数学北师大版 (2019)1.2 一元线性回归方程同步达标检测题

7.1 一元线性回归——2022-2023学年高二数学北师大版（2019）选择性必修第一册同步课时训练

一、   概念练习

1.对于样本相关系数r，下列说法中正确的是(   )
A.r越大，线性相关程度越强
B.越小，线性相关程度越强
C.越大，线性相关程度越弱
D.，且越接近1，线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱

2.如图1,2分别表示样本容量均为7的A、B两组成对数据的散点图，已知A组成对数据的样本相关系数为，B组成对数据的样本相关系数为，则与的大小关系为(   )

A. B. C. D.无法判断

3.变量X与Y相对应的一组数据为（10,1），（11.3，2），（11.8,3），（12.5,4），（13,5）；变量U与V相对应的组数据为（10,5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1）. 为变量Y与X之间的样本相关系数，为变量U与V之间的样本相关系数，则(   )
A. B. C. D.

4.设两个变量和之间具有线性相关关系,它们的相关系数为关于的回归直线方程为,则(   )

A.与的符号相同  B.与的符号相同C.与的符号相反  D.与的符号相反

5.变量X与Y相对应的一组数据为；变量U与V相对应的一组数据为，表示变量Y与X之间的线性相关系数，表示变量V与U之间的线性相关系数，则(   )

A.  B.  C.  D.

二、能力提升

6.某工厂为了确定工效进行了5次试验，收集数据如下：

经检验，这组样本数据的两个变量x与y具有线性相关关系，那么对于加工零件个数x与加工时间y这两个变量，下列判断中正确的是(   )

A.负相关，其经验回归直线经过点

B.正相关，其经验回归直线经过点

C.负相关，其经验回归直线经过点

D.正相关，其经验回归直线经过点

7.某化工厂产生的废气经过过滤后排放,以模型去拟合过滤过程中废气的污染物浓度与时间xh之间的一组数据,为了求出经验回归方程,设,其变换后得到经验回归方程为,则当经过后,预报废气的污染物浓度为(   )
A.  B.  C.  D.

8.有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法正确的是(   )

A.残差平方和变小

B.相关系数r变小

C.决定系数变小

D.解释变量x与响应变量y的线性相关程度变弱

9.已知方程是根据女大学生的身高预报体重的经验回归方程，其中的单位分别是cm,kg，则该方程在样本处的残差是(   )

A.54.55 B.3.45 C.2.45 D.111.55

10.某种产品的广告费支出x（万元）与销售额y（万元）之间有如表所示的线性相关关系，y与x的经验回归方程为，当广告支出5万元时，残差为(   )

A.10 B.20 C.30 D.40

11.某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的质量y（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据，如下表所示.（残差=观测值-预测值）

根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为.据此计算出在样本处的残差为-0.15，则表中m的值为__________.

12.为了了解家庭月收入(单位：千元)与月储蓄(单位：千元)的关系,从某居民区随机抽取10个家庭,根据测量数据的散点图可以看出与之间具有线性相关关系,其回归直线方程为,若该居民区某家庭月收入为7千元,据此估计该家庭的月储蓄为________千元.

13.某药材公司与某枳壳种植合作社签订收购协议,根据协议,由该公司提供相关的种植技术标准和管理经验,并对标准园的枳壳成品按不低于当年市场价的价格进行订单式收购,形成“龙头企业+合作社+农户”的快速发展模式.该合作社对2016—2019年的收益情况进行了统计,得到如下所示的相关数据:

根据数据可求得y关于x的线性回归方程,为,则=___________ .

14.某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：

并计算得，，.

（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；

（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.

附：相关系数，.

15.某种产品的月广告宣传费用x和月销售额y的统计数据如下表：

（1）根据1至5月份的数据，已知变量y与x呈线性相关，求出回归方程；

（2）由线性回归方程得到的估计数据（结果保留整数）与实际数据的误差不超过2万元，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？

参考数据：，.

附：，.

答案以及解析

1.答案：D

解析：对于选项A，越大，线性相关程度越强，A错误；
对于选项B,越小，线性相关程度越弱，B错误；
对于选项C,越大，线性相关程度越强，C错误；
对于选项D,，且越接近1，线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱，D正确.

故选D.

2.答案：C

解析：由题图1可知，散点几乎在一条直线上，且成正相关，，由题图2可知，散点分散在一条直线附近，也成正相关, .A组成对数据的线性相关程度比B组强些，，故选C.

3.答案：B

解析：由变量X与Y相对应的一组数据为（10,1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4）,（13,5），可得变量Y与X之间成正相关，因此；
由变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1），可得变量U与V之间成负相关，因此.故.

4.答案：A

解析：若样本相关系数r为正，则两个变量呈现正相关，经验回归直线呈上升趋势；若样本相关系数r为负，则两个变量呈现负相关，经验回归直线呈下降趋势，与的符号相同.故选A.

5.答案：C

解析：由变量X与Y相对应的一组数据为，可得变量Y与X正相关，所以.

而由变量U与V相对应的一组数据为，可知变量V与U负相关，所以.因此与的大小关系是.

6.答案：D

解析：由表中数据可得y随x的增大而增大，故y与x正相关.又

，所以样本点的中心为，而经验回归直线过样本点的中心，因此其经验回归直线经过点，故选D.

7.答案：D

解析：当时,,所以.

8.答案：A

解析：从散点图分析可知，只有D点偏离直线，去掉D点，解释变量x与响应变量y的线性相关程度变强，相关系数r变大，决定系数变大，残差平方和变小，故选A.

9.答案：C

解析：由经验回归方程可得当身高为165cm时，体重的预测值，故残差为.故选C.

10.答案：A

解析：因为y与x的经验回归方程为，

所以当时，.

由表格知当广告支出5万元时，销售额为60万元，所以残差为.故选A.

11.答案：4.5

解析：由在样本处的残差为,可得，则，解得.

由题表可知，，产量x的平均数为，

由经验回归方程为过点，

可得.则，

解得.

12.答案：1.7

解析：将代入,得,因此该家庭的月储蓄约为1.7千元.

13.答案：14.6

解析：由题表知，.因为样本点的中心在回归直线上，所以，解得.

14.答案：（1）0.06，0.39

（2）0.97

（3）1209

解析：（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积，
估计该林区这种树木平均一棵的材积量，
（2），
，
，
所以，
所以样本相关系数.
（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y，
由题意可知，该种树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，所以，
所以，
即该林区这种树木的总材积量的估计值为1209.

15.答案：（1）

（2）所得的线性回归方程是可靠的

解析：（1）由数据统计表得

，，

则.

又，，

，

，

关于x的线性回归方程为.

（2）由（1）知线性回归方程为，得到五组估计数据如下表：

由上表可知，估计数据与实际数据的误差都不超过2万元，

所得的线性回归方程是可靠的.