湖南省长沙市同升湖高级中学2022-2023学年高一数学上学期期中考试试卷（Word版附解析）

长沙市同升湖高级中学

2022年下学期高一年级期中考试数学试卷

时量：120分钟   满分：150分

一、选择题：（本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．.已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则∁U M等于                      (　　)

  A． {x|－2<x<2}                       B． {x|－2≤x≤2}

 C． {x|x<－2或x>2}                   D． {x|x≤－2或x≥2}

2.化简 的结果是                                                   (　　)

A． 2          B．            C．           D．

3.若命题p：∃x0∈[－3,3]，＋2x0＋1≤0，则对命题p的否定是               (　　)

A． ∀x∈[－3,3]，x2＋2x＋1＞0

B． ∀x∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)，x2＋2x＋1＞0

C． ∃x∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)，＋2x0＋1≤0

D． ∃x0∈[－3,3]，＋2x0＋1＜0

4.已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是                    (　　)

A．a>b>－b>－a                       B．a>－b>－a>b

C．a>－b>b>－a                       D．a>b>－a>－b

5.已知p：函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，q：函数g(x)＝loga(x＋1)(a＞0且a≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则p是q成立的                                (　　)

A． 充分不必要条件                   B． 必要不充分条件

C． 充要条件                         D． 既不充分也不必要条件

6.已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,2]，则函数y＝f(log2x)的定义域是           (　　)

A． [1,2]        B． [0,4]        C． (0,4]       D． [，4]

7.若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是                                 (　　)

A.[0，2]    B.[－2，0]

C.[－2，＋∞)    D.(－∞，－2]

8.已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是                                              （   ）

A．  B．

C．  D．

多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分)

9.若，且，则下列不等式中不恒成立的是                 （    ）

A．                        B．   

C．                          D．

10．下列各组函数不是同一函数的是                                  （    ）

A.与                 B.与

C.与      D.与

11.设函数，若方程存在三个不同的根，且，则下列结论正确的是                                    (　 　)

A．                             B．的取值范围是              

C．的取值范围是                   D．的取值范围是

12．设函数且，则实数的取值范围不可能是                                                    （    ）

A．        B．    C．      D．

二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.  计算=______________

14. 若函数定义域为，则函数的定义域为_______________

15．已知，，且x＋y＝4，则＋取得最小值时x=_______,y=_______.

16.已知函数若存在，使得成立，则实数a的取值范围是________.

三.解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本小题10分）已知A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|m≤x<1＋3m}．

(1)当m＝1时，求A∪B；

(2)若B⊆，求实数m的取值范围．

18.（本小题12分）计算下列各式

(1)

(2)

19．（本小题12分）已知集合，．

(1)若，求实数k的取值范围；

(2)已知命题，命题，若p是q的必要不充分条件，求实数k的取值范围．

20.（本小题12分） 服装厂拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)m万件与年促销费用x(0≤x≤a)万元满足m＝3－.已知2022年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品还需再投入16万元．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．

(1)求2022年促销该产品所获得的利润y(万元)关于年促销费用x(万元)的关系式；

(2)若a≥3，则该服装厂2022年的促销费用投入多少万元时，所获得的利润最大？

21．（本小题12分）已知函数g（x）＝（a+1）x-2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数的图象上．

（1）求实数a的值；

（2）解不等式f（x）＜；

（3）函数h（x）＝|g（x+2）﹣2| 的图象与直线y＝2b有两个不同的交点时，求b的取值范围．

22．（本小题12分）若函数f（x）在x∈[a，b]时，函数值y的取值区间恰为[，]，就称区间[a，b]为f（x）的一个“倒域区间”．定义在[﹣2，2]上的奇函数g（x），当

x∈[0，2]时，g（x）＝﹣x2+2x．

（1）求g（x）的解析式；

（2）求函数g（x）在[1，2]内的“倒域区间”；

（3）若函数g（x）在定义域内所有“倒域区间”上的图象作为函数y＝h（x）的图象，是否存在实数m，使集合{（x，y）|y＝h（x）}∩{（x，y）|y＝x2+m}恰含有2个元素

高一期中考试数学答案

选择题

填空题 13． 1    14．[0,2]  15．   16．(

8【解析】当时， ， 单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 选B.

12.由函数，令，则，所以，即，即，又函数为单调递增函数，所以，解得

16解析：若存在，使得成立，则说明在R上不单调，当时，图象如图所示，满足题意；

当时，函数图象的对称轴为直线，函数的大致图象如图所示，满足题意；

当时，函数图象的对称轴为直线，函数的大致图象如图所示，要使在R上不单调，则只要满足，解得，即.

综上，实数a的取值范围为.

解答题

17. 【答案】

解　(1)当m＝1时，B＝{x|1≤x<4}，

A∪B＝{x|－1<x<4}．

(2)由题意得，∁RA＝{x|x≤－1或x>3}，

当B＝∅，即m≥1＋3m时，

得m≤－，满足B⊆∁RA；

当B≠∅时，要使B⊆∁RA成立，

则或

解得m>3，

综上所述，实数m的取值范围是{m|m≤或m>3}.

18. 【答案】

(1) 

(2)  原式=

19.（1）易得．

由知，．所以，解得．

（2）p是q的必要不充分条件等价于BA．

①当时，，解得，满足．

②当时，原问题等价于（不同时取等号）

解得．

综上，实数k的取值范围是．

20.解　(1)由题意，知每件产品的销售价格为2×万元，

所以y＝m×2×－(8＋16m＋x)

＝8＋16m－x

＝8＋16－x

＝56－－x，

所以y＝56－－x(0≤x≤a)．

(2)y＝56－－x＝57－，

又0≤x≤a，

当a≥3时，y≤57－2＝49，

当且仅当＝x＋1，即x＝3时取等号，

所以当a≥3时，该服装厂2022年的促销费用投入3万元时，所获得的利润最大．

21.解：（1）函数g（x）的图象恒过定点A，当x﹣2＝0时，即x＝2，y＝2，

∴A点的坐标为（2，2），

又A点在f（x）上，

∴f（2）＝＝2，解得a＝1，   （3分）

（2）f（x）＜，

∴＜＝0，

∴0＜x+1＜1，

∴﹣1＜x＜0，

∴不等式的解集为（﹣1，0），                （7分）

（3）由（1）知g（x）＝g（x）＝2x﹣2+1，

∴h（x）＝|g（x+2）﹣2|＝|2x﹣1|＝2b，

分别画出y＝h（x）与y＝2b的图象，如图所示：

由图象可知：0＜2b＜1，故b的取值范围为       （12分）

22.解：（1）当x∈[﹣2，0）时，

g（x）＝﹣g（﹣x）＝﹣[﹣（﹣x）2+2（﹣x）]＝x2+2x

g（x）＝                          （3分）

（2）设1≤a＜b≤2，∵g（x）在x∈[1，2]上递减，

∴，整理得，解得．

∴g（x）在[1，2]内的“倒域区间”为[1，]．              （7分）

（3）∵g（x）在x∈[a，b]时，函数值y的取值区间恰为[，]，其中a≠b，a、b≠0，

∴，∴a、b同号，只考虑0＜a＜b≤2或﹣2≤a＜b＜0，

当0＜a＜b≤2时，根据g（x）的图象知，g（x）最大值为1，≤1，a∈[1，2），∴1≤a＜b≤2，

由（2）知g（x）在[1，2]内的“倒域区间”为[1，]；

当﹣2≤a＜b＜0时间，g（x）最小值为﹣1，≥﹣1，b∈（﹣2，﹣1]，∴﹣2≤a＜b≤﹣1，

同理知g（x）在[﹣2，﹣1]内的“倒域区间”为[，﹣1]．

h（x）＝

依题意，抛物线与函数h（x）的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．

因此，m应当使方程x2+m＝﹣x2+2x，

在[1，]内恰有一个实数根，并且使方程x2+m＝x2+2x，在[，﹣1]内恰有一个实数根，

由方程2x﹣2x2＝m在[1，]内恰有一根知﹣2≤m≤0；

由方程x2+m＝x2+2x在[，﹣1]内恰有一根知﹣1﹣≤m≤﹣2，

综上，存在实数m＝﹣2，满足条件．                      （12分）