八年级下册第一章 二次根式1.1 二次根式练习题

第1章  二次根式章末测试卷（拔尖卷）

【浙教版】

考试时间：60分钟；满分：100分

姓名：___________班级：___________考号：___________

考卷信息：

本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．（3分）（2021春•阳谷县期末）已知是整数，则正整数n的最小值是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

【分析】因为是整数，且2，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6．

【解答】解：∵2，且是整数，

∴2是整数，即6n是完全平方数；

∴n的最小正整数值为6．

故选：C．

2．（3分）（2021•绥化）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x＞﹣1 B．x≥﹣1且x≠0 C．x＞﹣1且x≠0 D．x≠0

【分析】利用分式分母不为0和二次根式、零指数幂有意义的条件确定关于x的不等式，从而确定答案．

【解答】解：根据题意得：x+1＞0且x≠0，

解得：x＞﹣1且x≠0，

故选：C．

3．（3分）（2021秋•锦江区校级期末）等式（b﹣a）成立的条件是（　　）

A．a≥b，x≥0 B．a≥b，x≤0 C．a≤b，x≥0 D．a≤b，x≤0

【分析】若二次根式有意义，则被开方数为非负数，算术平方根的结果也是非负数，可据此求出a、b、x的取值范围．

【解答】解：根据算术平方根的意义可知，b﹣a≥0且x≥0，即a≤b，x≥0．

故选：C．

4．（3分）（2020秋•平房区期末）若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　）

A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1

【分析】根据题意得到两个二次根式是同类二次根式，列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值．

【解答】解：∵最简二次根式和能合并，

∴，即，

①×2+②得：7a＝7，

解得：a＝1，

把a＝1代入②得：1+2b＝3，

解得：b＝1．

故选：D．

5．（3分）（2021秋•周口月考）已知m，n在数轴上位置如图所示，化简：2的结果是（　　）

A．﹣3n+3m B．3n﹣m C．﹣n+3m D．3n+m

【分析】根据|a|化简，然后根据绝对值的性质化简即可．

【解答】解：∵m﹣n＜0，2m+n＜0，m＜0，

原式＝2|m﹣n|﹣|2m+n|﹣|m|

＝﹣2m+2n+2m+n+m

＝3n+m，

故选：D．

6．（3分）（2021秋•周口月考）小康和小英玩摸卡片游戏：如图，有三张大小，形状，纸质完全相同的卡片A，B，C，卡片正面分别写有一个算式，现将背面朝上，小康随机抽取两张，若小康所抽取的两张卡片都是无理数，则它们的和为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

【分析】根据无理数的定义判断其中的两个无理数，再根据二次根式的性质以及运算法则计算即可．

【解答】解：，

卡片A，C上的数是无理数，卡片B上的数是有理数，

＝4

＝4．

故选：A．

7．（3分）（2021春•海淀区校级期末）已知x，y为实数，xy＝5，那么xy的值为（　　）

A． B．2 C．±2 D．5

【分析】先化简所求式子，然后利用分类讨论的方法，可以求得所求式子的值．

【解答】解：xy

，

∵x，y为实数，xy＝5，

∴x、y同号，

当x＜0，y＜0时，

原式2，

当x＞0，y＞0时，

原式2，

由上可得，xy的值是，

故选：C．

8．（3分）（2020秋•三元区期中）计算（1）×（）﹣（1）×（）的结果等于（　　）

A． B． C． D．

【分析】设a，原式变形后计算即可求出值．

【解答】解：设a，

原式＝（1﹣a）（a）﹣（1﹣a）×a

＝aa2a+a2

．

故选：B．

9．（3分）（2021秋•思明区校级期末）若a＝2021×2022﹣20212，b＝1013×1008﹣1012×1007，c，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a

【分析】先化简各式，然后再进行比较即可．

【解答】解：a＝2021×2022﹣20212

＝2021×（2022﹣2021）

＝2021×1

＝2021；

b＝1013×1008﹣1012×1007

＝（1012+1）（1007+1）﹣1012×1007

＝1012×1007+1012+1007+1﹣1012×1007

＝1012+1007+1

＝2020；

c

；

∴20202021，

∴b＜c＜a，

故选：D．

10．（3分）（2021秋•安岳县校级月考）如果f（x）并且f（）表示当x时的值，即f（），f（）表示当x时的值，即f（），那么f（）+f（）+f（）+f（）的值是（　　）

A．n B．n C．n D．n

【分析】认真观察题中式子的特点，找出其中的规律，代入计算即可．

【解答】解：代入计算可得，f（）+f（）＝1，f（）+f（）＝1，…，f（）+f（）＝1，

所以，原式（n﹣1）＝n．

故选：A．

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11．（3分）（2021秋•昌江区校级期中）化简的结果是 　﹣3　；的结果是 　　．

【分析】根据二次根式的乘法法则、二次根式的性质化简即可．

【解答】解：（﹣2）

（﹣2）

＝﹣3；

（1﹣a）•

＝（1﹣a）•

，

故答案为：﹣3；．

12．（3分）（2021春•澄海区期末）若实数a，b满足关系式a+2b4，则ab＝　﹣16　．

【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到b＝4，代入关系式得到a＝﹣4，从而得到ab＝﹣16．

【解答】解：根据二次根式有意义的条件得：，

∴b2﹣16＝0，

∴b＝±4，

根据分式有意义的条件得：b+4≠0，

∴b≠﹣4，

∴b＝4，

代入关系式得：a+8＝4，

∴a＝﹣4，

∴ab＝﹣4×4＝﹣16，

故答案为：﹣16．

13．（3分）（2021秋•闵行区校级期中）已知x，y，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数n的值为 　2　．

【分析】先将x，y分母有理化化简为含n的代数式，可得x+y＝4n+2，xy＝1，然后将xy＝1代入19x2+123xy+19y2＝1985，结果化简为x2+y2＝98，进而求解．

【解答】解：∵x（）2＝2n+1﹣2，

y，（）2＝2n+1+2，

∴x+y＝4n+2，xy＝1，

将xy＝1代入19x2+123xy+19y2＝1985得19x2+123+19y2＝1985，

化简得x2+y2＝98，

（x+y）2＝x2+y2+2xy＝98+2＝100，

∴x+y＝10．

∴4n+2＝10，

解得n＝2．

故答案为：2．

14．（3分）（2021秋•昌江区校级期中）已知x＞0，y＞0，x2+y2＝36，250，则xy＝　　．

【分析】根据完全平方公式和平方差公式将250变形，然后计算求值即可．

【解答】解：

＝[（）2+（）2]2﹣2（）2（）2

＝（x﹣2y+x+2y）2﹣2（x﹣y）2

＝（2x+2y）2﹣2（x2﹣2xy+y2）

＝4x2+8xy+4y2﹣2x2+4xy﹣2y2

＝2x2+12xy+2y2，

∵x＞0，y＞0，x2+y2＝36，250，

∴2x2+12xy+2y2

＝2（x2+y2）+12xy

＝2×36+12xy

＝72+12xy

＝250，

解得xy，

故答案为：．

15．（3分）（2021春•江岸区校级月考）我们定义[a]为不超过a的最大整数．例如：[3.14]＝3，[8]＝8，[﹣0.618]＝﹣1，[﹣7.1]＝﹣8，[﹣4]＝﹣4．若[5﹣3]＝﹣2，则a的取值范围是　3＜a　．

【分析】直接新定义得出不等式，进而解不等式得出答案．

【解答】解：∵[5﹣3]＝﹣2，

∴﹣2≤5﹣31，

则﹣7≤﹣36，

故6＜37，

解得：3＜a．

故答案为：3＜a．

16．（3分）（2021秋•鄞州区校级期末）已知，，|b3+c3|＝b3﹣c3，则a3b3﹣c3的值为 　1　．

【分析】根据绝对值的意义分析b和c的取值，然后利用完全平方公式计算求得ab的值，从而进行计算．

【解答】解：∵（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，

∴4ab＝（）2﹣（）2

22

＝4，

∴ab＝1，

∵|b3+c3|＝b3﹣c3，且|b3+c3|＝±（b3+c3），

当|b3+c3|＝b3+c3＝b3﹣c3时，c＝0，

∴原式＝（ab）3﹣03＝1，

当|b3+c3|＝﹣b3﹣c3＝b3﹣c3时，b＝c＝0，

此时ab＝0，故此情况不成立，

综上，原式的值为1，

故答案为：1．

三．解答题（共7小题，满分52分）

17．（6分）若a＞0，b＞0，且（）2＝3a2b，求的值．

【分析】根据（）2＝3a2b化简可得，从而可以解答本题．

【解答】解：∵（）2＝3a2b，

化简，得．

∴．

即．

18．（6分）（2021秋•昌江区校级期末）（）÷（）（a≠b）．

【分析】先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．

【解答】解：原式

．

19．（8分）（2020秋•赫山区期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2020年12月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算：7，7．

不难发现，结果都是7．

（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；

（2）请你利用代数式的运算对以上规律加以证明．

【分析】（1）任意框相邻的一列上的三个数，计算验证即可；

（2）设框的三个数的中间那个数为x，则第一个数为x﹣7，第三个数为x+7，计算验证即可．

【解答】解：（1）我框的是2，9，16，

＝7；

（2）证明：设框的三个数的中间那个数为x，则第一个数为x﹣7，第三个数为x+7，

＝7．

20．（8分）（2021秋•赫山区期末）“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法．

如：3+2．

除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．

如：化简．

解：设x，易知，故x＞0．

由于x2＝（）2＝2222．

解得x，即

根据以上方法，化简：．

【分析】根据题目提供的方法先计算．再计算，进而进行计算即可．

【解答】解：设x，易知，故x＜0，

由于x2＝（）2＝3322，

所以x，即，

所以原式

＝17﹣12

＝17﹣13．

21．（8分）（2021春•聊城期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：1．

再如：．

请用上述方法探索并解决下列问题：

（1）化简：；

（2）化简：；

（3）若，且a，m，n为正整数，求a的值．

【分析】（1）把12拆成7+5，即（）2+（）2，写成完全平方公式的形式即可求解；

（2）先提出，把8拆成5+3，写成完全平方公式的形式即可求解；

（3）按照完全平方公式展开，使有理数和无理数分别相等，再根据a、m、n为正整数，得m＝1，n＝3，或者m＝3，n＝1，分别计算出a的值即可．

【解答】解：（1）；

（2）；

（3）∵a+6（mn）2＝m2+5n2+2mn，

∴a＝m2+5n2，6＝2mn，

又∵a、m、n为正整数，

∴m＝1，n＝3，或者m＝3，n＝1，

∴当m＝1，n＝3时，a＝46；

当m＝3，n＝1，a＝14，

综上所述，a的值为46或14．

22．（8分）（2021春•西城区校级期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空：4+3　＞　2，1　＞　2，5+5　＝　2．

（2）由（1）中各式猜想m+n与2（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由．

（3）请利用上述结论解决下面问题：

某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要　40　m．

【分析】（1）分别进行计算，比较大小即可；

（2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想m+n≥2；比较大小，可以作差，m+n﹣2，联想到完全平方公式，问题得证；

（3）设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为（a+2b）米，利用第（2）问的公式即可求得最小值．

【解答】解：（1）∵4+3＝7，24，

∴72＝49，（4）2＝48，

∵49＞48，

∴4+3＞2；

∵11，21，

∴12；

∵5+5＝10，210，

∴5+5＝2．

故答案为：＞，＞，＝．

（2）m+n≥2（m≥0，n≥0）．理由如下：

当m≥0，n≥0时，

∵（）2≥0，

∴（）2﹣2•（）2≥0，

∴m﹣2n≥0，

∴m+n≥2．

（3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200，

根据（2）的结论可得：a+2b≥2222×20＝40，

∴篱笆至少需要40米．

故答案为：40．

23．（8分）（2021春•长兴县月考）阅读下列材料，解答后面的问题：

在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：

①要使二次根式有意义，则需a﹣2≥0，解得：a≥2；

②化简：，则需计算1，而1，

所以11．

（1）根据二次根式的性质，要使成立，求a的取值范围；

（2）利用①中的提示，请解答：如果b1，求a+b的值；

（3）利用②中的结论，计算：．

【分析】（1）根据二次根式成立的条件求解即可；

（2）根据二次根式成立的条件求出a，b的值，进而求解即可；

（3）利用②中的结论求解即可．

【解答】解：（1）由题意得，，

∴﹣2≤a＜3；

（2）由题意得，，

∴a＝2，

∴b1＝0+0+1＝1，

∴a+b＝2+1＝3；

（3）原式＝（1）+（1）+⋯+（1）

＝1×2020+1