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陕西省西安中学2022-2023学年高二数学上学期期中试题（Word版附解析）
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这是一份陕西省西安中学2022-2023学年高二数学上学期期中试题（Word版附解析）
2022-2023学年度高二第一学期期中检测2024届数学试题一､单选题（共40分）1. 已知，命题P： ，，则（ ）A. P是假命题，B. P是假命题，C. P是真命题，D. P是真命题，【答案】D【解析】【分析】求导分析的单调性，进而求得最值，再根据全称命题的否定逐个判断即可详解】∵，∴∴是定义域上的减函数，∴∴命题P：，，是真命题；∴该命题的否定是.故选：D.2. （ ）A. B. 8 C. D. 【答案】D【解析】【分析】将定积分分成三个部分，第一个部分可以根据对应函数曲线和坐标轴围成的面积来算，第二部分直接用公式求解，第三部分是奇函数，在对称区间的积分值为，即可得到答案【详解】解：，而意为半圆，半圆面积为，故， ，而是奇函数在对称区间上的积分，显然为，于是故选：D．3. 对于实数 ，且， ，且，“ ”是“”的（ ）A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】判断“ ”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】对于实数且，，且，由不等式，可得或，故时不一定有，由也不能推出一定是，故“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：D．4. 若函数在点处的切线与直线垂直，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意结合导数的几何意义可得，从而可求出的值.【详解】由，得，因为函数在点处的切线与直线垂直，所以，解得，故选：A5. 函数图像可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再对函数求导并求出在0处的导数值即可判断作答.【详解】因为定义域为，又，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B，，于是得，即函数图象在原点处切线斜率大于0，显然选项C不满足，D满足，故选：D6. 已知定义在上的函数的导函数，且，则（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】D【解析】【分析】据已知不等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可.【详解】构造函数，因为，所以，因此函数是增函数，于是有，构造函数，因为，所以，因此是单调递减函数，于是有，故选：D7. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】B【解析】【分析】利用椭圆和双曲线的定义及可以列出关于，的方程，再利用均值定理即可得到的最小值【详解】设椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，，，（） ，则，解之得又则则，则则，则（当且仅当时等号成立）则的最小值为故选：B8. 设，，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可得到当时，从而说明，再比较与的大小关系，即可得解.【详解】解：令，则，所以在定义域上单调递减，所以当时，，即，所以，又，，且，，所以；故选：B9. 已知函数，若过点能作三条直线与的图像相切，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据已知条件有三条直线相切，得两函数图像有三个交点，利用函数的单调性即可得到的取值范围.【详解】由已知：，故，设切点为 所以切线斜率为，切线方程为,将点坐标代入切线方程可得化简可得 即函数与函数有三个不同的交点.故，当时，，函数单调递减当时，，函数单调递增当时，，函数单调递减且时，,，且时， 所以的取值范围为 故选：D10. 已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令，由题意可得为定义域上的偶函数，且在上单调递增，在上单调递减；分与两类讨论，将不等式等价转化为与，分别解之即可．【详解】令，当时，，当时，，在上单调递减； 又为的奇函数，，即为偶函数，在上单调递增； 又由不等式得，当，即时，不等式可化为，即，由在上单调递减得，解得，故；当，即时，不等式可化，即，由在上单调递增得，解得，故；综上所述，不等式的解集为：．故选：D．二､填空题（共20分）11. 设数列的前n项和为，已知，，，则数列的通项公式为________.【答案】【解析】【分析】由构造法和与关系求解【详解】由题意得，而，所以是首项为2，公比为2的等比数列.，，当时，，也满足此式，综上，故答案为：12. 计算:______.【答案】【解析】【分析】把积分式拆分成两个，利用奇函数的性质，以及定积分的意义求解【详解】因为为奇函数,所以表示半径为1的半圆的面积,所以所以故答案为：13. 已知，，若，，都有，则的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】先利用导数求出函数，的最大值，将问题转化为在恒成立，构造函数，利用二次求导确定该函数的单调性和最值问题.【详解】因为，，所以，当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，所以；在恒成立，即在恒成立，令，则，令，则恒成立，所以在单调递增，，，故存在，使得，，，，即，解得，所以，所以，即.故答案为：.【点睛】方法点睛：在处理不等式恒成立问题时，往往转化为求函数的最值问题，如：（1）对于函数、，若，，都有；（2）对于函数、，若，，都有.14. 已知函数满足，若方程有五个不相等的实数根，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】令，则方程转化为，原问题等价于有两个根，再根据一元二次方程根的分布列出不等式组求解即可得答案.【详解】令，则方程转化为， 作出函数的图象如下图所示，由题意，方程有五个不相等的实数根，即有一个根，一个根 或有一个根，一个根令，当有一个根，一个根则解得：，当有一个根，一个根则解得：，综上，实数m的取值范围为 故答案为：【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解三､解答题（共60分）15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．（1）求；（2）若，求，的值．【答案】（1） （2），或，【解析】【分析】（1）根据正弦定理以及正弦的和差角公式化简即可求解，（2）根据余弦定理以及面积公式联立方程即可求解.【小问1详解】∵由正弦定理有∴【小问2详解】∵∴余弦定理∵，又，∴∴或或2则，或，16. 设数列的前项和为，且满足，是公差不为的等差数列，，是与的等比中项．（1）求数列和的通项公式；（2）对任意的正整数，设，求数列的前项和．【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）令可得的值，当时，与已知条件两式相减可得，由等比数列的定义可知数列是首项为，公比为的等比数列，进而求出数列的通项公式，设的公差为，将整理成关于的方程，解出的值，即可得到的通项公式；（2）由（1）可得数列的通项公式，再利用分组求和法即可求出结果．【小问1详解】解：在中，令得，，当时，，，即，，数列是首项为，公比为的等比数列，，设的公差为，由题意可得，即，整理得，解得或舍去，．【小问2详解】解：由题意可得，．17. 已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）求的单调性；（3）求函数在上的最小值．【答案】（1）. （2）当时，单调递减；当时，单调递增. （3）答案见解析.【解析】【分析】（1）当时，求出的值，利用导数的几何意义求解即可；（2）求导得，利用导数的正负即可得到单调性；（3）按的取值情况，再借助单调性讨论求解即可.【小问1详解】当时，，则，所以，，所以曲线在处切线方程为.【小问2详解】由题意得，因为恒成立，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.【小问3详解】由（2）得，①当时，在上单调递减，；②当时，在单调递减，在单调递增，；③当时，在上单调递增，.18. 已知函数．（1）若时，试讨论的单调性；（2）若有两个零点时，求a的取值范围．【答案】（1）具体见解析 （2）或【解析】【分析】（1）由题意，明确函数解析式，求导，根据二次函数的性质，讨论导数零点的取值范围，可得答案；（2）先研究时，函数的零点个数，再根据零点的定义，验证不是零点，整理函数，化简研究存在两个不同的零点，利用导数研究其单调性，结合零点存在性定理，可得答案.【小问1详解】，，，若，则令，解得，，解得，故在上单调递增，在上单调递减；若，令，得，①当，即时，，解得或，在和上单调递减，，解得，在上单调递增；②当，即时，，解得或，在和上单调递减，，解得，在上单调递增；③当，即时，恒成立，故在单调递减．综上所述，当时，在和上单调递减，在上单调递增；当时，在单调递减；当时，在和上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．【小问2详解】.当时，，，令，则，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增.由且，当时，，，故恒成立，，由在上单调递增，则只有一个零点；当时，，此时不是的零点，时，，令，由题意可知，有两个零点等价于在且时有两个零点，，若，则，单调递增，最多有一个零点，不符合题意；若，令，解得或，当或时，，单调递增；当或时，，单调递减，而，，当时，此时，而，故有且只有一个零点，不合题意；当即，此时在上无零点，故在上需有两个不同的零点，故，即，此时当时，，故当时，．而当时，，，故．由零点存在定理及的单调性可得此时有两个不同的零点．当，即，此时，故在上不存在零点．此时当时，，当时，，由零点存在定理及的单调性可得此时有两个不同的零点．综上，或．19. 已知椭圆：的焦距为，圆：经过点.（1）求椭圆与圆的方程；（2）若直线：与椭圆C交于点A，B，其中，问：是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．【答案】（1）椭圆C：，圆O： （2）为定值，且该定值为0【解析】【分析】（1）根据已知建立a，b，c的等量关系式，解得a2与b2，即可得方程；（2）设出A，B点坐标，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求即可确定其为定值0.【小问1详解】设椭圆C的半焦距为c，根据题意得又∵经过点，∴，解得∴椭圆C的方程为，圆O的方程为.【小问2详解】设联立l与椭圆方程，化简整理得则∵∴综上所述，为定值，且该定值为0.20. 已知函数，．（1）若在区间上单调递减，求实数a的取值范围；（2）若，存在两个极值点，，证明：．【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得在上恒成立，转化为在上恒成立，构造函数，利用导数可求出其最小值，（2）由（1）知：，满足，，不妨设，则，则，所以只需证成立，构造函数，利用求出其出其最大值小于零即可.【小问1详解】∵，又区间上单调递减，∴在上恒成立，即在上恒成立，∴在上恒成立；设，则，当时，，∴单调递增，∴，∴，即实数a的取值范围是．【小问2详解】由（1）知：，满足．∴，不妨设，则．∴，则要证，即证，即证，也即证成立．设函数，则，∴在单调递减，又．∴当时，，∴，即.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数证明不等式，解（2）问解题的关键是根据题意将问题转化为证成立，构造函数，利用导数求出其最值即可，考查数学转化思想，属于较难题.21. 已知函数（1）若f（x）的图象在处的切线恰好也是g（x）图象的切线，求实数a的值：（2）当时，求证：对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数，，都有成立.【答案】（1）1 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义确定切线方程，与抛物线方程联立，根据两曲线有一个交点得到关于a的方程，解方程得到a的值；（2）根据函数的单调性等价转化题中的不等式，构造新函数，利用分离变量法确定a的取值范围，从而证明结论.【小问1详解】，则，且切点为（1，a），则切线方程为，即，联立，消去y可得，解得.【小问2详解】证明：不妨设，则，则可化为，则，设，即，∴F（x）在[1，2]上单调递减，∴在[1，2]上恒成立，即在[1，2]上恒成立，∵，∴，从而当时，命题成立.
2022-2023学年度高二第一学期期中检测2024届数学试题一､单选题（共40分）1. 已知，命题P： ，，则（ ）A. P是假命题，B. P是假命题，C. P是真命题，D. P是真命题，【答案】D【解析】【分析】求导分析的单调性，进而求得最值，再根据全称命题的否定逐个判断即可详解】∵，∴∴是定义域上的减函数，∴∴命题P：，，是真命题；∴该命题的否定是.故选：D.2. （ ）A. B. 8 C. D. 【答案】D【解析】【分析】将定积分分成三个部分，第一个部分可以根据对应函数曲线和坐标轴围成的面积来算，第二部分直接用公式求解，第三部分是奇函数，在对称区间的积分值为，即可得到答案【详解】解：，而意为半圆，半圆面积为，故， ，而是奇函数在对称区间上的积分，显然为，于是故选：D．3. 对于实数 ，且， ，且，“ ”是“”的（ ）A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】判断“ ”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】对于实数且，，且，由不等式，可得或，故时不一定有，由也不能推出一定是，故“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：D．4. 若函数在点处的切线与直线垂直，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意结合导数的几何意义可得，从而可求出的值.【详解】由，得，因为函数在点处的切线与直线垂直，所以，解得，故选：A5. 函数图像可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再对函数求导并求出在0处的导数值即可判断作答.【详解】因为定义域为，又，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B，，于是得，即函数图象在原点处切线斜率大于0，显然选项C不满足，D满足，故选：D6. 已知定义在上的函数的导函数，且，则（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】D【解析】【分析】据已知不等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可.【详解】构造函数，因为，所以，因此函数是增函数，于是有，构造函数，因为，所以，因此是单调递减函数，于是有，故选：D7. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】B【解析】【分析】利用椭圆和双曲线的定义及可以列出关于，的方程，再利用均值定理即可得到的最小值【详解】设椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，，，（） ，则，解之得又则则，则则，则（当且仅当时等号成立）则的最小值为故选：B8. 设，，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可得到当时，从而说明，再比较与的大小关系，即可得解.【详解】解：令，则，所以在定义域上单调递减，所以当时，，即，所以，又，，且，，所以；故选：B9. 已知函数，若过点能作三条直线与的图像相切，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据已知条件有三条直线相切，得两函数图像有三个交点，利用函数的单调性即可得到的取值范围.【详解】由已知：，故，设切点为 所以切线斜率为，切线方程为,将点坐标代入切线方程可得化简可得 即函数与函数有三个不同的交点.故，当时，，函数单调递减当时，，函数单调递增当时，，函数单调递减且时，,，且时， 所以的取值范围为 故选：D10. 已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令，由题意可得为定义域上的偶函数，且在上单调递增，在上单调递减；分与两类讨论，将不等式等价转化为与，分别解之即可．【详解】令，当时，，当时，，在上单调递减； 又为的奇函数，，即为偶函数，在上单调递增； 又由不等式得，当，即时，不等式可化为，即，由在上单调递减得，解得，故；当，即时，不等式可化，即，由在上单调递增得，解得，故；综上所述，不等式的解集为：．故选：D．二､填空题（共20分）11. 设数列的前n项和为，已知，，，则数列的通项公式为________.【答案】【解析】【分析】由构造法和与关系求解【详解】由题意得，而，所以是首项为2，公比为2的等比数列.，，当时，，也满足此式，综上，故答案为：12. 计算:______.【答案】【解析】【分析】把积分式拆分成两个，利用奇函数的性质，以及定积分的意义求解【详解】因为为奇函数,所以表示半径为1的半圆的面积,所以所以故答案为：13. 已知，，若，，都有，则的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】先利用导数求出函数，的最大值，将问题转化为在恒成立，构造函数，利用二次求导确定该函数的单调性和最值问题.【详解】因为，，所以，当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，所以；在恒成立，即在恒成立，令，则，令，则恒成立，所以在单调递增，，，故存在，使得，，，，即，解得，所以，所以，即.故答案为：.【点睛】方法点睛：在处理不等式恒成立问题时，往往转化为求函数的最值问题，如：（1）对于函数、，若，，都有；（2）对于函数、，若，，都有.14. 已知函数满足，若方程有五个不相等的实数根，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】令，则方程转化为，原问题等价于有两个根，再根据一元二次方程根的分布列出不等式组求解即可得答案.【详解】令，则方程转化为， 作出函数的图象如下图所示，由题意，方程有五个不相等的实数根，即有一个根，一个根 或有一个根，一个根令，当有一个根，一个根则解得：，当有一个根，一个根则解得：，综上，实数m的取值范围为 故答案为：【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解三､解答题（共60分）15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．（1）求；（2）若，求，的值．【答案】（1） （2），或，【解析】【分析】（1）根据正弦定理以及正弦的和差角公式化简即可求解，（2）根据余弦定理以及面积公式联立方程即可求解.【小问1详解】∵由正弦定理有∴【小问2详解】∵∴余弦定理∵，又，∴∴或或2则，或，16. 设数列的前项和为，且满足，是公差不为的等差数列，，是与的等比中项．（1）求数列和的通项公式；（2）对任意的正整数，设，求数列的前项和．【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）令可得的值，当时，与已知条件两式相减可得，由等比数列的定义可知数列是首项为，公比为的等比数列，进而求出数列的通项公式，设的公差为，将整理成关于的方程，解出的值，即可得到的通项公式；（2）由（1）可得数列的通项公式，再利用分组求和法即可求出结果．【小问1详解】解：在中，令得，，当时，，，即，，数列是首项为，公比为的等比数列，，设的公差为，由题意可得，即，整理得，解得或舍去，．【小问2详解】解：由题意可得，．17. 已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）求的单调性；（3）求函数在上的最小值．【答案】（1）. （2）当时，单调递减；当时，单调递增. （3）答案见解析.【解析】【分析】（1）当时，求出的值，利用导数的几何意义求解即可；（2）求导得，利用导数的正负即可得到单调性；（3）按的取值情况，再借助单调性讨论求解即可.【小问1详解】当时，，则，所以，，所以曲线在处切线方程为.【小问2详解】由题意得，因为恒成立，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.【小问3详解】由（2）得，①当时，在上单调递减，；②当时，在单调递减，在单调递增，；③当时，在上单调递增，.18. 已知函数．（1）若时，试讨论的单调性；（2）若有两个零点时，求a的取值范围．【答案】（1）具体见解析 （2）或【解析】【分析】（1）由题意，明确函数解析式，求导，根据二次函数的性质，讨论导数零点的取值范围，可得答案；（2）先研究时，函数的零点个数，再根据零点的定义，验证不是零点，整理函数，化简研究存在两个不同的零点，利用导数研究其单调性，结合零点存在性定理，可得答案.【小问1详解】，，，若，则令，解得，，解得，故在上单调递增，在上单调递减；若，令，得，①当，即时，，解得或，在和上单调递减，，解得，在上单调递增；②当，即时，，解得或，在和上单调递减，，解得，在上单调递增；③当，即时，恒成立，故在单调递减．综上所述，当时，在和上单调递减，在上单调递增；当时，在单调递减；当时，在和上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．【小问2详解】.当时，，，令，则，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增.由且，当时，，，故恒成立，，由在上单调递增，则只有一个零点；当时，，此时不是的零点，时，，令，由题意可知，有两个零点等价于在且时有两个零点，，若，则，单调递增，最多有一个零点，不符合题意；若，令，解得或，当或时，，单调递增；当或时，，单调递减，而，，当时，此时，而，故有且只有一个零点，不合题意；当即，此时在上无零点，故在上需有两个不同的零点，故，即，此时当时，，故当时，．而当时，，，故．由零点存在定理及的单调性可得此时有两个不同的零点．当，即，此时，故在上不存在零点．此时当时，，当时，，由零点存在定理及的单调性可得此时有两个不同的零点．综上，或．19. 已知椭圆：的焦距为，圆：经过点.（1）求椭圆与圆的方程；（2）若直线：与椭圆C交于点A，B，其中，问：是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．【答案】（1）椭圆C：，圆O： （2）为定值，且该定值为0【解析】【分析】（1）根据已知建立a，b，c的等量关系式，解得a2与b2，即可得方程；（2）设出A，B点坐标，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求即可确定其为定值0.【小问1详解】设椭圆C的半焦距为c，根据题意得又∵经过点，∴，解得∴椭圆C的方程为，圆O的方程为.【小问2详解】设联立l与椭圆方程，化简整理得则∵∴综上所述，为定值，且该定值为0.20. 已知函数，．（1）若在区间上单调递减，求实数a的取值范围；（2）若，存在两个极值点，，证明：．【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得在上恒成立，转化为在上恒成立，构造函数，利用导数可求出其最小值，（2）由（1）知：，满足，，不妨设，则，则，所以只需证成立，构造函数，利用求出其出其最大值小于零即可.【小问1详解】∵，又区间上单调递减，∴在上恒成立，即在上恒成立，∴在上恒成立；设，则，当时，，∴单调递增，∴，∴，即实数a的取值范围是．【小问2详解】由（1）知：，满足．∴，不妨设，则．∴，则要证，即证，即证，也即证成立．设函数，则，∴在单调递减，又．∴当时，，∴，即.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数证明不等式，解（2）问解题的关键是根据题意将问题转化为证成立，构造函数，利用导数求出其最值即可，考查数学转化思想，属于较难题.21. 已知函数（1）若f（x）的图象在处的切线恰好也是g（x）图象的切线，求实数a的值：（2）当时，求证：对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数，，都有成立.【答案】（1）1 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义确定切线方程，与抛物线方程联立，根据两曲线有一个交点得到关于a的方程，解方程得到a的值；（2）根据函数的单调性等价转化题中的不等式，构造新函数，利用分离变量法确定a的取值范围，从而证明结论.【小问1详解】，则，且切点为（1，a），则切线方程为，即，联立，消去y可得，解得.【小问2详解】证明：不妨设，则，则可化为，则，设，即，∴F（x）在[1，2]上单调递减，∴在[1，2]上恒成立，即在[1，2]上恒成立，∵，∴，从而当时，命题成立.
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