初中数学浙教版八年级下册2.1 一元二次方程达标测试

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专题2.8 一元二次方程的根与系数的关系-重难点题型
【浙教版】


【知识点1 一元二次方程的根与系数的关系】
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是，那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
【题型1 利用根与系数的关系求代数式的值】
【例1】（2020秋•普宁市期末）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）＝　 　．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
∴原式＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4，
故答案为：4
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
【变式1-1】（2021•龙马潭区模拟）设x1，x2是方程x2+3x﹣3＝0的两个实数根，则x2x1+x1x2的值为　 　．
【分析】欲求x2x1+x1x2的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2+3x﹣3＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣3，x1•x2＝﹣3，
∴x2x1+x1x2=x12+x22x1⋅x2=(x1+x2)2-2x1⋅x2x1⋅x2=(-3)2-2×(-3)-3=-5．
故答案为﹣5．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
【变式1-2】（2020秋•解放区校级月考）一元二次方程x2+4x+1＝0的两个根是x1，x2，则x2x1-x1x2的值为　 　．（其中x2＞x1）
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣4，x1x2＝1，再通过通分和完全平方公式变形得到x2x1-x1x2=(x1+x2)(x2+x1)2-4x1x2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣4，x1x2＝1，
所以x2x1-x1x2=x22-x12x1x2
=(x1+x2)(x2-x1)x1x2
=(x1+x2)(x2+x1)2-4x1x2x1x2
=-4×(-4)2-4×11
＝﹣83．
故答案为﹣83
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．
【变式1-3】（2020秋•淇滨区校级月考）已知a、b是方程2x2+5x+1＝0的两实数根，则式子aab+bba的值为　 　．
【分析】利用根与系数的关系可得出a+b=-52，a•b=12，进而可得出a＜0，b＜0，再将a+b=-52，a•b=12代入aab+bba=-(a+b)2+2abab中即可求出结论．
【解答】解：∵a、b是方程2x2+5x+1＝0的两实数根，
∴a+b=-52，a•b=12，
∴a＜0，b＜0，
∴aab+bba=aa⋅aa⋅b+bb⋅ba⋅b=-a2-b2ab=-(a+b)2+2abab=-(-52)2+2×1212=-2124．
故答案为：-2124．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及实数的运算，牢记“两根之和等于-ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
【题型2 利用根与系数的关系求系数字母的值】
【例2】（2021•成都模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值　 　．
【分析】根据判别式的意义得到△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，然后解不等式求得k的取值范围，然后根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，再把x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16变形为﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16，所以﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，然后解方程后即可确定满足条件的k的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≤14，
由根与系数的关系得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，
∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．
∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，
即﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16，
∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，
整理得k2﹣2k﹣15＝0，
解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．
∴k＝﹣3，
故答案为﹣3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．也考查了根的判别式．
【变式2-1】（2019秋•萍乡期末）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的二根为x1，x2，且x12﹣x1+x2＝3x1x2，则m＝　 　．
【分析】根据根与系数的关系求得x1+x2＝2，x1•x2＝m，且x12﹣2x1+m＝0，然后将其代入已知等式列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的二根为x1、x2，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝m，且x12﹣2x1+m＝0，
∴x12﹣x1＝﹣m+x1，
∵x12﹣x1+x2＝3x1x2，
∴﹣m+x1+x2＝3x1x2，
即﹣m+2＝3m，
解得：m=12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了根与系数的关系．解题时，借用了“一元二次方程的解的定义”这一知识点．
【变式2-2】（2020春•文登区期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x1和x2，且x12﹣2x1+2x2＝x1x2，则k的值是　 　．
【分析】先由x12﹣2x1+2x2＝x1x2，得出x1﹣2＝0或x1﹣x2＝0，再分两种情况进行讨论：①如果x1﹣2＝0，将x＝2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0，得4+2（2k+1）+k2﹣2＝0，解方程求出k＝﹣2；②如果x1﹣x2＝0，那么△＝0，解方程即可求解．
【解答】解：∵x12﹣2x1+2x2＝x1x2，
x12﹣2x1+2x2﹣x1x2＝0，
x1（x1﹣2）﹣x2（x1﹣2）＝0，
（x1﹣2）（x1﹣x2）＝0，
∴x1﹣2＝0或x1﹣x2＝0．
①如果x1﹣2＝0，那么x1＝2，
将x＝2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0，
得4+2（2k+1）+k2﹣2＝0，
整理，得k2+4k+4＝0，
解得k＝﹣2；
②如果x1﹣x2＝0，
则△＝（2k+1）2﹣4（k2﹣2）＝0．
解得：k=-94．
所以k的值为﹣2或-94．
故答案为：﹣2或-94．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．
【变式2-3】（2020秋•武侯区校级月考）已知二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m+32=0的两个实数根为α和β，若|α|+|β|＝4，求m的值　 　．
【分析】先由根与系数的关系得到2m+1＝﹣（α+β），α•β＝m2﹣2m+32=（m﹣1）2+12＞0，那么α和β同号，再由|α|+|β|＝4，分α+β＝﹣4或α+β＝4进行讨论即可．
【解答】解：∵二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m+32=0的两个实数根为α和β，
∴α+β＝﹣（2m+1），α•β＝m2﹣2m+32，
∴2m+1＝﹣（α+β），α•β＝m2﹣2m+32=（m﹣1）2+12＞0，
∴α•β＞0，即α和β同号，
∴由|α|+|β|＝4得：α+β＝﹣4或α+β＝4．
当α+β＝﹣4时，2m+1＝4，解得m=32；
当α+β＝4时，2m+1＝﹣4，解得m=-52．
∵△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2m+32）
＝4m2+4m+1﹣4m2+8m﹣6
＝12m﹣5≥0，
∴m≥512；
∴m=-52不合题意，舍去，
则m=32．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．
【题型3 利用根与系数的关系及代根法综合求值】
【例3】（2021•九龙坡区校级期末）如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（　　）
A．7 B．6 C．﹣2 D．0
【分析】根据方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，得到α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，将α2+β﹣2αβ变形为α+β+2﹣2αβ后代入即可求值．
【解答】解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，
∴α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，
∴α2+β﹣2αβ＝α+2+β﹣2αβ＝1+2﹣2×（﹣2）＝7，
故选：A．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
【变式3-1】（2020秋•抚州期末）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2+1的值为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】根据根与系数的关系找出x1+x2＝3、x1•x2＝1，将x12+3x2+x1x2+1变形为3（x1+x2）+x1x2，代入数据即可得出结论．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，
∴x12﹣3x1+1＝0，x1+x2＝3，x1•x2＝1，
∴x12＝3x1﹣1，
则x12+3x2+x1x2+1＝3x1﹣1+3x2+x1x2+1＝3（x1+x2）+x1x2＝3×3+1＝10，
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出x1+x2＝3、x1•x2＝1是解题的关键．
【变式3-2】（2020秋•宜宾期末）已知α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，则α4+3β的值是（　　）
A．4 B．42 C．5 D．52
【分析】根据方程根的定义得到α2＝a+1，即可得到α4＝α2+2α+1，然后根据根与系数的关系即可求得α4+3β的值．
【解答】解：∵α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，
∴α2﹣α﹣1＝0，α+β＝1，
∴α2＝a+1，
∴α4＝α2+2α+1，
则α4+3β＝α2+2α+1+3β＝α2﹣α﹣1+3α+3β+2＝3×1+2＝5．
故选：C．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是利用整体法代值计算，此题难度一般．
【变式3-3】（2020秋•雅安期末）设x1、x2是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，则x13+4x22+x1﹣1的值为　 　．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝1，
x12=4x1﹣1，
∴x13=4x12-x1，
∴原式＝4x12-x1+4x22+x1﹣1
＝4（x12+x22）﹣1
＝4（x1+x2）2﹣8x1x2﹣1
＝4×16﹣8﹣1
＝55，
故答案为：55
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
【题型4 构造一元二次方程求代数式的值】
【例4】（2021春•柯桥区月考）如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝　 　．
【分析】由题意可知m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，又n2＝n+3，利用它们可以化简2n2﹣mn+2m+2021＝2（n+3）﹣mn+2m+2021＝2n+6﹣mn+2m+2021＝2（m+n）﹣mn+2027，然后就可以求出所求的代数式的值．
【解答】解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，
所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，
又n2＝n+3，
则2n2﹣mn+2m+2021
＝2（n+3）﹣mn+2m+2021
＝2n+6﹣mn+2m+2021
＝2（m+n）﹣mn+2027
＝2×1﹣（﹣3）+2027
＝2+3+2027
＝2032．
故答案为：2032．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值．
【变式4-1】（2021春•崇川区月考）实数x，y分别满足99x2+2021x＝﹣1．y2+2021y＝﹣99，且xy≠1．则xy+10x+1y=　 　．
【分析】把y2+2021y＝﹣99变形为99（1y）2+2021•1y+1＝0，加上99x2+2021x+1＝0，则实数x、1y可看作方程99t2+2021t+1＝0，利用根与系数的关系得到x+1y=-202199，x•1y=199，再把原式变形为x+10•xy+1y，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵y2+2021y＝﹣99，
∴99（1y）2+2021•1y+1＝0，
∵99x2+2021x＝﹣1，
即99x2+2021x+1＝0，
∴实数x、1y可看作方程99t2+2021t+1＝0的两实数解，
∴x+1y=-202199，x•1y=199，
∴原式＝x+10•xy+1y
=-202199+10×199
=-201199．
故答案为-201199．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．
【变式4-2】（2021•郫都区校级模拟）已知a2﹣2a﹣1＝0，b2+2b﹣1＝0，且ab≠1，则ab+b+1b的值为　 　．
【分析】先变形b2+2b﹣1＝0得到（1b）2﹣2•1b-1＝0，则a和1b可看作方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，然后根据根与系数的关系求解．
【解答】解：∵b2+2b﹣1＝0，
∴b≠0，
方程两边同时除以b2，再乘﹣1变形为（1b）2﹣2•1b-1＝0，
∵ab≠1，
∴a和1b可看作方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，
∴a+1b=2，
∴ab+b+1b=a+1+1b=2+1＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1•x2=ca．
【变式4-3】（2020秋•蕲春县期中）已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则1α2+3β的值为　 　．
【分析】原方程变为（1α2）﹣3（1α）﹣1＝0，得到1α、β是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，根据根与系数的关系得到关系式，代入求出即可．
【解答】解：∵实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，
∴1α、β是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，
∴1α+β＝3，βα=-1，1α2=1+3α，
∴原式＝1+3α+3β＝1+3（1α+β）＝1+3×3＝10，
故答案为10．
【点评】本题主要考查对根与系数的关系的理解和掌握，能熟练地根据根与系数的关系进行计算是解此题的关键．
【题型5 根与系数的关系与三角形综合】
【例5】（2020秋•西工区期中）已知关于x的方程x2﹣8x﹣k2+4k+12＝0．
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有两个实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
【分析】（1）先计算出△＝4（k﹣2）2，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用因式分解法求出方程的解为x1＝﹣k+6，x2＝k+2，然后分类讨论：当AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．
【解答】（1）证明：∵△＝（﹣8）2﹣4（﹣k2+4k+12）＝4（k﹣2）2≥0，
∴无论k取何值，这个方程总有两个实数根；

（2）解：x2﹣8x﹣k2+4k+12＝0，
（x+k﹣6）（x﹣k﹣2）＝0，
解得：x1＝﹣k+6，x2＝k+2，
当AB＝AC时，﹣k+6＝k+2，则k＝2；
当AB＝BC时，﹣k+6＝5，则k＝1；
当AC＝BC时，则k+2＝5，解得k＝3，
综合上述，k的值为2或1或3．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．
【变式5-1】（2020秋•吉安期中）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．
（2）m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？
（3）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．
【分析】（1）先计算出△＝1，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先求出方程的解，根据此方程的两个根都是正整数列出关于m的不等式，解不等式即可求解；
（3）根据等腰三角形的性质和三角形三边关系得到关于m的方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）∵△＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）＝4＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0，
[（m﹣1）x﹣（m+1）]（x﹣1）＝0，
x1=m+1m-1，x2＝1，
∵此方程的两个根都是正整数，
∴m+1m-1＞0，
当m+1＞0，m﹣1＞0时，解得m＞1，
当m+1＜0，m﹣1＜0时，解得m＜﹣1，
∴m＝2或m＝3；

（3）∵一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0的解为x1=m+1m-1，x2＝1，
∵△ABC是等腰三角形，第三边BC的长为5，
∴m+1m-1=5，
解得m＝1.5，
经检验，m＝1.5是原方程的解．
故m的值是1.5．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．
【变式5-2】（2021春•西湖区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2；
①求代数式x12+x22-4x1x2的最大值；
②若方程的一个根是6，x1和x2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．
【分析】（1）通过判别式△求解．
（2）①通过两根之积与两根之和的关系将x12+x22-4x1x2配方求解．
②把x＝6代入方程求出m，再将m代入原方程求出另外一个解，再根据三角形两边之和大于第三边确定x的值．
【解答】解：（1）△＝（2m+4）2﹣4（m2+4m）＝16，16＞0，
∴此方程总有两个不相等的实数根．
（2）①x12+x22-4x1x2＝（x1+x2）2﹣6x1x2，
∵x1+x2=--(2m+4)1=2m+4，x1x2＝m2+4m，
∴（x1+x2）2﹣6x1x2＝（2m+4）2﹣6（m2+4m）＝﹣2m2﹣8m+16＝﹣2（m+2）2+24，
∴当m＝﹣2时x12+x22-4x1x2的最大值为24．
②把x＝6代入原方程可得m2﹣8m+12＝0，
解得m＝2或m＝6，
当m＝2时，原方程化简为x2﹣8x+12＝0，
解得x＝2或x＝6，
三角形三边长为6，6，2时三角形周长为14，
三角形边长为2，2，6时不存在．
当m＝6时，原方程化简为x2﹣16x+60，
解得x＝6或x＝10．
三角形三边长为6，6，10时三角形周长为22，
三角形三边长为10，10，6时，三角形周长为26．
∴等腰三角形周长为14或22或26．
【点评】本题考查一元二次方程综合应用，解题关键是熟练掌握一元二次方程的判别式与根与系数的关系．
【变式5-3】（2021•永州模拟）已知关于x的方程x2-2mx+14n2=0，其中m、n是等腰三角形的腰和底边长．
（1）说明这个方程有两个不相等的实数根．
（2）若方程的两实数根的差的绝对值是8，且等腰三角形的面积是16，求m，n的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝4m2﹣n2＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系求出m2-14n2=4，根据三角形的面积可求出m，n的值，则可求出答案．
【解答】解：（1）∵m、n是等腰三角形的腰和底边长，
∴2m＞n，
又∵△＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×1×14n2=4m2-n2，
∴4m2＞n2，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）由题意得|x1﹣x2|＝8，
∴（x1﹣x2）2＝64，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝64，
由韦达定理得：x1+x2＝2m，x1x2=14n2，
∴（2m）2﹣4×14n2=64，即m2-14n2=4，
∵等腰三角形的面积是16，
如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∴BD＝CD=n2．
∴AD=AB2-BD2=m2-14n2，

∴12×n×m2-14n2=16，
∴n＝8，
代入m2-14n2=4，
解得m＝42，
∴m＝42，n＝8．
【点评】本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系，得出m，n的关系式．
【题型6 根与系数关系中的新定义问题】
【例6】（2020秋•武侯区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有　 　．（填序号）
①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；
②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x+1）（mx+n）＝0一定是关于2的等距方程；
③若方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；
④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x+34=0是关于2的等距方程．
【分析】①解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；
②解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；
③根据方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，且b＝﹣4a（a≠0）得到x1＝x2或x1+x2＝4，当x1＝x2时，x1＝x2=-b2a，不能判断a与b之间的关系，当x1+x2＝4时，即-ba=4，得到b＝﹣4a，据此即可判断；
④根据韦达定理和x1＝3x2，得出3x22=34（3x2+x2）＝3x2，解得x2＝1或x2＝0（舍去），然后利用关于2的等距方程的定义进行判断．
【解答】解：①∵x2﹣4x＝0，
∴x（x﹣4）＝0，
∴x1＝0，x2＝4，
则|x2﹣2＝|x2﹣2|，①正确；
②当m≠0，n≠0时，（x+1）（mx+n）＝0，则x1＝﹣1，x2=n-m，
∵5m＝﹣n，
∴x2＝5，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，满足2的等距方程；
当m＝n＝0时，原方程x+1＝0不是一元二次方程，故②错误；
③对于方程ax2+b+c＝0（a≠0），
由韦达定理得：x1+x2=-ba，
∵方程是2的等距方程，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
则x1﹣2＝x2﹣2或x1﹣2＝2﹣x2，
∴x1＝x2或x1+x2＝4，
当x1＝x2时，x1＝x2=-b2a，不能判断a与b之间的关系，
当x1+x2＝4时，即-ba=4，
∴b＝﹣4a，
故ax2+bx+c＝0（a≠0）是2的等距方程时，b不一定等于﹣4a，故③错误；
④对于方程px2﹣x+34=0有两根满足x1＝3x2，
由韦达定理得：x1x2=34p，x1+x2=1p，
∴x1x2=34×1p=34（x1+x2），
∴3x22=34（3x2+x2）＝3x2，
∴x2＝1或x2＝0（舍去），
∴x1＝3x2＝3，
∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，
即px2﹣x+34=0是关于2的等距方程，故④正确，
故正确的有①④，
故答案为①④．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确的理解“关于2的等距方程”的定义是解题的关键．
【变式6-1】（2021春•崇川区校级月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣23x+1＝0；
（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．
【分析】（1）据“差根方程”定义判断即可；
（2）根据x2+2ax＝0是“差根方程”，且x1＝0，x2＝﹣2a得到2a＝±1，从而得到a＝±12；
（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，根据根与系数的关系得到(-ba)2-4⋅1a=1，整理即可得到b2＝a2+4a．
【解答】解：（1）①设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x1•x2＝﹣5，
∴|x1﹣x2|=(x1+x2)2-4x1x2=42-4×(-5)=6，
∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；
②设x1，x2是一元二次方程2x2﹣23x+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2=3，x1•x2=12，
∴|x1﹣x2|=(x1+x2)2-4x1x2=(3)2-4×12=1，
∴方程2x2﹣23x+1＝0是差根方程；

（2）x2+2ax＝0，
因式分解得：x（x+2a）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2a，
∵关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，
∴2a＝±1，即a＝±12；

（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，
∴x1+x2=-ba，x1•x2=1a，
∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，
∴|x1﹣x2|＝1，
∴|x1﹣x2|=(x1+x2)2-4x1x2=1，即(-ba)2-4⋅1a=1，
∴b2＝a2+4a．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐标特征，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键．
【变式6-2】（2020秋•石狮市期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为2t，因此ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，所以有b2-92ac＝0；我们记“K＝b2-92ac”，即K＝0时，方程ax2+bx+c＝0为倍根方程：下面我们根据所获信息来解决问题：
（1）以下为倍根方程的是　 　；（写出序号）
①方程x2﹣x﹣2＝0；②x2﹣6x+8＝0；
（2）若关于的x方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；
（3）若A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，且关于x的一元二次方程x2-mx+23n＝0是倍根方程，求此倍根方程．
【分析】(1)据倍根方程定义判断即可；
(2)根据（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，且x1＝2，x2=-nm得到m＝﹣n或m=-14n，从而得到m+n＝0，4m+n＝0，进而得到4m2+5mn+n2＝0；
(3)设其中一根为t，则另一个根为2t，据此知ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，从而得倍根方程满足b2-92ac＝0，据此求解可得．
【解答】解：(1)①x2﹣x﹣2＝0，
（x+1）（x﹣2）＝0，
x1＝﹣1，x2＝2，
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
②x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2)(x﹣4)＝0,
x1＝2，x2＝4，
∴方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程；
故答案为②；

（2）mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0，
因式分解得：（x﹣2）（mx+n）＝0，
解得：x1＝2，x2=-nm，
∵方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，
∴2=-2nm或4=-nm，
即m＝﹣n或m=-14n，
∴m+n＝0或4m+n＝0；
∵4m2+5mn+n2＝（4m+n）（m+n）＝0；

（3）设其中一根为t，则另一个根为2t，
则ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，
∴b2-92ac＝0，
∵x2-mx+23n＝0是倍根方程，
∴（-m）2-92×2×23n＝0，
整理，得：m＝3n，
∵A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，
∴n＝3m﹣8，
∴n＝1，m＝3，
∴此倍根方程为x2-3x+23=0．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
【变式6-3】（2020秋•台儿庄区期中）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x，y，z构成“和谐三数组”．
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1+x2=-ba，x1⋅x2=ca．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数　 　；
（2）若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均不为0）的两根，x3是关于x的方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
【分析】（1）根据“和谐三数组”写成一组即可得出结论；
（2）先根据材料2，得出1x1+1x2=-bc，再求出一元一次方程的解，进而得出1x3=-bc，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵12+13=56，
∴65，2，3是“和谐三数组”；
故答案为：65，2，3（答案不唯一）；
（2）证明：∵x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0 （a，b，c均不为0）的两根，
∴x1+x2=-ba，x1⋅x2=ca，
∴1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2=-baca=-bc，
∵x3是关于x的方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解，
∴x3=-cb，
∴1x3=-bc，
∴1x1+1x2=1x3，
∴x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”．