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2021-2022学年湖北省武汉市部分省示范高中高一（上）期末数学试卷
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这是一份2021-2022学年湖北省武汉市部分省示范高中高一（上）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省武汉市部分省示范高中高一（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．（5分）设集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x∈N*|0＜x＜4}，则A∩B＝（ ）
A．{x|0＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜4} C．{1，2} D．{0，1，2}
2．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定为（ ）
A．∀x∈R，x2+x+1≤0 B．∃x∈R，x2+x+1≤0
C．∃x∈R，x2+x+1＜0 D．∃x∈R，x2+x+1＞0
3．（5分）已知某扇形的圆心角为3弧度，弧长为6，则扇形的面积为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
4．（5分）函数的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（5分）设函数，若对于任意的实数x，恒成立，则ω的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）已知f（x）＝|tan（x+φ）|，则“函数f（x）的图象关于y轴对称”是“φ＝kπ（k∈Z）”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣m有两个不同的零点，则实数m的取值范围为（ ）
A．（2，+∞） B． C． D．
8．（5分）已知函数f（x）为R上的偶函数，且对任意x1，x2∈（0，+∞），均有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0成立，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，少选得2分，多选得0分.
（多选）9．（5分）用二分法求函数f（x）＝x3+x2﹣2x﹣2的一个正零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：f（1）＝﹣2，f（1.5）＝0.625，f（1.25）≈﹣0.984，f（1.375）≈﹣0.260，关于下一步的说法不正确的是（ ）
A．已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值
B．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值
C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.4375）
D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.3125）
（多选）10．（5分）对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为π
B．其图象关于点对称
C．对称轴方程为
D．单调增区间
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），则下列四个命题中正确命题的是（ ）
A．在（0，1）上单调递减
B．（1，2）上单调递减
C．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f（x）的值域为[0，+∞）
（多选）12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＞0，则f（x）满足（ ）
A．f（0）＝0
B．y＝f（x）是偶函数
C．f（x）在[m，n]上有最大值f（m）
D．f（x﹣1）＞0的解集为（﹣∞，1）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）函数的定义域是 ．
14．（5分）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角θ终边上的一点，且sinθ＝﹣，则y＝ ．
15．（5分）已知sin，α∈（0，π），则tanα＝ ．
16．（5分）函数f（x）＝a2x+ax+1（a＞0，且a≠1）在[﹣1，1]上的最大值为13，则实数a的值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．已知，且．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
18．已知函数．
（1）判断函数f（x）的单调性，并用单调性定义证明；
（2）若f（x）为奇函数，求满足的x的取值范围．
19．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，若记仓库到车站的距离为x（单位：km），经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1（单位：万元）与（x+1）成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与（4x+1）成正比；若在距离车站3km处建仓库，则y1与y2分别为12.5万元和6.5万元．记两项费用之和为w．
（1）求w关于x的解析式；
（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．
20．函数图像的相邻对称轴与对称中心之间的距离为．
（1）求函数f（x）在[0，π]上的单调增区间；
（2）当时，求f（x）的值域．
21．如图，过函数f（x）＝logcx（c＞1）的图像上的两点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为M（a，0），N（b，0）（b＞a＞1），线段BN与函数g（x）＝logmx（m＞c＞1）的图像交于C点，且AC垂直于y轴．
（1）当a＝2，b＝4，c＝4时，求实数m的值；
（2）当b＝a2时，求的最小值．
22．已知a＜0，函数f（x）＝acosx++，其中x∈[﹣，]．
（1）设t＝+，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数g（t）；
（2）求函数f（x）的最大值（可以用a表示）；
（3）若对区间[﹣，]内的任意x1，x2，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤1，求实数a的取值范围．
2021-2022学年湖北省武汉市部分省示范高中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．（5分）设集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x∈N*|0＜x＜4}，则A∩B＝（ ）
A．{x|0＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜4} C．{1，2} D．{0，1，2}
【分析】先求出集合B，再由集合交集的定义求解即可．
【解答】解：因为集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x∈N*|0＜x＜4}＝{1，2，3}，
则A∩B＝{1，2}．
故选：C．
【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．
2．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定为（ ）
A．∀x∈R，x2+x+1≤0 B．∃x∈R，x2+x+1≤0
C．∃x∈R，x2+x+1＜0 D．∃x∈R，x2+x+1＞0
【分析】根据含有量词的命题的否定：将任意改为存在，结论否定，即可写出命题的否定．
【解答】解：由题意∀x∈R，x2+x+1＞0，否定是∃x∈R，x2+x+1≤0．
故选：B．
【点评】本题的考点是命题的否定，主要考查含量词的命题的否定形式：将任意改为存在，结论否定即可．
3．（5分）已知某扇形的圆心角为3弧度，弧长为6，则扇形的面积为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
【分析】首先结合已知条件得到r，然后根据扇形的面积公式求解．
【解答】解：∵扇形的圆心角α为3弧度，弧长l为6，
设扇形的半径为r，面积为s，则l＝αr，
∴r＝＝2，
∴s＝lr＝×6×2＝6．
∴该扇形的面积为6．
故选：C．
【点评】本题重点考查了扇形的弧长公式、面积公式等知识，属于基础题．
4．（5分）函数的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用函数值的符号以及单调性进行判断即可．
【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，
f（﹣x）＝＝＝f（x），则f（x）为偶函数，排除C，
当0＜x＜1时，f（x）＜0，排除D，
当x＞0时，f（x）＝＝x﹣为增函数，排除B，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断是解决本题的关键，是基础题．
5．（5分）设函数，若对于任意的实数x，恒成立，则ω的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意可得f（）是函数的最大值，故2ω×+＝2kπ+，k∈Z，由此可得ω的最小值．
【解答】解：∵对于任意的实数x，恒成立，
∴f（）是函数的最大值，故2ω×+＝2kπ+，k∈Z，
即ω＝3k+，k∈Z，
令k＝0，可得ω的最小值为，
故选：C．
【点评】本题主要考查正弦函数的最大值问题，属于中档题．
6．（5分）已知f（x）＝|tan（x+φ）|，则“函数f（x）的图象关于y轴对称”是“φ＝kπ（k∈Z）”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由题意利用充分条件、必要条件、充要条件的定义，正切函数的性质，得出结论．
【解答】解：∵f（x）＝|tan（x+φ）|，
由“函数f（x）的图象关于y轴对称”，可得y＝tan（x+φ）是奇函数，
可得“φ＝ （k∈Z）”，故充分性不成立．
由φ＝kπ（k∈Z），可得y＝tan（x+φ）＝tanx，可得f（x）＝|tan（x+φ）|＝|tanx|为偶函数，
故f（x）的图象关于y轴对称，故必要性成立，
∴函数f（x）的图象关于y轴对称”是“φ＝kπ（k∈Z）”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，正切函数的性质，属于中档题．
7．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣m有两个不同的零点，则实数m的取值范围为（ ）
A．（2，+∞） B． C． D．
【分析】画出f（x）的图象，根据y＝f（x）图象与y＝m有两个交点来求得a的取值范围．
【解答】解：当x≤0时，f（x）＝＝＝2+＜2，
所以函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，
y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣，
f（）＝﹣，
令g（x）＝0，得f（x）＝m，
作出函数y＝f（x），y＝m的大致图象如图所示，观察可知，m∈（﹣，2），
故选：D．
【点评】本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查学生的运算能力，属于中档题．
8．（5分）已知函数f（x）为R上的偶函数，且对任意x1，x2∈（0，+∞），均有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0成立，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
【解答】解：由题意得，偶函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
b＝f（log2）＝f（﹣log23）＝f（log23），＝8，（）6＝e2，而8＞e2，
故，
又log23＝1+log2＞1+log2＝＞，
所以log23＞＞＞0，
又f（x）在（0，+∞）上单调递减，
所以f（log23）＜f（）＜f（e），
所以b＜a＜c．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，少选得2分，多选得0分.
（多选）9．（5分）用二分法求函数f（x）＝x3+x2﹣2x﹣2的一个正零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：f（1）＝﹣2，f（1.5）＝0.625，f（1.25）≈﹣0.984，f（1.375）≈﹣0.260，关于下一步的说法不正确的是（ ）
A．已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值
B．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值
C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.4375）
D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.3125）
【分析】利用二分法的方法判断出方程的根分布的区间，据精确度求出根的近似值．
【解答】解：由二分法知，方程x3+x2﹣2x﹣2＝0的根在区间区间（1.375，1.5），没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.4375）．
故选：ABD．
【点评】本题考查二分法求方程根的近似值的步骤：依次求出区间的端点的中点的值，判断出根分布的区间．
（多选）10．（5分）对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为π
B．其图象关于点对称
C．对称轴方程为
D．单调增区间
【分析】直接利用余弦型函数性质的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：函数，
所以对于A：函数的最小值正周期为π；当故A正确；
对于B：x＝时，f（）＝3，故B错误；
对于C：当，整理得，故C正确；
对于D：令（k∈Z）；
整理得（k∈Z）；
故函数的单调递增区间为；故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查的知识要点：余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），则下列四个命题中正确命题的是（ ）
A．在（0，1）上单调递减
B．（1，2）上单调递减
C．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f（x）的值域为[0，+∞）
【分析】利用复合函数的单调性可判断AB选项；
利用函数的对称性可判断C选项；
利用对数函数的单调性可判断D选项．
【解答】解：对于函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），有，解得0＜x＜2，
所以，函数f（x）的定义域为（0，2），且f（x）＝ln（2x﹣x2）．
对于AB选项，内层函数u＝2x﹣x2在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，
由于外层函数y＝lnu为增函数，故函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，A错B对；
对于C选项，f（2﹣x）＝ln（2﹣x）+ln[2﹣（2﹣x）]＝ln（2﹣x）+lnx＝f（x），
所以，函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，C对；
对于D选项，当0＜x＜2时，2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1∈（0，1]，故f（x）＝ln（2x﹣x2）∈（﹣∞，0]，D错．
故选：BC．
【点评】本题考查了复合函数的单调性、对称性及值域，属于基础题．
（多选）12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＞0，则f（x）满足（ ）
A．f（0）＝0
B．y＝f（x）是偶函数
C．f（x）在[m，n]上有最大值f（m）
D．f（x﹣1）＞0的解集为（﹣∞，1）
【分析】根据抽象函数关系，分别利用赋值法，转化法进行判断即可．
【解答】解：A，令x＝y＝0，则f（0）＝2f（0），解得f（0）＝0，故A正确，
B，令y＝﹣x，则f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故B错误，
C．设x1＜x2，则x1﹣x2＜0，由题意可得，f（x1﹣x2）＞0，即f（x1）+f（﹣x2）＝f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故函数f（x）在R上的减函数，f（x）在[m，n]上的最大值为f（m），故C正确，
f（x﹣1）＞0等价于f（x﹣1）＞f（0），
∵f（x）为R上的减函数，
∴x﹣1＜0，解得x＜1．即不等式的解集为{x|x＜1}，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法，结合函数奇偶性和单调性的定义和性质是解决本题的关键，是中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）函数的定义域是 （﹣3，2] ．
【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】解：∵，
∴，∴﹣3＜x≤2，
∴函数的定义域为（﹣3，2]．
故答案为：（﹣3，2]．
【点评】本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题．
14．（5分）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角θ终边上的一点，且sinθ＝﹣，则y＝ ﹣8 ．
【分析】根据三角函数的第二定义，我们可得sinθ＝（r表示点P到原点的距离），结合p（4，y）是角θ终边上的一点，且，我们可以构造出一个关于y的方程，解方程即可求出y值．
【解答】解：若P（4，y）是角θ终边上的一点，
则点P到原点的距离r＝
则＝，则y＝﹣8
故答案为：﹣8
【点评】本题考查的知识点是任意角的三角函数的定义，其中根据三角函数的第二定义将已知条件转化为一个关于y的方程是解答本题的关键．
15．（5分）已知sin，α∈（0，π），则tanα＝ ﹣ ．
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得sinα和cosα的值，可得tanα的值．
【解答】解：已知sin，α∈（0，π），sin2α+cos2α＝1，sinα＞0，∴sinα＝，cosα＝﹣，
则tanα＝＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题
16．（5分）函数f（x）＝a2x+ax+1（a＞0，且a≠1）在[﹣1，1]上的最大值为13，则实数a的值为 3或 ．
【分析】令t＝ax，将函数转化为二次函数，然后结合二次函数的单调性求最大值，列出关于a的方程求解．
【解答】解：令t＝ax，则原函数可化为g（t）＝t2+t+1，对称轴为t＝﹣，显然该函数在[，+∞）上单调递增，
当a＞1时，t∈[，a]，g（t）max＝g（a）＝a2+a+1＝13，解得a＝3或﹣4（舍）；
当0＜a＜1时，t∈[a，]，g（t）max＝g（）＝13，解得a＝或﹣，
综上可知：a的取值为3或．
故答案为：3或．
【点评】本题考查函数的单调性和最值的求法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．已知，且．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．
（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可求解．
【解答】解：（1）因为，且，
所以cosα＝﹣＝﹣，
所以tanα＝＝﹣2；
（2）＝＝＝＝＝．
【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
18．已知函数．
（1）判断函数f（x）的单调性，并用单调性定义证明；
（2）若f（x）为奇函数，求满足的x的取值范围．
【分析】（1）设x1＜x2，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断函数的单调性；
（2）由奇函数性质f（0）＝0可求a，然后结合函数单调性及指数函数单调性可求x的范围．
【解答】解：（1）在R上单调递增，证明如下：
设x1＜x2，则，
所以f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＜0，
所以f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在R上单调递增；
（2）因为为奇函数且函数定义域R，
所以f（0）＝a﹣1＝0，即a＝1，
此时f（x）＝1﹣＝，f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），满足题意，
故f（x）＝，
因为f（x）单调递增，
由得，，
所以x＜﹣3，
所以x的取值范围为{x|x＜﹣3}．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的应用，解题的关键是函数性质的灵活应用，属于中档题．
19．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，若记仓库到车站的距离为x（单位：km），经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1（单位：万元）与（x+1）成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与（4x+1）成正比；若在距离车站3km处建仓库，则y1与y2分别为12.5万元和6.5万元．记两项费用之和为w．
（1）求w关于x的解析式；
（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．
【分析】（1）根据已知条件，分别设出y1，y2的解析式，将对应的点代入，分别求出函数y1，y2，再将两个函数求和，即可求解．
（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：（1）∵每月土地占地费y1（单位：万元）与（x+1）成反比，
∴可设，
∵每月库存货物费y2（单位：万元）与（4x+1）成正比，
∴可设y2＝k2（4x+1），
∵在距离车站3km处建仓库，则y1与y2分别为12.5万元和6.5万元，
∴k1＝4×12.5＝50，，则，y2＝2x+0.5，
故w＝．
（2）w＝＝≥，
当且仅当，即x＝4时，等号成立，
故这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为18.5万元．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式公式是解本题的关键，属于基础题．
20．函数图像的相邻对称轴与对称中心之间的距离为．
（1）求函数f（x）在[0，π]上的单调增区间；
（2）当时，求f（x）的值域．
【分析】（1）直接利用函数的性质求出函数的关系式，进一步求出函数的单调区间；
（2）利用函数的定义域求出函数的值域．
【解答】解：（1）函数图像的相邻对称轴与对称中心之间的距离为，
故T＝π，
所以ω＝2；
故函数f（x）＝2sin（2x+）；
令（k∈Z），
整理得：（k∈Z）；
由于x∈[0，π]，
故函数的单调递增区间为[0，]和[]．
（2）由于，
故，
故f（x）∈[﹣1，2]．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
21．如图，过函数f（x）＝logcx（c＞1）的图像上的两点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为M（a，0），N（b，0）（b＞a＞1），线段BN与函数g（x）＝logmx（m＞c＞1）的图像交于C点，且AC垂直于y轴．
（1）当a＝2，b＝4，c＝4时，求实数m的值；
（2）当b＝a2时，求的最小值．
【分析】（1）根据A，C两点的纵坐标相等列方程即可解出m．
（2）据A，C两点的纵坐标相等得出a，b，c，m的关系，代入得出关于的二次函数，利用二次函数求最值即可．
【解答】解：（1）由题意得A（2，log42），B（4，1），C（4，logm4）．
又AC与y轴垂直，∴logm4＝log42＝，
解得m＝16．
（2）由题意得A（a，logca），B（b，logcb），C（b，logmb）．
∵AC与y轴垂直，∴logmb＝logca．
∵b＝a2，∴m＝c2，
∴＝﹣＝﹣1，
∴当＝1时，的最小值为﹣1．
【点评】本题考查了对数计算，对数函数的性质和应用，属于中档题．
22．已知a＜0，函数f（x）＝acosx++，其中x∈[﹣，]．
（1）设t＝+，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数g（t）；
（2）求函数f（x）的最大值（可以用a表示）；
（3）若对区间[﹣，]内的任意x1，x2，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤1，求实数a的取值范围．
【分析】（1）令+＝t，换元可得；
（2）问题转化为，的最大值，由二次函数分类讨论可得；
（3）问题转化为gmax（t）﹣gmin（t）≤1对成立，分类讨论可得．
【解答】解：（1）∵，
又∵，∴cosx≥0，从而t2＝2+2cosx，∴t2∈[2，4]．
又∵t＞0，∴，∵，∴，
（2）求函数f（x）的最大值即求，的最大值．
，对称轴为．
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，gmax（t）＝g（2）＝a+2；
综上可得，当时，f（x）的最大值是；当时，f（x）的最大值是；
当时，f（x）的最大值是a+2；
（3）要使得|f（x1）﹣f（x2）|≤1对区间内的任意x1，x2恒成立，
只需fmax（x）﹣fmin（x）≤1．也就是要求gmax（t）﹣gmin（t）≤1对成立
∵当，即时，gmin（t）＝g（2）＝a+2；
且当时，
结合问题（2）需分四种情况讨论：
①时，成立，∴；
②时，，即，
注意到函数在上单调递减，故p（a）＞p（）＝﹣，
于是成立，∴；
③时，即，
注意到函数在上单调递增，
故，于是成立，∴；
④时，，即，∴；
综上，实数a的取值范围是
【点评】本题考查函数的恒成立问题，涉及二次函数的最值和分类讨论以及三角函数的运算，属中档题．
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2021-2022学年湖北省武汉市部分省示范高中高一（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．（5分）设集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x∈N*|0＜x＜4}，则A∩B＝（ ）
A．{x|0＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜4} C．{1，2} D．{0，1，2}
2．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定为（ ）
A．∀x∈R，x2+x+1≤0 B．∃x∈R，x2+x+1≤0
C．∃x∈R，x2+x+1＜0 D．∃x∈R，x2+x+1＞0
3．（5分）已知某扇形的圆心角为3弧度，弧长为6，则扇形的面积为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
4．（5分）函数的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（5分）设函数，若对于任意的实数x，恒成立，则ω的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）已知f（x）＝|tan（x+φ）|，则“函数f（x）的图象关于y轴对称”是“φ＝kπ（k∈Z）”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣m有两个不同的零点，则实数m的取值范围为（ ）
A．（2，+∞） B． C． D．
8．（5分）已知函数f（x）为R上的偶函数，且对任意x1，x2∈（0，+∞），均有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0成立，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，少选得2分，多选得0分.
（多选）9．（5分）用二分法求函数f（x）＝x3+x2﹣2x﹣2的一个正零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：f（1）＝﹣2，f（1.5）＝0.625，f（1.25）≈﹣0.984，f（1.375）≈﹣0.260，关于下一步的说法不正确的是（ ）
A．已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值
B．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值
C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.4375）
D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.3125）
（多选）10．（5分）对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为π
B．其图象关于点对称
C．对称轴方程为
D．单调增区间
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），则下列四个命题中正确命题的是（ ）
A．在（0，1）上单调递减
B．（1，2）上单调递减
C．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f（x）的值域为[0，+∞）
（多选）12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＞0，则f（x）满足（ ）
A．f（0）＝0
B．y＝f（x）是偶函数
C．f（x）在[m，n]上有最大值f（m）
D．f（x﹣1）＞0的解集为（﹣∞，1）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）函数的定义域是 ．
14．（5分）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角θ终边上的一点，且sinθ＝﹣，则y＝ ．
15．（5分）已知sin，α∈（0，π），则tanα＝ ．
16．（5分）函数f（x）＝a2x+ax+1（a＞0，且a≠1）在[﹣1，1]上的最大值为13，则实数a的值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．已知，且．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
18．已知函数．
（1）判断函数f（x）的单调性，并用单调性定义证明；
（2）若f（x）为奇函数，求满足的x的取值范围．
19．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，若记仓库到车站的距离为x（单位：km），经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1（单位：万元）与（x+1）成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与（4x+1）成正比；若在距离车站3km处建仓库，则y1与y2分别为12.5万元和6.5万元．记两项费用之和为w．
（1）求w关于x的解析式；
（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．
20．函数图像的相邻对称轴与对称中心之间的距离为．
（1）求函数f（x）在[0，π]上的单调增区间；
（2）当时，求f（x）的值域．
21．如图，过函数f（x）＝logcx（c＞1）的图像上的两点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为M（a，0），N（b，0）（b＞a＞1），线段BN与函数g（x）＝logmx（m＞c＞1）的图像交于C点，且AC垂直于y轴．
（1）当a＝2，b＝4，c＝4时，求实数m的值；
（2）当b＝a2时，求的最小值．
22．已知a＜0，函数f（x）＝acosx++，其中x∈[﹣，]．
（1）设t＝+，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数g（t）；
（2）求函数f（x）的最大值（可以用a表示）；
（3）若对区间[﹣，]内的任意x1，x2，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤1，求实数a的取值范围．
2021-2022学年湖北省武汉市部分省示范高中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．（5分）设集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x∈N*|0＜x＜4}，则A∩B＝（ ）
A．{x|0＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜4} C．{1，2} D．{0，1，2}
【分析】先求出集合B，再由集合交集的定义求解即可．
【解答】解：因为集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x∈N*|0＜x＜4}＝{1，2，3}，
则A∩B＝{1，2}．
故选：C．
【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．
2．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定为（ ）
A．∀x∈R，x2+x+1≤0 B．∃x∈R，x2+x+1≤0
C．∃x∈R，x2+x+1＜0 D．∃x∈R，x2+x+1＞0
【分析】根据含有量词的命题的否定：将任意改为存在，结论否定，即可写出命题的否定．
【解答】解：由题意∀x∈R，x2+x+1＞0，否定是∃x∈R，x2+x+1≤0．
故选：B．
【点评】本题的考点是命题的否定，主要考查含量词的命题的否定形式：将任意改为存在，结论否定即可．
3．（5分）已知某扇形的圆心角为3弧度，弧长为6，则扇形的面积为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
【分析】首先结合已知条件得到r，然后根据扇形的面积公式求解．
【解答】解：∵扇形的圆心角α为3弧度，弧长l为6，
设扇形的半径为r，面积为s，则l＝αr，
∴r＝＝2，
∴s＝lr＝×6×2＝6．
∴该扇形的面积为6．
故选：C．
【点评】本题重点考查了扇形的弧长公式、面积公式等知识，属于基础题．
4．（5分）函数的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用函数值的符号以及单调性进行判断即可．
【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，
f（﹣x）＝＝＝f（x），则f（x）为偶函数，排除C，
当0＜x＜1时，f（x）＜0，排除D，
当x＞0时，f（x）＝＝x﹣为增函数，排除B，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断是解决本题的关键，是基础题．
5．（5分）设函数，若对于任意的实数x，恒成立，则ω的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意可得f（）是函数的最大值，故2ω×+＝2kπ+，k∈Z，由此可得ω的最小值．
【解答】解：∵对于任意的实数x，恒成立，
∴f（）是函数的最大值，故2ω×+＝2kπ+，k∈Z，
即ω＝3k+，k∈Z，
令k＝0，可得ω的最小值为，
故选：C．
【点评】本题主要考查正弦函数的最大值问题，属于中档题．
6．（5分）已知f（x）＝|tan（x+φ）|，则“函数f（x）的图象关于y轴对称”是“φ＝kπ（k∈Z）”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由题意利用充分条件、必要条件、充要条件的定义，正切函数的性质，得出结论．
【解答】解：∵f（x）＝|tan（x+φ）|，
由“函数f（x）的图象关于y轴对称”，可得y＝tan（x+φ）是奇函数，
可得“φ＝ （k∈Z）”，故充分性不成立．
由φ＝kπ（k∈Z），可得y＝tan（x+φ）＝tanx，可得f（x）＝|tan（x+φ）|＝|tanx|为偶函数，
故f（x）的图象关于y轴对称，故必要性成立，
∴函数f（x）的图象关于y轴对称”是“φ＝kπ（k∈Z）”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，正切函数的性质，属于中档题．
7．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣m有两个不同的零点，则实数m的取值范围为（ ）
A．（2，+∞） B． C． D．
【分析】画出f（x）的图象，根据y＝f（x）图象与y＝m有两个交点来求得a的取值范围．
【解答】解：当x≤0时，f（x）＝＝＝2+＜2，
所以函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，
y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣，
f（）＝﹣，
令g（x）＝0，得f（x）＝m，
作出函数y＝f（x），y＝m的大致图象如图所示，观察可知，m∈（﹣，2），
故选：D．
【点评】本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查学生的运算能力，属于中档题．
8．（5分）已知函数f（x）为R上的偶函数，且对任意x1，x2∈（0，+∞），均有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0成立，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
【解答】解：由题意得，偶函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
b＝f（log2）＝f（﹣log23）＝f（log23），＝8，（）6＝e2，而8＞e2，
故，
又log23＝1+log2＞1+log2＝＞，
所以log23＞＞＞0，
又f（x）在（0，+∞）上单调递减，
所以f（log23）＜f（）＜f（e），
所以b＜a＜c．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，少选得2分，多选得0分.
（多选）9．（5分）用二分法求函数f（x）＝x3+x2﹣2x﹣2的一个正零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：f（1）＝﹣2，f（1.5）＝0.625，f（1.25）≈﹣0.984，f（1.375）≈﹣0.260，关于下一步的说法不正确的是（ ）
A．已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值
B．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值
C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.4375）
D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.3125）
【分析】利用二分法的方法判断出方程的根分布的区间，据精确度求出根的近似值．
【解答】解：由二分法知，方程x3+x2﹣2x﹣2＝0的根在区间区间（1.375，1.5），没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.4375）．
故选：ABD．
【点评】本题考查二分法求方程根的近似值的步骤：依次求出区间的端点的中点的值，判断出根分布的区间．
（多选）10．（5分）对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为π
B．其图象关于点对称
C．对称轴方程为
D．单调增区间
【分析】直接利用余弦型函数性质的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：函数，
所以对于A：函数的最小值正周期为π；当故A正确；
对于B：x＝时，f（）＝3，故B错误；
对于C：当，整理得，故C正确；
对于D：令（k∈Z）；
整理得（k∈Z）；
故函数的单调递增区间为；故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查的知识要点：余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），则下列四个命题中正确命题的是（ ）
A．在（0，1）上单调递减
B．（1，2）上单调递减
C．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f（x）的值域为[0，+∞）
【分析】利用复合函数的单调性可判断AB选项；
利用函数的对称性可判断C选项；
利用对数函数的单调性可判断D选项．
【解答】解：对于函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），有，解得0＜x＜2，
所以，函数f（x）的定义域为（0，2），且f（x）＝ln（2x﹣x2）．
对于AB选项，内层函数u＝2x﹣x2在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，
由于外层函数y＝lnu为增函数，故函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，A错B对；
对于C选项，f（2﹣x）＝ln（2﹣x）+ln[2﹣（2﹣x）]＝ln（2﹣x）+lnx＝f（x），
所以，函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，C对；
对于D选项，当0＜x＜2时，2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1∈（0，1]，故f（x）＝ln（2x﹣x2）∈（﹣∞，0]，D错．
故选：BC．
【点评】本题考查了复合函数的单调性、对称性及值域，属于基础题．
（多选）12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＞0，则f（x）满足（ ）
A．f（0）＝0
B．y＝f（x）是偶函数
C．f（x）在[m，n]上有最大值f（m）
D．f（x﹣1）＞0的解集为（﹣∞，1）
【分析】根据抽象函数关系，分别利用赋值法，转化法进行判断即可．
【解答】解：A，令x＝y＝0，则f（0）＝2f（0），解得f（0）＝0，故A正确，
B，令y＝﹣x，则f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故B错误，
C．设x1＜x2，则x1﹣x2＜0，由题意可得，f（x1﹣x2）＞0，即f（x1）+f（﹣x2）＝f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故函数f（x）在R上的减函数，f（x）在[m，n]上的最大值为f（m），故C正确，
f（x﹣1）＞0等价于f（x﹣1）＞f（0），
∵f（x）为R上的减函数，
∴x﹣1＜0，解得x＜1．即不等式的解集为{x|x＜1}，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法，结合函数奇偶性和单调性的定义和性质是解决本题的关键，是中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）函数的定义域是 （﹣3，2] ．
【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】解：∵，
∴，∴﹣3＜x≤2，
∴函数的定义域为（﹣3，2]．
故答案为：（﹣3，2]．
【点评】本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题．
14．（5分）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角θ终边上的一点，且sinθ＝﹣，则y＝ ﹣8 ．
【分析】根据三角函数的第二定义，我们可得sinθ＝（r表示点P到原点的距离），结合p（4，y）是角θ终边上的一点，且，我们可以构造出一个关于y的方程，解方程即可求出y值．
【解答】解：若P（4，y）是角θ终边上的一点，
则点P到原点的距离r＝
则＝，则y＝﹣8
故答案为：﹣8
【点评】本题考查的知识点是任意角的三角函数的定义，其中根据三角函数的第二定义将已知条件转化为一个关于y的方程是解答本题的关键．
15．（5分）已知sin，α∈（0，π），则tanα＝ ﹣ ．
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得sinα和cosα的值，可得tanα的值．
【解答】解：已知sin，α∈（0，π），sin2α+cos2α＝1，sinα＞0，∴sinα＝，cosα＝﹣，
则tanα＝＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题
16．（5分）函数f（x）＝a2x+ax+1（a＞0，且a≠1）在[﹣1，1]上的最大值为13，则实数a的值为 3或 ．
【分析】令t＝ax，将函数转化为二次函数，然后结合二次函数的单调性求最大值，列出关于a的方程求解．
【解答】解：令t＝ax，则原函数可化为g（t）＝t2+t+1，对称轴为t＝﹣，显然该函数在[，+∞）上单调递增，
当a＞1时，t∈[，a]，g（t）max＝g（a）＝a2+a+1＝13，解得a＝3或﹣4（舍）；
当0＜a＜1时，t∈[a，]，g（t）max＝g（）＝13，解得a＝或﹣，
综上可知：a的取值为3或．
故答案为：3或．
【点评】本题考查函数的单调性和最值的求法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．已知，且．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．
（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可求解．
【解答】解：（1）因为，且，
所以cosα＝﹣＝﹣，
所以tanα＝＝﹣2；
（2）＝＝＝＝＝．
【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
18．已知函数．
（1）判断函数f（x）的单调性，并用单调性定义证明；
（2）若f（x）为奇函数，求满足的x的取值范围．
【分析】（1）设x1＜x2，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断函数的单调性；
（2）由奇函数性质f（0）＝0可求a，然后结合函数单调性及指数函数单调性可求x的范围．
【解答】解：（1）在R上单调递增，证明如下：
设x1＜x2，则，
所以f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＜0，
所以f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在R上单调递增；
（2）因为为奇函数且函数定义域R，
所以f（0）＝a﹣1＝0，即a＝1，
此时f（x）＝1﹣＝，f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），满足题意，
故f（x）＝，
因为f（x）单调递增，
由得，，
所以x＜﹣3，
所以x的取值范围为{x|x＜﹣3}．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的应用，解题的关键是函数性质的灵活应用，属于中档题．
19．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，若记仓库到车站的距离为x（单位：km），经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1（单位：万元）与（x+1）成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与（4x+1）成正比；若在距离车站3km处建仓库，则y1与y2分别为12.5万元和6.5万元．记两项费用之和为w．
（1）求w关于x的解析式；
（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．
【分析】（1）根据已知条件，分别设出y1，y2的解析式，将对应的点代入，分别求出函数y1，y2，再将两个函数求和，即可求解．
（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：（1）∵每月土地占地费y1（单位：万元）与（x+1）成反比，
∴可设，
∵每月库存货物费y2（单位：万元）与（4x+1）成正比，
∴可设y2＝k2（4x+1），
∵在距离车站3km处建仓库，则y1与y2分别为12.5万元和6.5万元，
∴k1＝4×12.5＝50，，则，y2＝2x+0.5，
故w＝．
（2）w＝＝≥，
当且仅当，即x＝4时，等号成立，
故这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为18.5万元．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式公式是解本题的关键，属于基础题．
20．函数图像的相邻对称轴与对称中心之间的距离为．
（1）求函数f（x）在[0，π]上的单调增区间；
（2）当时，求f（x）的值域．
【分析】（1）直接利用函数的性质求出函数的关系式，进一步求出函数的单调区间；
（2）利用函数的定义域求出函数的值域．
【解答】解：（1）函数图像的相邻对称轴与对称中心之间的距离为，
故T＝π，
所以ω＝2；
故函数f（x）＝2sin（2x+）；
令（k∈Z），
整理得：（k∈Z）；
由于x∈[0，π]，
故函数的单调递增区间为[0，]和[]．
（2）由于，
故，
故f（x）∈[﹣1，2]．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
21．如图，过函数f（x）＝logcx（c＞1）的图像上的两点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为M（a，0），N（b，0）（b＞a＞1），线段BN与函数g（x）＝logmx（m＞c＞1）的图像交于C点，且AC垂直于y轴．
（1）当a＝2，b＝4，c＝4时，求实数m的值；
（2）当b＝a2时，求的最小值．
【分析】（1）根据A，C两点的纵坐标相等列方程即可解出m．
（2）据A，C两点的纵坐标相等得出a，b，c，m的关系，代入得出关于的二次函数，利用二次函数求最值即可．
【解答】解：（1）由题意得A（2，log42），B（4，1），C（4，logm4）．
又AC与y轴垂直，∴logm4＝log42＝，
解得m＝16．
（2）由题意得A（a，logca），B（b，logcb），C（b，logmb）．
∵AC与y轴垂直，∴logmb＝logca．
∵b＝a2，∴m＝c2，
∴＝﹣＝﹣1，
∴当＝1时，的最小值为﹣1．
【点评】本题考查了对数计算，对数函数的性质和应用，属于中档题．
22．已知a＜0，函数f（x）＝acosx++，其中x∈[﹣，]．
（1）设t＝+，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数g（t）；
（2）求函数f（x）的最大值（可以用a表示）；
（3）若对区间[﹣，]内的任意x1，x2，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤1，求实数a的取值范围．
【分析】（1）令+＝t，换元可得；
（2）问题转化为，的最大值，由二次函数分类讨论可得；
（3）问题转化为gmax（t）﹣gmin（t）≤1对成立，分类讨论可得．
【解答】解：（1）∵，
又∵，∴cosx≥0，从而t2＝2+2cosx，∴t2∈[2，4]．
又∵t＞0，∴，∵，∴，
（2）求函数f（x）的最大值即求，的最大值．
，对称轴为．
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，gmax（t）＝g（2）＝a+2；
综上可得，当时，f（x）的最大值是；当时，f（x）的最大值是；
当时，f（x）的最大值是a+2；
（3）要使得|f（x1）﹣f（x2）|≤1对区间内的任意x1，x2恒成立，
只需fmax（x）﹣fmin（x）≤1．也就是要求gmax（t）﹣gmin（t）≤1对成立
∵当，即时，gmin（t）＝g（2）＝a+2；
且当时，
结合问题（2）需分四种情况讨论：
①时，成立，∴；
②时，，即，
注意到函数在上单调递减，故p（a）＞p（）＝﹣，
于是成立，∴；
③时，即，
注意到函数在上单调递增，
故，于是成立，∴；
④时，，即，∴；
综上，实数a的取值范围是
【点评】本题考查函数的恒成立问题，涉及二次函数的最值和分类讨论以及三角函数的运算，属中档题．
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