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2021-2022学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期末数学试卷
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这是一份2021-2022学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合M＝，N＝{x|2x＞8}，则M∩（∁RN）＝（ ）
A． B．（2，3） C． D．（2，3]
2．（5分）下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（ ）
A．f（x）＝sinx
B．f（x）＝﹣|x+1|
C．f（x）＝（a＞0且a≠1）
D．f（x）＝ln
3．（5分）已知幂函数y＝xa的图象过点，则下列两函数的大小关系为：（x2﹣2x+4）a（ ）（﹣3）a
A．≤ B．≥ C．＜ D．＞
4．（5分）下列四个函数：
①y＝﹣x+1，
②y＝，
③y＝ln|x|，
④，
其中定义域和值域相同的函数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．（5分）下列关于命题“若x＞1，则2x+1＞5”（假命题）的否定，正确的是（ ）
A．若x＞1，则2x+1≤5
B．存在一个实数x，满足x＞1，但2x+1≤5
C．任意实数x，满足x＞1，但2x+1≤5
D．若存在一个实数x，满足x≤1，则2x+1≤5
6．（5分）函数的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（5分）“函数y＝﹣x3+ax在（0，1）上是增函数”是：“实数a＞3”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）已知实数a，b，c满足a＞b＞c，函数有两个零点x1，x2（x1＜x2），则关于函数f（x）的零点x1，x2的下列关系式一定正确的是（ ）
A．x1＜c＜b＜x2＜a B．c＜x1＜b＜a＜x2
C．c＜x1＜x2＜b＜a D．c＜x1＜b＜x2＜a
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列计算结果为有理数的有（ ）
A．lg2+lg5 B．
C． D．
（多选）10．（5分）已知角α是锐角，若sinα，cosα是关于x的方程x2+mx+n＝0的两个实数根，则下列关于实数m，n的判断正确的是（ ）
A．m2﹣2n﹣1＝0 B．mn＞0 C．m+n+1＞0 D．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝ln（x2﹣bx﹣b+1），下列说法正确的有（ ）
A．当b＝0时，函数f（x）的定义域为R
B．当b＝0时，函数f（x）的值域为R
C．函数f（x）有最小值的充要条件为：b2+4b﹣4＜0
D．若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数b的取值范围是（﹣∞，4]
（多选）12．（5分）如图所示，点M，N是函数的图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，若M（﹣1，0），且当△MPN的面积最大时，PM⊥PN，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．f（x）的图象关于直线x＝5对称
C．f（x）的单调增区间为[﹣1+8k，1+8k]（k∈Z）
D．∀x1，x2∈[﹣1+8k，1+8k]（k∈Z），均有f（）≥
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
13．（5分）《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4．在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是 ．
14．（5分）已知α∈（0，π），cosα＝，角β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边交圆心为坐标原点的单位圆于点，且β∈（0，π），则2α﹣β＝ ．
15．（5分）已知函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，f（x）＝2x﹣4，x∈（1，2]，则f（log27）＝ ．
16．（5分）若实数x，m满足0＜x＜m（m为常数），为减小计算量，我们可以借助二元基本不等式求出的最大值．基本步骤如下：∵0＜x＜m，∴x＞0，m﹣2x＞0，∴，当且仅当x＝时，等号成立．这样得到的最大值为；类比上面的解题原理，我们可以解决下面的问题：若α为锐角，则函数y＝得最大值为 ，当且仅当cosα＝ 时，等号成立．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知θ∈（0，π），且sinθ+cosθ＝．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．（12分）已知函数的图象过点，且图象上与P点最近的一个最低点坐标为．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，再向下平移2个单位长度得到g（x）的图象，写出函数g（x）在区间上的单调递增区间（不需要写过程）；并求出函数g（x）在区间上的值域．
19．（12分）如图，AB是半圆的直径，C，D是半圆上的两点，AB∥CD，AD＝BC＝2，设，四边形ABCD的周长为f（x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）关于x的方程在区间[2，4]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
20．（12分）函数f（x）＝﹣x+sinxcosx．
（1）若，求sinα；
（2）若函数y＝f（ωx）（0＜ω＜3）的图象在区间有且仅有一条经过最高点的对称轴，求ω的取值范围（不需要证明唯一性）．
21．（12分）如图，直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的一个定点，过点A的直线EF⊥l1，与直线l1，l2分别交于点E，F，且AE＝m，AF＝n（m，n为常数），点B，C分别为直线l1，l2上的动点，已知，设．
（1）求△ABC的面积关于α的函数解析式f（α）；
（2）求函数f（α）的最小值．
22．（12分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）＝ex．
（1）分别求出函数f（x），g（x）的解析式；
（2）若∀x∈（ln（），ln），都有（m2﹣2）f（x）+mg（2x）﹣4m＞0成立，求实数m的取值范围．
2021-2022学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合M＝，N＝{x|2x＞8}，则M∩（∁RN）＝（ ）
A． B．（2，3） C． D．（2，3]
【分析】求出集合M，N，进而求出∁RN，由此能求出M∩（∁RN）．
【解答】解：集合M＝＝{x|x＞}，
N＝{x|2x＞8}＝{x|x＞3}，
∴∁RN＝{x|x≤3}，
∴M∩（∁RN）＝（，3]．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（ ）
A．f（x）＝sinx
B．f（x）＝﹣|x+1|
C．f（x）＝（a＞0且a≠1）
D．f（x）＝ln
【分析】分别根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可得到结论．
【解答】解：函数f（x）＝sinx，是奇函数，在[﹣1，1]上单调递增，不满足条件．
函数f（x）＝﹣|x+1|不是奇函数，不满足条件，
函数f（x）＝是偶函数，不满足条件，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．
3．（5分）已知幂函数y＝xa的图象过点，则下列两函数的大小关系为：（x2﹣2x+4）a（ ）（﹣3）a
A．≤ B．≥ C．＜ D．＞
【分析】幂函数y＝xa的图象过点，解得a＝﹣2，从而（x2﹣2x+4）a﹣（﹣3）a＝[（x﹣1）2+3]﹣2﹣≤0．由此能求出结果．
【解答】解：幂函数y＝xa的图象过点，
∴3a＝，解得a＝﹣2，
∴（x2﹣2x+4）a﹣（﹣3）a＝[（x﹣1）2+3]﹣2﹣≤0．
∴（x2﹣2x+4）a≤（﹣3）a．
故选：A．
【点评】本题考查两数大小的判断，考查幂函数的性质、作差法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（5分）下列四个函数：
①y＝﹣x+1，
②y＝，
③y＝ln|x|，
④，
其中定义域和值域相同的函数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】利用函数的解析式，分别求出函数的定义域和值域，可得结论．
【解答】解：四个函数：①y＝﹣x+1的定义域和值域都是R，满足条件；
②y＝ 的定义域和值域都是R，满足条件；
③y＝ln|x|的定义域为{x|x≠0}，值域为R，故不满足条件；
④＝2+的定义域为{x|x≠2}，值域为{y|y≠2}，故满足条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的定义域和值域，属于基础题．
5．（5分）下列关于命题“若x＞1，则2x+1＞5”（假命题）的否定，正确的是（ ）
A．若x＞1，则2x+1≤5
B．存在一个实数x，满足x＞1，但2x+1≤5
C．任意实数x，满足x＞1，但2x+1≤5
D．若存在一个实数x，满足x≤1，则2x+1≤5
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
【解答】解：命题全称是命题，则命题的否定是特称命题，
即存在一个实数x，满足x＞1，但2x+1≤5，
故选：B．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
6．（5分）函数的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，分析函数的奇偶性，排除A，再利用特殊点的函数值判断即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，其定义域为{x|x≠±1}，
有f（﹣x）＝＝﹣f（x），f（x）为奇函数，排除A，
当x＝时，y＝＝﹣＞0，排除B，
令f（x）＝＝0，解得x＝0，排除C，
故选：D．
【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性，特殊点的函数值的判断，属于基础题．
7．（5分）“函数y＝﹣x3+ax在（0，1）上是增函数”是：“实数a＞3”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】求出y′＝﹣3x2+a，由函数y＝﹣x3+ax在（0，1）上是增函数，求出a≥3，即充分性不成立；当a＞3时，y′＝﹣3x2+a＞0在x∈（0，1）时恒成立，从而函数y＝﹣x3+ax在（0，1）上是增函数，即必要性成立．
【解答】解：∵y＝﹣x3+ax，∴y′＝﹣3x2+a，
∵函数y＝﹣x3+ax在（0，1）上是增函数，
∴f′（x）＝﹣3x2+a≥0在区间（0，1）上恒成立，
∴a≥3x2，x∈（0，1）恒成立，
∴a≥3，即充分性不成立；
当a＞3时，y′＝﹣3x2+a＞0在x∈（0，1）时恒成立，
∴函数y＝﹣x3+ax在（0，1）上是增函数，即必要性成立．
∴“函数y＝﹣x3+ax在（0，1）上是增函数”是：“实数a＞3”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查函数的单调性、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．（5分）已知实数a，b，c满足a＞b＞c，函数有两个零点x1，x2（x1＜x2），则关于函数f（x）的零点x1，x2的下列关系式一定正确的是（ ）
A．x1＜c＜b＜x2＜a B．c＜x1＜b＜a＜x2
C．c＜x1＜x2＜b＜a D．c＜x1＜b＜x2＜a
【分析】令f（x）＝0 化简可得：（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣a）（x﹣c）+（x﹣a）（x﹣b）＝0，
令g（x）＝（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣a）（x﹣c）+（x﹣a）（x﹣b），计算可得g（a）＞0，g（b）＜0，g（c）＞0，进而可判断结果．
【解答】解：方程 即为（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣a）（x﹣c）+（x﹣a）（x﹣b）＝0，
令g（x）＝（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣a）（x﹣c）+（x﹣a）（x﹣b），
∵a＞b＞c，
∴g（a）＝（a﹣b）（a﹣c）＞0，g（b）＝（b﹣a）（b﹣c）＜0，g（c）＝（c﹣a）（c﹣b）＞0，
根据零点存在性定理得出在（c，b），（b，a）上函数 g（x）各有一个零点，
所以 c＜x1＜b＜x2＜a，
故选：D．
【点评】本题考查了函数的零点判定定理，属于中档题．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列计算结果为有理数的有（ ）
A．lg2+lg5 B．
C． D．
【分析】由对数性质、运算法则能判断AC；求出sin，能判断B；由cos＝sin，利用正弦二倍角公式能判断D．
【解答】解：对于A，lg2+lg5＝1，是有理数，故A正确；
对于B，sin＝，不是有理数，故B错误；
对于C，﹣e＝﹣e＝0，是有理数，故C正确；
对于D，＝＝2sin＝sin＝1，是有理数，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查有理数的判断，考查对数性质、运算法则、三角函数性质、诱导公式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）10．（5分）已知角α是锐角，若sinα，cosα是关于x的方程x2+mx+n＝0的两个实数根，则下列关于实数m，n的判断正确的是（ ）
A．m2﹣2n﹣1＝0 B．mn＞0 C．m+n+1＞0 D．
【分析】结合方程的根与系数关系及同角平方关系逐一分析各个选项即可求解．
【解答】解：因为1＝sin2α+cos2α＝（sinα+cosα）2﹣2sinαcosα＝m2﹣2n，
∴m2＝2n+1，∴m2﹣2n﹣1＝0．故A正确；
由题可得sinα+cosα＝﹣m＜0，sinαcosα＝n＞0，故B错误；
因为角α是锐角，
所以m＝﹣（sinα+cosα）＝﹣sin（α+）∈[﹣，﹣1）
所以m+n+1＝m++1＝＞0，故C正确；
n＝sinαcosα＝sin2α∈（0，]，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了方程的根与系数关系及同角三角函数基本关系的应用，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝ln（x2﹣bx﹣b+1），下列说法正确的有（ ）
A．当b＝0时，函数f（x）的定义域为R
B．当b＝0时，函数f（x）的值域为R
C．函数f（x）有最小值的充要条件为：b2+4b﹣4＜0
D．若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数b的取值范围是（﹣∞，4]
【分析】直接利用函数的关系式求出函数的定义域和值域，再利用复合函数的单调性和最值的应用求出结果．
【解答】解：函数f（x）＝ln（x2﹣bx﹣b+1），
对于A：当b＝0时，f（x）＝ln（x2+1），故函数f（x）的定义域为R，故A正确；
对于B：当b＝0时，f（x）＝ln（x2+1），函数f（x）的定义域为R，故函数的值域为[0，+∞），故B错误；
对于C：函数f（x）有最小值，只需满足x2﹣bx﹣b+1＞0即可，故Δ＝b2+4b﹣4＜0，故C正确；
对于D：若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，故，整理得，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查的知识要点：函数的定义域和值域的求法，函数的最小值，复合函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）如图所示，点M，N是函数的图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，若M（﹣1，0），且当△MPN的面积最大时，PM⊥PN，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．f（x）的图象关于直线x＝5对称
C．f（x）的单调增区间为[﹣1+8k，1+8k]（k∈Z）
D．∀x1，x2∈[﹣1+8k，1+8k]（k∈Z），均有f（）≥
【分析】根据题意求出ω，φ，从而求得函数解析式，再运用三角函数相关知识对各个选项逐一分析即可．
【解答】解：由图知，当点P（x0，y0）位于曲线最高点（此时y0＝2）时，△MPN面积最大，且PM⊥PN，
所以△MPN为等腰直角三角形，
设MN的中点为Q，则PQ⊥MN且|PQ|＝|MN|，即y0＝|MN|＝2，
所以|MN|＝4，又ω＞0，|MN|＝×＝4，所以ω＝．
所以f（x）＝2sin（x+φ），
因为M（﹣1，0）⇒2sin[（﹣1）×+φ]＝0⇒（﹣1）×+φ＝kπ（k∈Z）⇒φ＝kπ+，k∈Z；
因为﹣＜φ＜，所以φ＝，所以f（x）＝2sin（x+），
对于A，f（0）＝2sin（）＝，故A正确；
对于B，f（5）＝2sin（+）＝2sin＝﹣2，取得函数最小值，所以f（x）关于直线x＝5对称，故B正确；
对于C，令x+∈[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）⇒x∈[8k﹣3，8k+1]（k∈Z），
所以f（x）的单调递增区间为[8k﹣3，8k+1]（k∈Z），故C错误；
对于D，由C选项分析以及题意可知函数图象在[﹣1+8k，1+8k]（k∈Z）区间上为x轴上方单调递增部分，
结合图象可知，此部分图象上凸，满足∀x1，x2∈[﹣1+8k，1+8k]（k∈Z），均有f（）≥，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查命题真假的判断，由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
13．（5分）《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4．在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是 ．
【分析】根据题意知扇形的弧长和直径，再计算扇形的面积和圆心角弧度数．
【解答】解：扇形中，弧长为l＝30，直径为d＝16，
扇形的圆心角弧度数是α＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了扇形的圆心角弧度数计算问题，是基础题．
14．（5分）已知α∈（0，π），cosα＝，角β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边交圆心为坐标原点的单位圆于点，且β∈（0，π），则2α﹣β＝ ﹣ ．
【分析】由同角三角函数的关系先求出sinα，由二倍角公式求出sin2α，cos2α，由三角函数的定义以及同角三角函数的关系先求出cosβ，sinβ，再分析出﹣π＜2α﹣β＜0，从而求出cos（2α﹣β）的值，得出答案．
【解答】解：由α∈（0，π），cosα＝，可得sinα＝＝＝，
所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝，cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣＝，
所以由α∈（0，π），cos2α＞0，sin2α＞0，可得0＜2α＜，
由角β终边交圆心为坐标原点的单位圆于点，且β∈（0，π），
则β∈（，π），cosβ＝＝﹣，则sinβ＝＝＝，
所以﹣π＜2α﹣β＜0，
所以由cos（ 2α﹣β）＝cos2αcosβ+sin2αsinβ＝×（﹣）+×＝，
所以2α﹣β＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的余弦公式，二倍角公式及同脚三角函数的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
15．（5分）已知函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，f（x）＝2x﹣4，x∈（1，2]，则f（log27）＝ ．
【分析】根据题意，由函数的奇偶性和周期性可得f（log27）＝f（log27﹣4）＝f（log2）＝﹣f（log2），结合函数的解析式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，
则f（log27）＝f（log27﹣4）＝f（log2）＝﹣f（log2），
又由f（x）＝2x﹣4，x∈（1，2]，则f（log2）＝﹣4＝﹣；
故f（log27）＝；
故答案为：．
【点评】本题考查函数的奇偶性和周期性的性质和应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
16．（5分）若实数x，m满足0＜x＜m（m为常数），为减小计算量，我们可以借助二元基本不等式求出的最大值．基本步骤如下：∵0＜x＜m，∴x＞0，m﹣2x＞0，∴，当且仅当x＝时，等号成立．这样得到的最大值为；类比上面的解题原理，我们可以解决下面的问题：若α为锐角，则函数y＝得最大值为 ，当且仅当cosα＝ 时，等号成立．
【分析】根据题中所给例题求解过程进行类比求解即可．
【解答】解：因为α为锐角，所以0＜cosα＜1，所以cosα＞0，1﹣cosα＞0，
所以，
当且仅当2cosα＝1﹣cosα，即时等号成立．
故答案为：；．
【点评】本题考查了二元基本不等式求最大值，考查了转化思想，属基础题．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知θ∈（0，π），且sinθ+cosθ＝．
（1）求的值；
（2）求的值．
【分析】由题意，利用同角三角函数的基本关系式、诱导公式，计算求得结果．
【解答】解：由①，平方并化简得，
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0，cosθ＜0，
∴②．
由①②得：．
（1）．
（2）＝＝．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
18．（12分）已知函数的图象过点，且图象上与P点最近的一个最低点坐标为．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，再向下平移2个单位长度得到g（x）的图象，写出函数g（x）在区间上的单调递增区间（不需要写过程）；并求出函数g（x）在区间上的值域．
【分析】（1）直接利用函数的图象求出函数的关系式；
（2）利用函数的图象的平移变换求出函数g（x）的关系式，进一步求出函数的单调递增区间，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．
【解答】解：（1）依题意可知：，
解得：ω＝2，
又∵f（x）的图象的一个最低点为，
∴，
由于|φ|＜，
所以φ＝；
故；
（2）
函数g（x）在区间上的单调递增区间为：；
又∵，
∴，
∴，
∴；
所以函数在区间上的值域为．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
19．（12分）如图，AB是半圆的直径，C，D是半圆上的两点，AB∥CD，AD＝BC＝2，设，四边形ABCD的周长为f（x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）关于x的方程在区间[2，4]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
【分析】（1）过点C作CE⊥AB，然后结合直角三角形射影定理可用x表示BE，然后结合CD＝AB﹣2BE即可求解；
（2）由及等价转化为或，即方程或在x∈[2，4]上有两个不等实数根，然后结合函数单调性可求．
【解答】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，
在Rt△ABC中，
∵BC2＝BE⋅AB，AB＝2x，BC＝2，
∴，∴，
∴；
（2）由及等价转化为或，
依题意：方程或在x∈[2，4]上有两个不等实数根．
∵函数在x∈[2，4]上单调递增，图像在直线y＝x的下方，值域为，
函数在x∈[2，4]上单调递增，图像在直线y＝x的上方，值域为，
要满足题意，则，即，
故实数m的取值范围为．
【点评】本题主要考查了利用直角三角形边长关系求解函数解析式，还考查了函数单调性在方程解的判断中的应用，属于中档题．
20．（12分）函数f（x）＝﹣x+sinxcosx．
（1）若，求sinα；
（2）若函数y＝f（ωx）（0＜ω＜3）的图象在区间有且仅有一条经过最高点的对称轴，求ω的取值范围（不需要证明唯一性）．
【分析】（1）由题意利用三角函数恒等变换的应用可求，可求的范围，利用同角三角函数基本关系式可求cos（）的值，进而根据两角差的正弦公式即可求解．
（2）根据题意利用正弦函数的性质可得，解得：x＝+，k∈Z，可得，结合范围0＜ω＜3，可求，分类讨论即可求解．
【解答】解：（1），
∵，
∴，
∵α∈（0，π），∴，
又∵，
∴，∴，
故．
（2）∵，
由，解得：x＝+，k∈Z，
依题意：，
∵0＜ω＜3，
∴，
∴k＝0或k＝1有且仅有一个符合题意．
当k＝0时，则由（*）得：，∴，
当k＝1时，则由（*）得：，∴，
又0＜ω＜3，
∴，
故ω的取值范围为．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的综合应用，考查了分类讨论思想和函数思想的应用，属于中档题．
21．（12分）如图，直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的一个定点，过点A的直线EF⊥l1，与直线l1，l2分别交于点E，F，且AE＝m，AF＝n（m，n为常数），点B，C分别为直线l1，l2上的动点，已知，设．
（1）求△ABC的面积关于α的函数解析式f（α）；
（2）求函数f（α）的最小值．
【分析】（1）由题意，分别求出△ACF的面积S1与△ABE的面积S2，再求出梯形EFCB的面积S，由f（α）＝S﹣S1﹣S2求得f（α）；
（2）利用三角恒等变换化简f（α），利用正弦函数的性质可得f（α）的最小值．
【解答】解：（1）∵，
∴，
在Rt△ABE及Rt△ACF中，，
记Rt△ABE，Rt△ACF及梯形BCFE的面积分别为：S1，S2，S，
则，
∵f（α）＝S﹣S1﹣S2，∴，
化简得：．
（2）∵
＝，
∵，∴当时，f（α）取最小值为．
【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查函数解析式的求法及利用三角函数求最值，考查计算能力，是中档题．
22．（12分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）＝ex．
（1）分别求出函数f（x），g（x）的解析式；
（2）若∀x∈（ln（），ln），都有（m2﹣2）f（x）+mg（2x）﹣4m＞0成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）利用函数的奇偶性，根据f（x）+g（x）＝ex，得到﹣f（x）+g（x）＝e﹣x，两式联立解得答案．
（2）用换元法，将原问题转化为mt2+（m2﹣2）t﹣6m＞0在t∈（﹣2，﹣1）上恒成立的问题，然后根据二次函数在给定区间上的值的情况，分类讨论解答．
【解答】解：（1）∵f（x）+g（x）＝ex，①
∴f（﹣x）+g（﹣x）＝e﹣x，
∵f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
∴﹣f（x）+g（x）＝e﹣x，②
由①②可得：．
（2）∵
令t＝ex﹣e﹣x，则t∈（﹣2，﹣1），e2x+e﹣2x＝t2+2，
∴原命题等价转化为：mt2+（m2﹣2）t﹣6m＞0在t∈（﹣2，﹣1）上恒成立，
（i）当m＝0时，则﹣2t＞0在t∈（﹣2，﹣1）上恒成立，∴m＝0成立；
（ii）当m＞0时，则等价转化为：在t∈（﹣2，﹣1）上恒成立，
令，
要满足题意，∵h（0）＝﹣6＜0，∴h（﹣1）≥0，解得：，
又∵m＞0，∴；
（iii）当m＜0时，则等价转化为：在t∈（﹣2，﹣1）上恒成立，
令，
要满足题意，∵h（0）＝﹣6＜0，∴h（﹣2）≤0，解得：﹣2≤m≤1，
又m＜0，∴﹣2≤m＜0，
综上，实数m的取值范围为．
【点评】本题考查了利用函数的奇偶性求解析式以及不等式的恒成立问题，属于难题．
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2021-2022学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合M＝，N＝{x|2x＞8}，则M∩（∁RN）＝（ ）
A． B．（2，3） C． D．（2，3]
2．（5分）下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（ ）
A．f（x）＝sinx
B．f（x）＝﹣|x+1|
C．f（x）＝（a＞0且a≠1）
D．f（x）＝ln
3．（5分）已知幂函数y＝xa的图象过点，则下列两函数的大小关系为：（x2﹣2x+4）a（ ）（﹣3）a
A．≤ B．≥ C．＜ D．＞
4．（5分）下列四个函数：
①y＝﹣x+1，
②y＝，
③y＝ln|x|，
④，
其中定义域和值域相同的函数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．（5分）下列关于命题“若x＞1，则2x+1＞5”（假命题）的否定，正确的是（ ）
A．若x＞1，则2x+1≤5
B．存在一个实数x，满足x＞1，但2x+1≤5
C．任意实数x，满足x＞1，但2x+1≤5
D．若存在一个实数x，满足x≤1，则2x+1≤5
6．（5分）函数的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（5分）“函数y＝﹣x3+ax在（0，1）上是增函数”是：“实数a＞3”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）已知实数a，b，c满足a＞b＞c，函数有两个零点x1，x2（x1＜x2），则关于函数f（x）的零点x1，x2的下列关系式一定正确的是（ ）
A．x1＜c＜b＜x2＜a B．c＜x1＜b＜a＜x2
C．c＜x1＜x2＜b＜a D．c＜x1＜b＜x2＜a
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列计算结果为有理数的有（ ）
A．lg2+lg5 B．
C． D．
（多选）10．（5分）已知角α是锐角，若sinα，cosα是关于x的方程x2+mx+n＝0的两个实数根，则下列关于实数m，n的判断正确的是（ ）
A．m2﹣2n﹣1＝0 B．mn＞0 C．m+n+1＞0 D．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝ln（x2﹣bx﹣b+1），下列说法正确的有（ ）
A．当b＝0时，函数f（x）的定义域为R
B．当b＝0时，函数f（x）的值域为R
C．函数f（x）有最小值的充要条件为：b2+4b﹣4＜0
D．若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数b的取值范围是（﹣∞，4]
（多选）12．（5分）如图所示，点M，N是函数的图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，若M（﹣1，0），且当△MPN的面积最大时，PM⊥PN，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．f（x）的图象关于直线x＝5对称
C．f（x）的单调增区间为[﹣1+8k，1+8k]（k∈Z）
D．∀x1，x2∈[﹣1+8k，1+8k]（k∈Z），均有f（）≥
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
13．（5分）《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4．在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是 ．
14．（5分）已知α∈（0，π），cosα＝，角β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边交圆心为坐标原点的单位圆于点，且β∈（0，π），则2α﹣β＝ ．
15．（5分）已知函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，f（x）＝2x﹣4，x∈（1，2]，则f（log27）＝ ．
16．（5分）若实数x，m满足0＜x＜m（m为常数），为减小计算量，我们可以借助二元基本不等式求出的最大值．基本步骤如下：∵0＜x＜m，∴x＞0，m﹣2x＞0，∴，当且仅当x＝时，等号成立．这样得到的最大值为；类比上面的解题原理，我们可以解决下面的问题：若α为锐角，则函数y＝得最大值为 ，当且仅当cosα＝ 时，等号成立．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知θ∈（0，π），且sinθ+cosθ＝．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．（12分）已知函数的图象过点，且图象上与P点最近的一个最低点坐标为．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，再向下平移2个单位长度得到g（x）的图象，写出函数g（x）在区间上的单调递增区间（不需要写过程）；并求出函数g（x）在区间上的值域．
19．（12分）如图，AB是半圆的直径，C，D是半圆上的两点，AB∥CD，AD＝BC＝2，设，四边形ABCD的周长为f（x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）关于x的方程在区间[2，4]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
20．（12分）函数f（x）＝﹣x+sinxcosx．
（1）若，求sinα；
（2）若函数y＝f（ωx）（0＜ω＜3）的图象在区间有且仅有一条经过最高点的对称轴，求ω的取值范围（不需要证明唯一性）．
21．（12分）如图，直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的一个定点，过点A的直线EF⊥l1，与直线l1，l2分别交于点E，F，且AE＝m，AF＝n（m，n为常数），点B，C分别为直线l1，l2上的动点，已知，设．
（1）求△ABC的面积关于α的函数解析式f（α）；
（2）求函数f（α）的最小值．
22．（12分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）＝ex．
（1）分别求出函数f（x），g（x）的解析式；
（2）若∀x∈（ln（），ln），都有（m2﹣2）f（x）+mg（2x）﹣4m＞0成立，求实数m的取值范围．
2021-2022学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合M＝，N＝{x|2x＞8}，则M∩（∁RN）＝（ ）
A． B．（2，3） C． D．（2，3]
【分析】求出集合M，N，进而求出∁RN，由此能求出M∩（∁RN）．
【解答】解：集合M＝＝{x|x＞}，
N＝{x|2x＞8}＝{x|x＞3}，
∴∁RN＝{x|x≤3}，
∴M∩（∁RN）＝（，3]．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（ ）
A．f（x）＝sinx
B．f（x）＝﹣|x+1|
C．f（x）＝（a＞0且a≠1）
D．f（x）＝ln
【分析】分别根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可得到结论．
【解答】解：函数f（x）＝sinx，是奇函数，在[﹣1，1]上单调递增，不满足条件．
函数f（x）＝﹣|x+1|不是奇函数，不满足条件，
函数f（x）＝是偶函数，不满足条件，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．
3．（5分）已知幂函数y＝xa的图象过点，则下列两函数的大小关系为：（x2﹣2x+4）a（ ）（﹣3）a
A．≤ B．≥ C．＜ D．＞
【分析】幂函数y＝xa的图象过点，解得a＝﹣2，从而（x2﹣2x+4）a﹣（﹣3）a＝[（x﹣1）2+3]﹣2﹣≤0．由此能求出结果．
【解答】解：幂函数y＝xa的图象过点，
∴3a＝，解得a＝﹣2，
∴（x2﹣2x+4）a﹣（﹣3）a＝[（x﹣1）2+3]﹣2﹣≤0．
∴（x2﹣2x+4）a≤（﹣3）a．
故选：A．
【点评】本题考查两数大小的判断，考查幂函数的性质、作差法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（5分）下列四个函数：
①y＝﹣x+1，
②y＝，
③y＝ln|x|，
④，
其中定义域和值域相同的函数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】利用函数的解析式，分别求出函数的定义域和值域，可得结论．
【解答】解：四个函数：①y＝﹣x+1的定义域和值域都是R，满足条件；
②y＝ 的定义域和值域都是R，满足条件；
③y＝ln|x|的定义域为{x|x≠0}，值域为R，故不满足条件；
④＝2+的定义域为{x|x≠2}，值域为{y|y≠2}，故满足条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的定义域和值域，属于基础题．
5．（5分）下列关于命题“若x＞1，则2x+1＞5”（假命题）的否定，正确的是（ ）
A．若x＞1，则2x+1≤5
B．存在一个实数x，满足x＞1，但2x+1≤5
C．任意实数x，满足x＞1，但2x+1≤5
D．若存在一个实数x，满足x≤1，则2x+1≤5
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
【解答】解：命题全称是命题，则命题的否定是特称命题，
即存在一个实数x，满足x＞1，但2x+1≤5，
故选：B．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
6．（5分）函数的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，分析函数的奇偶性，排除A，再利用特殊点的函数值判断即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，其定义域为{x|x≠±1}，
有f（﹣x）＝＝﹣f（x），f（x）为奇函数，排除A，
当x＝时，y＝＝﹣＞0，排除B，
令f（x）＝＝0，解得x＝0，排除C，
故选：D．
【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性，特殊点的函数值的判断，属于基础题．
7．（5分）“函数y＝﹣x3+ax在（0，1）上是增函数”是：“实数a＞3”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】求出y′＝﹣3x2+a，由函数y＝﹣x3+ax在（0，1）上是增函数，求出a≥3，即充分性不成立；当a＞3时，y′＝﹣3x2+a＞0在x∈（0，1）时恒成立，从而函数y＝﹣x3+ax在（0，1）上是增函数，即必要性成立．
【解答】解：∵y＝﹣x3+ax，∴y′＝﹣3x2+a，
∵函数y＝﹣x3+ax在（0，1）上是增函数，
∴f′（x）＝﹣3x2+a≥0在区间（0，1）上恒成立，
∴a≥3x2，x∈（0，1）恒成立，
∴a≥3，即充分性不成立；
当a＞3时，y′＝﹣3x2+a＞0在x∈（0，1）时恒成立，
∴函数y＝﹣x3+ax在（0，1）上是增函数，即必要性成立．
∴“函数y＝﹣x3+ax在（0，1）上是增函数”是：“实数a＞3”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查函数的单调性、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．（5分）已知实数a，b，c满足a＞b＞c，函数有两个零点x1，x2（x1＜x2），则关于函数f（x）的零点x1，x2的下列关系式一定正确的是（ ）
A．x1＜c＜b＜x2＜a B．c＜x1＜b＜a＜x2
C．c＜x1＜x2＜b＜a D．c＜x1＜b＜x2＜a
【分析】令f（x）＝0 化简可得：（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣a）（x﹣c）+（x﹣a）（x﹣b）＝0，
令g（x）＝（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣a）（x﹣c）+（x﹣a）（x﹣b），计算可得g（a）＞0，g（b）＜0，g（c）＞0，进而可判断结果．
【解答】解：方程 即为（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣a）（x﹣c）+（x﹣a）（x﹣b）＝0，
令g（x）＝（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣a）（x﹣c）+（x﹣a）（x﹣b），
∵a＞b＞c，
∴g（a）＝（a﹣b）（a﹣c）＞0，g（b）＝（b﹣a）（b﹣c）＜0，g（c）＝（c﹣a）（c﹣b）＞0，
根据零点存在性定理得出在（c，b），（b，a）上函数 g（x）各有一个零点，
所以 c＜x1＜b＜x2＜a，
故选：D．
【点评】本题考查了函数的零点判定定理，属于中档题．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列计算结果为有理数的有（ ）
A．lg2+lg5 B．
C． D．
【分析】由对数性质、运算法则能判断AC；求出sin，能判断B；由cos＝sin，利用正弦二倍角公式能判断D．
【解答】解：对于A，lg2+lg5＝1，是有理数，故A正确；
对于B，sin＝，不是有理数，故B错误；
对于C，﹣e＝﹣e＝0，是有理数，故C正确；
对于D，＝＝2sin＝sin＝1，是有理数，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查有理数的判断，考查对数性质、运算法则、三角函数性质、诱导公式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）10．（5分）已知角α是锐角，若sinα，cosα是关于x的方程x2+mx+n＝0的两个实数根，则下列关于实数m，n的判断正确的是（ ）
A．m2﹣2n﹣1＝0 B．mn＞0 C．m+n+1＞0 D．
【分析】结合方程的根与系数关系及同角平方关系逐一分析各个选项即可求解．
【解答】解：因为1＝sin2α+cos2α＝（sinα+cosα）2﹣2sinαcosα＝m2﹣2n，
∴m2＝2n+1，∴m2﹣2n﹣1＝0．故A正确；
由题可得sinα+cosα＝﹣m＜0，sinαcosα＝n＞0，故B错误；
因为角α是锐角，
所以m＝﹣（sinα+cosα）＝﹣sin（α+）∈[﹣，﹣1）
所以m+n+1＝m++1＝＞0，故C正确；
n＝sinαcosα＝sin2α∈（0，]，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了方程的根与系数关系及同角三角函数基本关系的应用，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝ln（x2﹣bx﹣b+1），下列说法正确的有（ ）
A．当b＝0时，函数f（x）的定义域为R
B．当b＝0时，函数f（x）的值域为R
C．函数f（x）有最小值的充要条件为：b2+4b﹣4＜0
D．若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数b的取值范围是（﹣∞，4]
【分析】直接利用函数的关系式求出函数的定义域和值域，再利用复合函数的单调性和最值的应用求出结果．
【解答】解：函数f（x）＝ln（x2﹣bx﹣b+1），
对于A：当b＝0时，f（x）＝ln（x2+1），故函数f（x）的定义域为R，故A正确；
对于B：当b＝0时，f（x）＝ln（x2+1），函数f（x）的定义域为R，故函数的值域为[0，+∞），故B错误；
对于C：函数f（x）有最小值，只需满足x2﹣bx﹣b+1＞0即可，故Δ＝b2+4b﹣4＜0，故C正确；
对于D：若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，故，整理得，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查的知识要点：函数的定义域和值域的求法，函数的最小值，复合函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）如图所示，点M，N是函数的图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，若M（﹣1，0），且当△MPN的面积最大时，PM⊥PN，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．f（x）的图象关于直线x＝5对称
C．f（x）的单调增区间为[﹣1+8k，1+8k]（k∈Z）
D．∀x1，x2∈[﹣1+8k，1+8k]（k∈Z），均有f（）≥
【分析】根据题意求出ω，φ，从而求得函数解析式，再运用三角函数相关知识对各个选项逐一分析即可．
【解答】解：由图知，当点P（x0，y0）位于曲线最高点（此时y0＝2）时，△MPN面积最大，且PM⊥PN，
所以△MPN为等腰直角三角形，
设MN的中点为Q，则PQ⊥MN且|PQ|＝|MN|，即y0＝|MN|＝2，
所以|MN|＝4，又ω＞0，|MN|＝×＝4，所以ω＝．
所以f（x）＝2sin（x+φ），
因为M（﹣1，0）⇒2sin[（﹣1）×+φ]＝0⇒（﹣1）×+φ＝kπ（k∈Z）⇒φ＝kπ+，k∈Z；
因为﹣＜φ＜，所以φ＝，所以f（x）＝2sin（x+），
对于A，f（0）＝2sin（）＝，故A正确；
对于B，f（5）＝2sin（+）＝2sin＝﹣2，取得函数最小值，所以f（x）关于直线x＝5对称，故B正确；
对于C，令x+∈[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）⇒x∈[8k﹣3，8k+1]（k∈Z），
所以f（x）的单调递增区间为[8k﹣3，8k+1]（k∈Z），故C错误；
对于D，由C选项分析以及题意可知函数图象在[﹣1+8k，1+8k]（k∈Z）区间上为x轴上方单调递增部分，
结合图象可知，此部分图象上凸，满足∀x1，x2∈[﹣1+8k，1+8k]（k∈Z），均有f（）≥，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查命题真假的判断，由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
13．（5分）《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4．在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是 ．
【分析】根据题意知扇形的弧长和直径，再计算扇形的面积和圆心角弧度数．
【解答】解：扇形中，弧长为l＝30，直径为d＝16，
扇形的圆心角弧度数是α＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了扇形的圆心角弧度数计算问题，是基础题．
14．（5分）已知α∈（0，π），cosα＝，角β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边交圆心为坐标原点的单位圆于点，且β∈（0，π），则2α﹣β＝ ﹣ ．
【分析】由同角三角函数的关系先求出sinα，由二倍角公式求出sin2α，cos2α，由三角函数的定义以及同角三角函数的关系先求出cosβ，sinβ，再分析出﹣π＜2α﹣β＜0，从而求出cos（2α﹣β）的值，得出答案．
【解答】解：由α∈（0，π），cosα＝，可得sinα＝＝＝，
所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝，cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣＝，
所以由α∈（0，π），cos2α＞0，sin2α＞0，可得0＜2α＜，
由角β终边交圆心为坐标原点的单位圆于点，且β∈（0，π），
则β∈（，π），cosβ＝＝﹣，则sinβ＝＝＝，
所以﹣π＜2α﹣β＜0，
所以由cos（ 2α﹣β）＝cos2αcosβ+sin2αsinβ＝×（﹣）+×＝，
所以2α﹣β＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的余弦公式，二倍角公式及同脚三角函数的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
15．（5分）已知函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，f（x）＝2x﹣4，x∈（1，2]，则f（log27）＝ ．
【分析】根据题意，由函数的奇偶性和周期性可得f（log27）＝f（log27﹣4）＝f（log2）＝﹣f（log2），结合函数的解析式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，
则f（log27）＝f（log27﹣4）＝f（log2）＝﹣f（log2），
又由f（x）＝2x﹣4，x∈（1，2]，则f（log2）＝﹣4＝﹣；
故f（log27）＝；
故答案为：．
【点评】本题考查函数的奇偶性和周期性的性质和应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
16．（5分）若实数x，m满足0＜x＜m（m为常数），为减小计算量，我们可以借助二元基本不等式求出的最大值．基本步骤如下：∵0＜x＜m，∴x＞0，m﹣2x＞0，∴，当且仅当x＝时，等号成立．这样得到的最大值为；类比上面的解题原理，我们可以解决下面的问题：若α为锐角，则函数y＝得最大值为 ，当且仅当cosα＝ 时，等号成立．
【分析】根据题中所给例题求解过程进行类比求解即可．
【解答】解：因为α为锐角，所以0＜cosα＜1，所以cosα＞0，1﹣cosα＞0，
所以，
当且仅当2cosα＝1﹣cosα，即时等号成立．
故答案为：；．
【点评】本题考查了二元基本不等式求最大值，考查了转化思想，属基础题．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知θ∈（0，π），且sinθ+cosθ＝．
（1）求的值；
（2）求的值．
【分析】由题意，利用同角三角函数的基本关系式、诱导公式，计算求得结果．
【解答】解：由①，平方并化简得，
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0，cosθ＜0，
∴②．
由①②得：．
（1）．
（2）＝＝．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
18．（12分）已知函数的图象过点，且图象上与P点最近的一个最低点坐标为．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，再向下平移2个单位长度得到g（x）的图象，写出函数g（x）在区间上的单调递增区间（不需要写过程）；并求出函数g（x）在区间上的值域．
【分析】（1）直接利用函数的图象求出函数的关系式；
（2）利用函数的图象的平移变换求出函数g（x）的关系式，进一步求出函数的单调递增区间，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．
【解答】解：（1）依题意可知：，
解得：ω＝2，
又∵f（x）的图象的一个最低点为，
∴，
由于|φ|＜，
所以φ＝；
故；
（2）
函数g（x）在区间上的单调递增区间为：；
又∵，
∴，
∴，
∴；
所以函数在区间上的值域为．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
19．（12分）如图，AB是半圆的直径，C，D是半圆上的两点，AB∥CD，AD＝BC＝2，设，四边形ABCD的周长为f（x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）关于x的方程在区间[2，4]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
【分析】（1）过点C作CE⊥AB，然后结合直角三角形射影定理可用x表示BE，然后结合CD＝AB﹣2BE即可求解；
（2）由及等价转化为或，即方程或在x∈[2，4]上有两个不等实数根，然后结合函数单调性可求．
【解答】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，
在Rt△ABC中，
∵BC2＝BE⋅AB，AB＝2x，BC＝2，
∴，∴，
∴；
（2）由及等价转化为或，
依题意：方程或在x∈[2，4]上有两个不等实数根．
∵函数在x∈[2，4]上单调递增，图像在直线y＝x的下方，值域为，
函数在x∈[2，4]上单调递增，图像在直线y＝x的上方，值域为，
要满足题意，则，即，
故实数m的取值范围为．
【点评】本题主要考查了利用直角三角形边长关系求解函数解析式，还考查了函数单调性在方程解的判断中的应用，属于中档题．
20．（12分）函数f（x）＝﹣x+sinxcosx．
（1）若，求sinα；
（2）若函数y＝f（ωx）（0＜ω＜3）的图象在区间有且仅有一条经过最高点的对称轴，求ω的取值范围（不需要证明唯一性）．
【分析】（1）由题意利用三角函数恒等变换的应用可求，可求的范围，利用同角三角函数基本关系式可求cos（）的值，进而根据两角差的正弦公式即可求解．
（2）根据题意利用正弦函数的性质可得，解得：x＝+，k∈Z，可得，结合范围0＜ω＜3，可求，分类讨论即可求解．
【解答】解：（1），
∵，
∴，
∵α∈（0，π），∴，
又∵，
∴，∴，
故．
（2）∵，
由，解得：x＝+，k∈Z，
依题意：，
∵0＜ω＜3，
∴，
∴k＝0或k＝1有且仅有一个符合题意．
当k＝0时，则由（*）得：，∴，
当k＝1时，则由（*）得：，∴，
又0＜ω＜3，
∴，
故ω的取值范围为．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的综合应用，考查了分类讨论思想和函数思想的应用，属于中档题．
21．（12分）如图，直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的一个定点，过点A的直线EF⊥l1，与直线l1，l2分别交于点E，F，且AE＝m，AF＝n（m，n为常数），点B，C分别为直线l1，l2上的动点，已知，设．
（1）求△ABC的面积关于α的函数解析式f（α）；
（2）求函数f（α）的最小值．
【分析】（1）由题意，分别求出△ACF的面积S1与△ABE的面积S2，再求出梯形EFCB的面积S，由f（α）＝S﹣S1﹣S2求得f（α）；
（2）利用三角恒等变换化简f（α），利用正弦函数的性质可得f（α）的最小值．
【解答】解：（1）∵，
∴，
在Rt△ABE及Rt△ACF中，，
记Rt△ABE，Rt△ACF及梯形BCFE的面积分别为：S1，S2，S，
则，
∵f（α）＝S﹣S1﹣S2，∴，
化简得：．
（2）∵
＝，
∵，∴当时，f（α）取最小值为．
【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查函数解析式的求法及利用三角函数求最值，考查计算能力，是中档题．
22．（12分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）＝ex．
（1）分别求出函数f（x），g（x）的解析式；
（2）若∀x∈（ln（），ln），都有（m2﹣2）f（x）+mg（2x）﹣4m＞0成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）利用函数的奇偶性，根据f（x）+g（x）＝ex，得到﹣f（x）+g（x）＝e﹣x，两式联立解得答案．
（2）用换元法，将原问题转化为mt2+（m2﹣2）t﹣6m＞0在t∈（﹣2，﹣1）上恒成立的问题，然后根据二次函数在给定区间上的值的情况，分类讨论解答．
【解答】解：（1）∵f（x）+g（x）＝ex，①
∴f（﹣x）+g（﹣x）＝e﹣x，
∵f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
∴﹣f（x）+g（x）＝e﹣x，②
由①②可得：．
（2）∵
令t＝ex﹣e﹣x，则t∈（﹣2，﹣1），e2x+e﹣2x＝t2+2，
∴原命题等价转化为：mt2+（m2﹣2）t﹣6m＞0在t∈（﹣2，﹣1）上恒成立，
（i）当m＝0时，则﹣2t＞0在t∈（﹣2，﹣1）上恒成立，∴m＝0成立；
（ii）当m＞0时，则等价转化为：在t∈（﹣2，﹣1）上恒成立，
令，
要满足题意，∵h（0）＝﹣6＜0，∴h（﹣1）≥0，解得：，
又∵m＞0，∴；
（iii）当m＜0时，则等价转化为：在t∈（﹣2，﹣1）上恒成立，
令，
要满足题意，∵h（0）＝﹣6＜0，∴h（﹣2）≤0，解得：﹣2≤m≤1，
又m＜0，∴﹣2≤m＜0，
综上，实数m的取值范围为．
【点评】本题考查了利用函数的奇偶性求解析式以及不等式的恒成立问题，属于难题．
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