专题1.1 二次根式章末重难点题型（举一反三）（人教版）（原卷版）

这是一份专题1.1 二次根式章末重难点题型（举一反三）（人教版）（原卷版），共10页。



【考点1 二次根式的概念】
【方法点拨】掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，理解被开方数
是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字
母取值范围．
【例1】（2020春•安庆期末）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．−x−2B．xC．a2+1D．x2−2
【变式1-1】（2020春•文登区期中）在式子，x2（x＞0），2，y+1（y＝﹣2），−2x（x＞0），33，x2+1，x+y中，二次根式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式1-2】（2020春•青云谱区校级期中）在式子π−3.14，a2+b2，a+5，−3y2，m2+1，|ab|中，是二次根式的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【变式1-3】（2019春•平舆县期末）下列各式中①38；②−(−b)；③a2；④1|x|+0.1；⑤x2+2x+1一定是二次根式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点2 二次根式有意义的条件（求取值范围）】
【方法点拨】对于二次根式有意义的条件求取值范围类题型，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数
以及分式分母不为零．
【例2】（2020春•文登区期末）若式子m−1m−2在实数范围内有意义，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1B．m≤1且m≠2C．m≥1且m≠2D．m≠2
【变式2-1】（2020•合肥校级期中）要使2x−1+13−x有意义，则x的取值范围为（ ）
A．12≤x≤3B．12＜x≤3C．12≤x＜3D．12＜x＜3
【变式2-2】（2020•日照二模）若使式子2−x≥x−1成立，则x的取值范围是（ ）
A．1.5≤x≤2B．x≤1.5C．1≤x≤2D．1≤x≤1.5
【变式2-3】（2020秋•北辰区校级月考）等式a−3a−1=a−3a−1成立的条件是（ ）
A．a≠1B．a≥3且a≠﹣1C．a＞1D．a≥3
【考点3 二次根式有意义的条件（被开方数互为相反数）】
【方法点拨】对于解决此类型的题目关键从被开方数中找出一对相反数，利用二次根式的被开方数是非负
数进行求解即可.
【例3】（2020春•蕲春县期中）已知，x、y是有理数，且y=x−2+2−x−4，则2x+3y的立方根为 ．
【变式3-1】（2019春•咸宁期中）若a，b为实数，且b=a2−9+9−a2a+3+4，则a+b的值为（ ）
A．﹣1B．1C．1或7D．7
【变式3-2】（2019秋•新化县期末）已知2x+y−3+x−2y−4=a+b−2020×2020−a−b，
（1）求a+b的值；
（2）求7x+y2020的值．
【变式3-3】（2019秋•南江县期末）已知3x+y−z−8+x+y−z=x+y−2019+2019−x−y，求（z﹣y）2的值．
【考点4 二次根式的性质与化简（根据被开方数为非负数）】
【方法点拨】对于解决此类型的题目关键根据被开方数为非负数确定相关字母的符号，利用二次根式的性
质即可化简.
【例4】（2020春•沭阳县期末）已知a≠0且a＜b，化简二次根式−a3b的正确结果是（ ）
A．aabB．﹣aabC．a−abD．﹣a−ab
【变式4-1】（2020春•徐州期末）与根式﹣x−1x的值相等的是（ ）
A．−xB．﹣x2−xC．−−xD．−x
【变式4-2】（2020春•东湖区校级月考）化简﹣a1a的结果是（ ）
A．aB．−aC．−−aD．−a
【变式4-3】（2020春•柯桥区期中）把代数式（a﹣1）11−a中的a﹣1移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
A．−1−aB．a−1C．1−aD．−a−1
【考点5 二次根式的性质与化简（根据字母取值范围或数轴）】
【例5】（2020春•河北期末）若1≤x≤4，则|1−x|−(x−4)2化简的结果为（ ）
A．2x﹣5B．3C．3﹣2xD．﹣3
【变式5-1】（2020•攀枝花）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简(a+1)2+(b−1)2−(a−b)2的结果是（ ）
A．﹣2B．0C．﹣2aD．2b
【变式5-2】（2020春•潮南区期末）若a、b、c为三角形的三条边，则(a+b−c)2+|b﹣a﹣c|＝（ ）
A．2b﹣2cB．2aC．2（a+b﹣c）D．2a﹣2c
【变式5-3】（2020春•邗江区校级期末）已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简a2+|a﹣c|+(b−c)2−|b|．
【考点6 最简二次根式的概念】
【方法点拨】最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不
含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
【例6】（2020春•广州期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．8B．2x2yC．ab2D．3x2+y2
【变式6-1】（2020春•包河区期末）在根式xy、12、ab2、x−y、x2y中，最简二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式6-2】（2019秋•新化县期末）若二次根式5a+3是最简二次根式，则最小的正整数a为 ．
【变式6-3】（2019春•望花区校级月考）若2m+3和32m−n+1都是最简二次根式，则m+n＝ ．
【考点7 同类二次根式的概念】
【方法点拨】同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以合并．
【例7】（2019春•潍城区期中）下列二次根式：32，18，43，−125，0.48，其中不能与12合并的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式7-1】（2020春•西城区校级期中）若最简二次根式x+3与最简二次根式2x是同类二次根式，则x的值为（ ）
A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝3
【变式7-2】（2020春•赛罕区期末）若最简二次根式3m+n，24m−2可以合并，则m﹣n的值为 ．
【变式7-3】（2019春•随州期中）若最简二次根式3x−102x+y−5和x−3y+11是同类二次根式．
（1）求x，y的值；
（2）求x2+y2的值．
【考点8 二次根式的加减运算】
【方法点拨】二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答．
【例8】（2019春•江夏区校级月考）计算：
（1）33−8+2−27
（2）7a7a−4a218a+7a2a
【变式8-1】（2019春•硚口区期中）计算：
（1）212−613+348
（2）5x5+524x5−x20x
【变式8-2】（2019春•江宁区校级月考）计算：
（1）23+312−48
（2）324x−（15x25−2x2）（x＞0）
【变式8-3】（2019春•海陵区校级月考）计算
（1）27−45−20+75
（2）2a−3a2b+54a−2ba2b(a≥0，b＞0)
【考点9 二次根式的乘除运算】
【方法点拨】掌握二次根式的乘除法法则是解决此类题的关键，①两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变；②两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
【例9】（2019秋•闵行区校级月考）计算：313÷(25213)×(4125)．
【变式9-1】（2019秋•黄浦区校级月考）计算：nmn3m3⋅(−1mn3m3)÷n2m3．
【变式9-2】（2019春•徐汇区校级期中）化简：2x3y2x3y3⋅(4x9xy)÷(4x2y3x2y)
【变式9-3】（2019秋•嘉定区期中）计算：2bab•（−32a3b）÷13ba（a＞0）
【考点10 二次根式的混合运算】
【方法点拨】二次根式的混合运算可以说是二次根式乘、除法、加、减法的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：
①观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的；
②在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”；
【例10】（2020春•宜春期末）（1）计算：3×12+6÷2−27；
（2）化简：18x+2xx32+x÷x2．
【变式10-1】（2020春•永城市期末）（1）计算：12×34+24÷6．
（2）计算：(5+3)2−(5+2)(5−2)．
【变式10-2】（2020春•吴忠期末）计算：
（1）（23−1）2+（3+2）（3−2）；
（2）48÷23−27×63+412．
【变式10-3】（2020春•涪城区期末）计算：
（1）（3−2）（3+2）﹣（3−1）2+5；
（2）（22x3−10x•15）÷6x3．
【考点11 二次根式的化简求值】
【例11】（2020春•涪城区校级月考）若x，y是实数，且y=4x−1+1−4x+13，求（23x9x+4xy）﹣（x3+25xy）的值．
【变式11-1】（2019春•洛南县期末）已知x=15−3，y=15+3，求下列各式的值：
（1）x2﹣xy+y2；
（2）yx+xy．
【变式11-2】（2019春•台安县期中）已知x=12(5+3)，x=12(5−3)，求x2﹣3xy+y2的值．
【变式11-3】（2019秋•宝山区校级月考）已知x=b2a+b−2a−b，y=b2a+b+2a−b，求x2﹣xy+y2的值．
【考点12 分母有理化】
【方法点拨】二次分母有理化就是通过分子和分母同时乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的．
【例12】（2020•唐山二模）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如53，23，23+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：53=5×33×3=533
23=2×33×3=63
23+1=2×(3−1)(3+1)(3−1)=2(3−1)(3)2−12=3−1
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简327
（2）化简25+3．
（3）化简：13+1+15+3+17+5+⋯+12n+1+2n−1．
【变式12-1】（2020春•淮安区校级期末）阅读下面计算过程：
12+1=1×(2−1)(2+1)(2−1)=2−1；
13+2=1×(3−2)(3+2)(3−2)=3−2；
15+2=1×(5−2)(5+2)(5−2)=5−2．
求：（1）17+6的值．
（2）1n+1+n（n为正整数）的值．
（3）12+1+13+2+14+3+⋯+1100+99的值．
【变式12-2】（2020春•孟村县期末）观察下列格式，5−12−25−1，8−22−28−2，13−32−213−3，20−42−220−4⋯
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
【变式12-3】（2019春•微山县期中）【阅读材料】
材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化
通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的
例如：化简13+2
解：13+2=1×(3−2)(3+2)(3−2)=3−2
材料二：化简a±2b的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn=b，那么a±2b=m2+n2±2mn=(m±n)2=m±n
例如：化简3±22
解：3±22=(2)2+12±22=(2±1)2=2±1
【理解应用】
（1）填空：化简5+35−3的结果等于 ；
（2）计算：
①7−210；
②12+1+13+2+12+3+⋯+12018+2017+12019+2018．
【考点13 复合二次根式的化简】
【例13】（2020春•安庆期末）阅读理解题，下面我们观察：
（2−1）2＝（2）2﹣2×1×2+12＝2﹣22+1＝3﹣22．
反之3﹣22=2﹣22+1＝（2−1）2，所以3﹣22=（2−1）2，
所以3−22=2−1．
完成下列各题：
（1）在实数范围内因式分解：3+22；
（2）化简：4+23；
（3）化简：5−26．
【变式13-1】（2020春•思明区校级月考）观察下式：（2−1）2＝（2）2﹣2•2•1+12＝2﹣22+1＝3﹣22
反之，3﹣22=2﹣22+1＝（2−1）2
根据以上可求：3−22=2−22+1=(2−1)2=2−1
求：（1）5+26；
（2）你会算4−12吗？
【变式13-2】（2020秋•延庆县期末）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将a+2b化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn=b，则a+2b可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得a+2b，化简：
例如：∵5+26=3+2+26=（3）2+（2）2+26=（3+2）2．
∴5+26=(3+2)2=3+2．
请你仿照上例将下列各式化简：
（1）4+23；
（2）7−210．
【变式13-3】（2019秋•常德期末）先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如m+2n的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得(a)2+(b)2=m，a×b=n，那么便有：m±2n=(a±b)2=a±b（a＞b）
例如：化简7+43：
解：首先把7+43化为7+212，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：(4)2+(3)2=7，4×3=12，
所以7+43=7+212=(4+3)2=2+3．
问题：
①填空：4+23= ，9+45= ；
②化简：19−415（请写出计算过程）．
【考点14 含二次根式的数式规律题】
【例14】（2019秋•高邑县期末）观察下列各式：
1+112+122=1+11−12=112
1+122+132=1+12−13=116
1+132+142=1+13−14=1112
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）1+142+152= 1120
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式： 1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1) ；
（3）利用上述规律计算：5049+164（仿照上式写出过程）
【变式14-1】（2019春•当涂县期末）观察下列各式：
1+112+122=1+11×2，1+122+132=1+12×3，1+132+142=1+13×4，…
请利用你所发现的规律，
（1）计算
1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋯+1+192+1102
（2）根据规律，请写出第n个等式（n≥1，且n为正整数）．
【变式14-2】（2020春•长岭县期末）观察下列各式：①1+13=213，②2+14=314；③3+15=415，…
（1）请观察规律，并写出第④个等式： ；
（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律： ；
（3）请证明（2）中的结论．
【变式14-3】（2020春•惠城区期末）观察下列各式及其验算过程：
2+23=223，验证：2+23=2×3+23=233=223；
3+38=338，验证：3+38=3×8+38=338=338
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4+415的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．