可能是( )
A. 3.9
B. 4.2
C. 4.7
D. 5.84
7.如图，△ABC≌△DEC，B，C，D三点在同一直线上，若CE=6，AC=9，则BD的长为( )
A. 3B. 9C. 12D. 15
8.如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若CD=6，则AD的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 4.5
9.元旦节前后，小丽两次到同一超市购买同一种彩带用于装饰.节前，按标价购买，用了90元;节后由于超市打折促销，按标价的5折购买，用了60元，两次一共购买了35卷.这种彩带每卷标价多少元?设这种彩带每卷标价x元，则可列方程为( )
A. 90x+600.5x=35B. 90x+605x=35C. 900.5x+60x=35D. 905x+60x=35
10.下列叙述：
①两边及一角对应相等的两个三角形全等；
②面积相等的两个三角形全等；
③角平分线上的点到角两边的线段相等；
④全等三角形对应边上的高相等．
其中正确的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
11.在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便.原理是：如对于多项式x4−y4，因式分解的结果是(x+y)(x−y)(x2+y2)，若取x=9，y=9，则各个因式的值是：x−y=0，x+y=18，x2+y2=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式x3−xy2，取x=20，y=10，用上述方法产生的密码不可能是( )
A. 102030B. 103020C. 305010D. 201030
12.如图，已知正方形ABCD，顶点A(1,3)，B(1,1)，C(3,1)，规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2023次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为( )
A. (−2019,2)
B. (−2020,−2)
C. (−2021,−2)
D. (−2022,2)
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.计算：|−2|+(π−1)0= ．
14.已知0.000049=4.9×10n，则n= ______ ．
15.已知在等腰三角形ABC中，D为BC的中点AD=12，BD=5，AB=13，点P为AD边上的动点，点E为AB边上的动点，则PE+PB的最小值为______．
16.pn表示多边形对角线的交点个数(指落在多边形内部的交点)如果这些交点都不重合(任意三条对角线不交于一点)，如图，四边形对角线交点个数P4=1，五边形对角线交点个数P5=5.则六边形对角线交点个数P6=______；发现Pn=n⋅n−14⋅n−aa⋅n−bb(其中a，b是常数n≥4)，则P12=______．
三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
计算
(1)解分式方程：3x2−9+xx−3=1；
(2)先化简，再求值：(1+1a2−1)÷aa−1，其中a=−3．
18.(本小题10分)
(1)计算：(3x−y)(x+2y)；
(2)因式分解：a3b−ab3．
19.(本小题10分)
如图所示，在平面直角坐标系中，已知A(0,1)，B(2,0)，C(4,3)．
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，以及与△ABC关于y轴对称的△DEF；
(2)△ABC的面积是______；
(3)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
20.(本小题10分)
如图，△ABC是一张纸片，AD是BC边上的高线，把∠B沿着AD折叠，点B落在BC边上的B处．
(1)如果∠B=48°，∠C=∠CAB′，求∠C的度数；
(2)如果BD=4，BC=14，AD=5，求△AB′C的面积．
21.(本小题10分)
老师上课使用的等腰直角三角板不小心掉到两墙之间(墙与地面垂直)，如图所示．
(1)求证：△ADC≌△CEB；
(2)若已知DE=42cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小(每块砖的厚度相等)．
22.(本小题10分)
岳阳市区某中学为了创建“书香校园”，今年春季购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知学校用20000元购买的科普类图书的本数与用15000元购买的文学类图书的本数相等．
(1)求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？
(2)学校计划在五月份再添置600本这两类图书，且费用不超过10000元，问最多可以购买科普类图书多少本？
23.(本小题12分)
如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
(1)求证：OE垂直平分CD．
(2)若∠AOB=60°，OF=6，求EF的值．
24.(本小题12分)
我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法、运用公式法和十字相乘法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法，等等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法.例如：
x2−2xy+y2−4=(x2−2xy+y2)−4=(x−y)2−22=(x−y+2)(x−y−2)．
②拆项法，将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法.例如：
x2+2x−3=x2+2x+1−4=(x+1)2−22=(x+1−2)(x+1+2)=(x−1)(x+3)
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①(分组分解法)4x2+4x−y2+1；
②(拆项法)x2−6x+8；
(2)已知：a，b，c为△ABC的三条边，a2+b2+c2−4a−4b−6c+17=0，求△ABC的周长．
25.(本小题12分)
(1)如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，求线段EF、BE、FD之间的数量关系小明提供了这样的思路：延长EB到G，使BG=DF，连结AG，根据小明的思路，请直接写出线段EF、BE、FD之间的数量关系：______
(2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？说明理由；
(3)如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是三角形的三边关系，三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
根据三角形两边之和大于第三边判断即可．
【解答】
解：5cm+2cm<8cm，A不能摆成三角形；
5cm+8cm=13cm，B不能摆成三角形；
5cm+5cm>8cm，C能摆成三角形；
2cm+5cm=7cm，D不能摆成三角形，
故选：C．
2.【答案】C
【解析】解：“爱”、“我”，“华”都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
“中”能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
直接利用轴对称图形的定义进行判断．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】D
【解析】解：A、a2+a2=2a2，故本选项错误；
B、2a−a=a，故本选项错误；
C、(a2)3=a2×3=a6，故本选项错误；
D、(ab)2=a2b2，故本选项正确．
故选D．
根据合并同类项法则；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘对各选项分析判断即可得解．
本题考查合并同类项、幂的乘方和积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：由题意，
得x+2≠0，
解得x≠−2．
故选：D．
根据分式有意义，分母不能为零，可得答案．
本题考查了分式有意义的条件，掌握分母不能为零得出不等式是关键．
5.【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=180°−∠ACB=180°−90°=90°，
又∵∠A=∠BCD，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠BDC=180°−(∠B+∠BCD)=180°−90°=90°，
∴△BDC是直角三角形．
故选：C．
在Rt△ABC中，利用三角形内角和定理，可得出∠A+∠B=90°，结合∠A=∠BCD，可得出∠B+∠BCD=90°，再利用三角形内角和定理，可得出∠BDC=90°，进而可得出△BDC是直角三角形．
本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，找出∠BDC=90°是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：过D点作DH⊥OB于点H，如图所示：
∵OD平分∠AOB，DE⊥AO，DH⊥OB，
∴DH=DE=4.2，
∵F是射线OB上的任一点，
∴DF≥4.2，
故选：A．
过D点作DH⊥OB于点H，根据角平分线的性质得到DH=DE=4.2，再根据垂线段最短进行判断即可．
本题考查了角平分线的性质，垂线段最短等，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵△ABC≌△DEC，CE=6，AC=9，
∴BC=CE=6，CD=AC=9，
∴BD=BC+CD=6+9=15，
故选：D．
关键是根据全等三角形的性质解答即可．
此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应边相等解答．
8.【答案】B
【解析】解：作DE⊥BC于E，
∠C=180°−∠CAB−∠ABC=30°，
∴DE=12CD=3，
∵BD平分∠ABC，∠CAB=90°，DE⊥BC，
∴AD=DE=3，
故选：B．
作DE⊥BC于E，根据三角形内角和定理求出∠C，根据直角三角形30°角的性质求出DE，根据角平分线的性质定理解答．
本题考查的是角平分线的性质，直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：设这种彩带的标价是x元/卷，则节后的价格是0.5x元/卷，
依题意，得：90x+600.5x=35．
故选：A．
设这种彩带的标价是x元/卷，则节后的价格是0.5x元/卷，根据数量=总价÷单价结合两次一共购买了35卷，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：①两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，故①不符合题意；
②面积相等的两个三角形不一定全等，故②不符合题意；
③角平分线上的点到角两边的距离相等，故③不符合题意；
④全等三角形对应边上的高相等，正确，故④符合题意．
∴正确的个数有1个．
故选：A．
由全等三角形的判定和性质，即可判断
本题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
11.【答案】C
【解析】解：x3−xy2=x(x2−y2)=x(x−y)(x+y)，
当x=20，y=10时，x=18，x+y=23，x−y=13，
组成密码的数字应包括20，30，10，
故选：C．
对多项式利用提公因式法分解因式，利用平方差公式分解因式，然后把数值代入计算即可确定出密码．
本题主要考查分解因式的应用、完全平方公式分解因式，立意新颖，熟记公式结构是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：由题意知正方形的边长是2，M是正方形对角线的交点，可得M的坐标是(2,2)，
∵正方形连续经过2023次变换后，M向左平移2023个单位长度，
∴正方形连续经过2023次变换后，M横坐标是−2023+2=−2021，
∵翻折一次后M纵坐标是−2，翻折二次后M纵坐标是2，翻折三次后M纵坐标是−2，翻折四次后M纵坐标是2，
∴翻折奇数次后M纵坐标是−2，
∴正方形连续经过2023次变换后，M纵坐标是−2，
∴连续经过2023次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为(−2021,−2)．
故选：C．
由题目规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，得到正方形连续经过2022次变换后，横坐标是−2023+2=−2021，翻折偶数次后纵坐标是2，即可得到变换后的M的坐标．
本题考查翻折变换，坐标与图形变化−对称，坐标与图形变化−平移，关键是能发现图形变换的规律．
13.【答案】3
【解析】【分析】
此题主要考查了实数的运算，
根据绝对值和零指数幂的性质计算即可．
【解答】
解：|−2|+(π−1)0
=2+1
=3，
故答案为：3．
14.【答案】−5
【解析】解：0.000049=4.9×10n，则n=−5．
故答案为：−5．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
15.【答案】12013
【解析】解：∵AD=12，BD=5，AB=13，
∴AB2=AD2+BD2，
∴∠ADB=90°，
∵D为BC的中点，BD=CD，
∴AD垂直平分BC，
∴点B，点C关于直线AD对称，
过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB=CE的值最小，
∵S△ABC=12AB⋅CE=12BC⋅AD，
∴13⋅CE=10×12，
∴CE=12013，
∴PE+PB的最小值为12013，
故答案为：12013．
根据勾股定理的逆定理得到∠ADB=90°，得到点B，点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB=CE的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了轴对称−最短路线问题，勾股定理的逆定理，两点这间线段最短，线段垂直平分线的性质，三角形的面积公式，利用两点之间线段最短来解答本题．
16.【答案】15 495
【解析】解：由画图，可得：
当n=4时，P4=1；当n=5时，P5=5．
将数值将P4=1，P5=5代入公式，
得：1=4×4−14×4−aa×4−bb5=5×5−14×5−aa×5−bb，
解得：a=2b=3，
∴Pn=n⋅n−14⋅n−22⋅n−33，
∴六边形对角线交点个数P6=15，
P12=495，
故答案为：15，495．
依题意数出图形中对角线交点的个数即可得出结论；将P4=1，P5=5代入公式可得出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．
本题考查了多边形的对角线、二元一次方程组的应用，解题的关键是解决该题型题目时，依据题意，利用数形结合解决问题是关键．
17.【答案】解：(1)两边都乘以(x+3)(x−3)得：3+x(x+3)=(x+3)(x−3)，
解得x=−4，
经检验：x=−4是分式方程的解，
所以方程的解为x=−4；
(2)原式=[a2−1(a+1)(a−1)+1(a+1)(a−1)]⋅a−1a
=a2(a+1)(a−1)⋅a−1a
=aa+1，
当a=−3时，原式=−3−3+1=32．
【解析】(1)两边都乘以(x+3)(x−3)，化分式方程为整式方程，解之求出x的值，再检验即可得出答案；
(2)先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值和解分式方程，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
18.【答案】解：(1)(3x−y)(x+2y)
=3x2−xy+6xy−2y2
=3x2+5xy−2y2；
(2)a3b−ab3
=ab(a2−b2)
=ab(a+b)(a−b)．
【解析】(1)根据多项式乘多项式的法则计算即可；
(2)根据分解因式的方法分解因式即可．
本题考查了多项式乘多项式，分解因式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，△ABC和△DEF为所作；
(2)4；
(3)设P点坐标为(t,0)，
∵△ABP的面积为4，
∴12×|t−2|×1=4，
解得：t=−6或10，
∴P点坐标为(−6,0)或(10,0)．
【解析】解：(1)见答案；
(2)△ABC的面积=4×3−12×2×1−12×2×3−12×2×4=4；
故答案为4；
(3)见答案．
(1)先利用关于y轴对称的点的坐标特征得到D、E、F的坐标，然后描点即可；
(2)用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；
(3)设P点坐标为(t,0)，利用三角形面积公式得到12×|t−2|×1=4，然后求出t得到P点坐标．
本题考查了作图−轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了三角形面积公式．
20.【答案】解：(1)∵把∠B沿着AD折叠，
∴∠AB′B=∠B=48°，
∵∠AB′B=∠CAB′+∠C，∠C=∠CAB′，
∴∠C=12∠AB′B=24°；
(2)∵把∠B沿着AD折叠，点B落在BC边上的B′处，
∴DB′=DB=4，
∵BC=14，
∴CB′=BC−BD−B′D=6，
∵AD⊥BC，AD=5，
∴△AB′C的面积=12B′C⋅AD=12×6×5=15．
【解析】(1)根据折叠的性质和三角形外角的性质即可得到结论；
(2)根据折叠的性质和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，三角形的面积，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠BCEAC=BC，
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
(2)解：由题意得：一块墙砖的厚度为a，
∴AD=4a，BE=3a，
由(1)得：△ADC≌△CEB，
∴DC=BE=3a，AD=CE=4a，
∴DC+CE=BE+AD=7a=42，
∴a=6，
答：砌墙的厚度a为6cm．
【解析】(1)根据题意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可．
(2)利用(1)中全等三角形的性质进行解答．
此题主要考查了全等三角形的应用，等腰直角三角形，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
22.【答案】解：(1)设科普类书的单价为x元/本，则文学类书的单价为(x−5)元/本，
依题意：20000x=15000x−5，
解之得：x=20．
经检验，x=20是所列分程的根，且合实际，
∴x−5=15．
答：科普类书单价为20元/本，文学类书单价为15元/本；
(2)设科普类书购a本，则文学类书购(600−a)本，
依题意：20a+15(600−a)≤10000，
解之得：a≤200．
答：最多可购科普类图书200本．
【解析】(1)首先设科普类书的单价为x元/本，则文学类书的单价为(x−5)元/本，根据题意可得等量关系：20000元购买的科普类图书的本数=用15000元购买的文学类图书的本数，根据等量关系列出方程，再解即可．
(2)设科普类书购a本，则文学类书购(600−a)本，根据“费用不超过10000元”列出不等式并解答．
此题主要考查了一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的数量关系，列出方程(不等式)，注意分式方程不要忘记检验．
23.【答案】(1)证明：∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴ED=EC，
在Rt△ODE和Rt△OCE中，OE=OEED=EC，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE(HL)，
∴OD=OC；
∴点O、点E在线段CD的垂直平分线上，
∴OE是CD的垂直平分线；
(2)解：∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，
∴∠AOE=∠BOE=30°，
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，
∴∠EDF=30°，
∴DE=2EF，
∴OE=4EF，
∴OF=3EF=6，
∴EF=2．
【解析】(1)利用角平分线定理得到ED=EC，利用HL得到Rt△ODE≌Rt△OCE；得出OD=OC，得出点O、点E在线段CD的垂直平分线上，即可得出结论；
(2)由OE为角平分线，且∠AOB=60°，得到∠DOE=∠EDF=30°，在直角三角形ODE中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到OE=2DE，在直角三角形DEF中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到DE=2EF，等量代换即可得证．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
24.【答案】解：(1)①4x2+4x−y2+1
=(4x2+4x+1)−y2
=(2x+1)2−y2
=(2x+y+1)(2x−y+1)．
②x2−6x+8
=x2−6x+9−1
=(x−3)2−1
=(x−3−1)(x−3+1)
=(x−4)(x−2)．
(2)∵a2+b2+c2−4a−4b−6c+17=0，
∴(a2−4a+4)+(b2−4b+4)+(c2−6c+9)=0，
∴(a−2)2+(b−2)2+(c−3)2=0，
∴a=2，b=2，c=3，
∴a+b+c=2+2+3=7．
∴△ABC的周长为7．
【解析】(1)①将4x2+4x−y2+(1分)组成为(4x2+4x+1)−y2=(2x+1)2−y2分解即可．
②将x2−6x+8拆项为(x2−6x+9)−(1分)解即可；
(2)分组拆项配成完全平方式的和形式(a2−4a+4)+(b2−4b+4)+(c2−6c+9)=0，利用非负性计算即可．
本题考查了新方法分解因式及其应用，正确理解新方法，灵活运用新方法解题是解题的关键．
25.【答案】EF=BE+DF
【解析】解：(1)如图①中，延长EB到G，使BG=DF，连接AG．
∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，
∴△ABG≌△ADF(SAS)．
∴AG=AF，∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=12∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
又∵AE=AE，
∴△AEG≌△AEF(SAS)．
∴EG=EF．
∵EG=BE+BG．
∴EF=BE+FD．
故答案为：EF=BE+BG．
(2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立．
证明：如图②中，延长CB至M，使BM=DF，连接AM．
∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，
∴∠1=∠D，
在△ABM与△ADF中，
AB=AD∠A=∠DBM=DF，
∴△ABM≌△ADF(SAS)．
∴AF=AM，∠2=∠3．
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠2+∠4=12∠BAD=∠EAF．
∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF．
在△AME与△AFE中，
AM=AF∠MAE=∠EAFAE=AE，
∴△AME≌△AFE(SAS)．
∴EF=ME，即EF=BE+BM，
∴EF=BE+DF．
(3)结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE−FD．
证明：如图③中，在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF．
∵在△ABG与△ADF中，
AB=AD∠ABG=∠ADFBG=DF，
∴△ABG≌△ADF(SAS)．
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=12∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
∵AE=AE，
易证△AEG≌△AEF．
∴EG=EF
∵EG=BE−BG
∴EF=BE−FD．
(1)如图①中，延长EB到G，使BG=DF，连接AG.利用全等三角形的性质解决问题即可．
(2)思路和作辅助线的方法与(1)完全一样，只不过证明三角形ABG和ADF全等中，证明∠ABG=∠ADF时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与(1)的结果完全一样．
(3)按照(1)的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG.根据(1)的证法，我们可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE−BG=BE−DF.所以(1)的结论在(3)的条件下是不成立的．
本题属于三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的，属于中考压轴题．