高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.2 一元线性回归方程课后复习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.2 一元线性回归方程课后复习题，共16页。试卷主要包含了1　直线拟合，下列两个变量之间呈相关关系的是，25cm，7万元　　　　　　　D等内容，欢迎下载使用。

1.1 直线拟合
1.2 一元线性回归方程
基础过关练
题组一 线性回归的相关概念的理解
1.下列四个散点图中,两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是( )

A.①② B.①③
C.②③ D.③④
2.对具有线性相关关系的两个变量建立的线性回归方程y^=a^+b^x中,系数b^( )
A.不能小于0 B.不能大于0
C.不能等于0 D.只能小于0
3.下列两个变量之间呈相关关系的是( )
A.角度与它的正弦值
B.一个考生的数学成绩与物理成绩
C.单产为常数时,土地面积与粮食总产量
D.面积为定值的长方形的长与宽
题组二 线性回归方程及其应用
4.某地区调查了2~9岁的儿童的身高,由此建立的身高y(cm)与年龄x(岁)的回归模型为y=8.25x+60.13,下列叙述正确的是( )
A.该地区一个10岁儿童的身高为142.63cm
B.该地区2~9岁的儿童每年身高约增加8.25cm
C.该地区9岁儿童的平均身高是134.38cm
D.利用这个模型可以准确地计算该地区每个2~9岁儿童的身高
5.(2020北京师范大学附属实验中学高三下第一次质量评估)为了规定工时定额,需要确定加工某种零件所需的时间,为此进行了5次试验,得到5组数据:(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),(x5,y5),由最小二乘法求得线性回归方程为y^=0.67x+54.9.若已知x1+x2+x3+x4+x5=150,则y1+y2+y3+y4+y5=( )
A.75 B.155.4
C.375 D.466.2
6.某产品的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如下表:
根据上表可得线性回归方程y^=b^x+a^中的b^=9.4,据此模型预测广告费用为6万元时的销售额为( )
A.63.6万元 B.65.5万元
C.67.7万元 D.72.0万元
7.(2020湖南衡阳模拟)某单位为了践行“绿水青山就是金山银山”的理念,制订节能减排的目标,先调查了用电量y(单位:kW·h)与气温x(单位:℃)之间的关系,随机选取了4天的用电量与当天气温,并制作了对照表:
由表中数据得线性回归方程为y^=-2x+60,则a的值为( )
A.48 B.62 C.64 D.68
8.已知x与y之间的几组数据如下表:
假设根据上表数据所得线性回归方程为y^=b^x+a^,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y=b'x+a',则以下结论正确的是( )
A.b^>b',a^>a' B.b^>b',a^C.b^a' D.b^9.在一项关于16艘轮船的研究中,船的吨位区间为[192,3246],船员的人数区间为[5,32],由船员人数y关于吨位x的回归分析得到y=9.5+0.0062x,假定两艘轮船的吨位相差1000t,船员平均人数相差 ,估计最小的船的船员人数是 ,最大的船的船员人数是 .
10.2020年6月22日,某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查,5家商场的售价和销售量之间的一组数据如下表所示:
由数据对应的散点图可知,销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系,其线性回归方程是y^=-3.2x+40,且m+n=20,则n= .
11.某连锁经营公司旗下的5个零售店某月的销售额和利润额如下表:
(1)画出散点图,观察散点图,说明两个变量是否线性相关;
(2)用最小二乘法计算利润额y关于销售额x的线性回归方程;
(3)当销售额为4千万元时,估计利润额的大小.
12.(2020四川成都武侯校级期中)某地随着经济的发展,居民收入逐年增长,表1是该地某银行连续五年的储蓄存款(年底余额):
表1
为了计算的方便,工作人员将上表的数据进行了处理,令t=x-2014,z=y-5,得到表2:
表2
(1)求z关于t的线性回归方程;
(2)通过(1)中的方程,求出y关于x的回归方程;
(3)用所求回归方程预测到2022年年底,该银行储蓄存款额可达多少.
附:对于线性回归方程y^=b^x+a^,其中b^=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-nx 2,a^=y-b^x.
能力提升练
题组 线性回归模型的综合应用
1.(2020四川成都模拟,)某实验室对小白鼠体内x,y两项指标进行研究,连续五次试验所测得的这两项指标数据如下表:
已知y与x具有线性相关关系,利用上表中的五组数据求得线性回归方程为y^=b^x+a^,若下一次试验中x=170,利用该线性回归方程得y^=117,则b^的值为 .
2.(2020河南郑州第二中学高二月考,)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位:h)与当天投篮命中率y的数据:
小李这5天的平均投篮命中率为 ;用线性回归分析的方法,预测小李该月6号打6h篮球的投篮命中率为 .
3.(2019福建莆田期末,)某商家对一种新产品进行试销,得到如下数据:
通过绘制散点图,得知y与x具有线性相关关系.若该产品每件成本9元,要使该产品销售总利润最大,则单价约为 元.(销售总利润=(单价-成本)×销售量)
附:(1)参考公式:回归方程y^=b^x+a^中斜率和截距的最小二乘估计分别为b^=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-nx 2,a^=y-b^x;
(2)参考数据:∑i=16xi=102,∑i=16yi=960,∑i=16xiyi=16264,∑i=16(xi-x)(yi-y)=-56.
4.(2020江西赣州模拟,)2020年是全面建成小康社会目标实现之年,也是全面打赢脱贫攻坚战收官之年.某乡镇在2014年通过精准识别确定建档立卡的贫困户共有500户,结合当地实际情况采取多项精准扶贫措施,每年新脱贫户数如表:
(1)根据2015~2019年的数据,求出y关于x的线性回归方程,并预测到2020年年底该乡镇500户贫困户是否能全部脱贫;
(2)2019年的新脱贫户中有20户五保户,20户低保户,60户扶贫户.该乡镇某干部打算按照分层随机抽样的方法对2019年新脱贫户中的5户进行回访,了解生产生活、帮扶工作开展情况.为防止这些脱贫户再度返贫,随机抽取这5户中的2户进行每月跟踪帮扶,求抽取的2户不都是扶贫户的概率.
参考公式:b^=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-nx 2=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2,a^=y-b^x.
5.(2020山东日照中学高二月考,)为研究某设备的使用年限x(年)与维修费用y(万元)之间的关系,测得一组数据如下(y值为观察值):
由数据可知y与x有明显的线性相关关系,可以用一条直线l的方程来反映这种关系.
(1)将表中的数据画成散点图;
(2)如果直线l过散点图中的最左侧点和最右侧点,求直线l的方程;
(3)如果直线l过散点图中的中间点(即点(4,5)),且使维修费用的每一个观察值与直线l上对应点的纵坐标的差的绝对值之和最小,求直线l的方程.
6.(2020福建泉州二模,)“业务技能测试”是量化考核员工绩效等级的一项重要参考依据.某公司为量化考核员工绩效等级,设计了A,B两套测试方案,现各抽取100名员工参加A,B两套测试方案的预测试,统计成绩(满分100分,且均为整数),得到如下频率分布表.
(1)从预测试成绩在[25,35)∪[85,95]的员工中随机抽取6人,记参加方案A的人数为Y,求Y最有可能的取值;
(2)由于方案A的预测试成绩更接近正态分布,故该公司选择方案A进行业务技能测试.测试后,公司统计了若干部门测试的平均成绩x与绩效等级优秀率y,如表所示:
根据数据绘制散点图,初步判断,选用y=λetx作为回归方程.令z=lny,经计算得z≈-0.642,∑i=17xizi-nxz∑i=17xi2-nx2≈0.02,ln0.15≈-1.9.
(i)若某部门测试的平均成绩为60,则其绩效等级优秀率的估计值为多少?
(ii)根据统计分析,大致认为各部门测试平均成绩X~N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2,求某个部门绩效等级优秀率不低于0.78的概率.
参考公式与数据:(1)ln3.32≈1.2,ln5.2≈1.65,s≈20.
(2)线性回归方程y^=b^x+a^中,b^=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-nx 2,a^=y-b^x.
(3)若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ答案全解全析
基础过关练
1.B ①③中的点分布在一条直线附近,适合用线性回归模型刻画.
2.C 当b^=0时,不具有线性相关关系,但b^能大于0,也能小于0.
3.B 选项A、C和D中均为函数关系,只有选项B中为相关关系.
4.B 由y=8.25x+60.13知b^=8.25,说明每增加一个单位年龄,约增加8.25个单位身高,故选B.
5.C 由题意,可得x=1505=30,代入线性回归方程,可得y^=0.67×30+54.9=75,
所以y1+y2+y3+y4+y5=5×75=375,故选C.
6.B 由已知得x=4+2+3+54=3.5,y=49+26+39+544=42,又回归直线y=bx+a必过点(x,y),b=9.4,∴42=3.5×9.4+a,解得a=9.1.∴线性回归方程为y^=9.4x+9.1,当x=6时,y^=9.4×6+9.1=65.5.
7.C 由已知得x=17+14+10-14=10,y=24+34+38+a4=24+a4,又回归直线y=-2x+60过点(x,y),∴24+a4=-2×10+60,解得a=64,故选C.
8.C 由题意得b'=2-02-1=2,a'=0-2×1=-2.∑i=16xiyi=0+4+3+12+15+24=58,x=3.5,y=136,∑i=16xi2=1+4+9+16+25+36=91,∴b^=58-6×3.5×13691-6×3.52=57,a^=136-57×3.5=-13,∴b^a'.故选C.
9.答案 6;10;29
解析 由线性回归方程知船的吨位每增加1000t,人数增加0.0062×1000≈6.令x=192,得y=10.6904,令x=3246,得y=29.6252,又人数为整数,所以最小的船估计的船员人数为10,最大的船估计的船员人数为29.
10.答案 10
解析 由题意得x=15×(9+9.5+m+10.5+11)=8+m5,y=15×(11+n+8+6+5)=6+n5,又回归直线过定点(x,y),所以6+n5=-3.2×8+m5+40,即3.2m+n=42,由3.2m+n=42,m+n=20,解得m=10,n=10,故n=10.
11.解析 (1)散点图如图.
由散点图可以看出变量x,y线性相关.
(2)设线性回归方程为y^=b^x+a^,
由已知得y=3.4,x=6,
所以b^=∑i=15xiyi-5xy∑i=15xi2-5x 2=0.5,
a^=y-b^x=3.4-6×0.5=0.4,
即利润额y关于销售额x的线性回归方程为y^=0.5x+0.4.
(3)当销售额为4千万元时,利润额为y^=0.5×4+0.4=2.4(百万元).
12.解析 (1)由题意得t=3,z=2.2,∑i=15tizi=45,∑i=15ti2=55,
所以b^=45-5×3×2.255-5×9=1.2,
a^=z-b^t=2.2-3×1.2=-1.4,
所以z关于t的线性回归方程为z^=1.2t-1.4.
(2)将t=x-2014,z=y-5代入z^=1.2t-1.4,
得y-5=1.2(x-2014)-1.4,即y^=1.2x-2413.2.
(3)当x=2022时,y^=1.2×2022-2413.2=13.2,
所以预测到2022年年底,该银行储蓄存款可达13.2千亿元.
能力提升练
1.答案 135251
解析 由已知得x=120+110+125+130+1145=119.8,
y=92+83+90+96+895=90.
则119.8b^+a^=90,①
由题意知170b^+a^=117,②
联立①②,解得b^=135251.
故答案为135251.
2.答案 0.5;0.53
解析 由已知得y=0.4+0.5+0.6+0.6+0.45=2.55=0.5,
x=1+2+3+4+55=3.
设y关于x的线性回归方程为y^=a^+b^x,
则b^=0.01,
a^=y-b^x=0.5-0.01×3=0.47.
所以y^=0.47+0.01x.
当x=6时,y^=0.47+0.01×6=0.53.
3.答案 17
解析 x=16∑i=16xi=16×102=17,y=16∑i=16yi=16×960=160,
又∑i=16xiyi=16264,∑i=16xi2=1736.8,
∴b^=∑i=16xiyi-6xy∑i=16xi2-6x2=16264-6×17×1601736.8-6×172=-562.8=-20,
a^=y-b^x=160-(-20)×17=500.
∴y关于x的线性回归方程为y^=-20x+500.
则产品的销售利润z^=(x-9)(-20x+500)=-20x2+680x-4500.
当x=68040=17时,该产品销售总利润最大.
4.解析 (1)∑i=15xiyi=1×55+2×68+3×80+4×92+5×100=1299,
x=3,y=55+68+80+92+1005=3955=79,
∑i=15xi2=1+4+9+16+25=55.
b^=1299-5×3×7955-5×32=11410=11.4,
a^=y-b^x=79-11.4×3=44.8.
∴y关于x的线性回归方程为y^=11.4x+44.8.
当x=6时,y^=11.4×6+44.8=113.2≈113.
即预测2020年一年内该乡镇有113户贫困户脱贫.
∴预测6年内该乡镇脱贫总户数为55+68+80+92+100+113=508>500.
即预测到2020年年底该乡镇500户贫困户能全部脱贫.
(2)按分层随机抽样抽取的5户贫困户中,
有1户五保户,记为a,1户低保户,记为b,3户扶贫户,记为c,d,e.
从这5户中任选2户,共有10种情况:
(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),
记2户不都是扶贫户为事件A,则事件A共有3种情况:(c,d),(c,e),(d,e).
∴P(A)=310,则P(A)=1-310=710.
故抽取的2户不都是扶贫户的概率为710.
5.解析 (1)散点图如图.
(2)因为散点图中的最左侧点和最右侧点分别是(2,3),(6,6.2),
所以直线l的方程是y-36.2-3=x-26-2,
即4x-5y+7=0.
(3)由题意可设直线l的方程为y=k(x-4)+5.
则维修费用的每一个观察值与直线l上对应点的纵坐标的差的绝对值之和为
S(k)=|3-(-2k+5)|+|4.4-(-k+5)|+|5.6-(k+5)|+|6.2-(2k+5)|=2|k-1|+4|k-0.6|=4.4-6k,k≤0.6,2k-0.4,0.6因为函数S(k)的单调递增区间是(0.6,+∞),单调递减区间是(-∞,0.6),所以当k=0.6时,S(k)取得最小值0.8,此时直线l的方程是3x-5y+13=0.
6.解析 (1)预测试成绩在[25,35)∪[85,95]的员工中,接受方案A预测试的有100×(0.02+0.03)=5人;
接受方案B预测试的有100×(0.16+0.04)=20人.
依题意,随机变量Y服从超几何分布,记这6人中接受方案A预测试的人数为k,
则P(Y=k)=C5kC206-kC256,其中k∈{0,1,2,3,4,5}.
由C51C205>C52C204>C50C206>C53C203>C54C202>C55C201,
得P(Y=k)max=P(Y=1),即Y=1的可能性最大,
故Y最有可能的取值是1.
(2)(i)依题意,y=λetx两边取对数,得lny=tx+lnλ,即z=tx+lnλ.
易得x=63,由提供的参考数据,可知t≈0.02,
又-0.642=0.02×63+lnλ,
∴lnλ≈-1.9,得λ≈0.15.
故y^=
当x=60时,y^≈0.498,
所以平均成绩为60时,其绩效等级优秀率的估计值为0.498.
(ii)由(i)及提供的参考数据可知,μ≈x=63,σ≈s≈20.
y≥0.78,即≥0.78,可得0.02x≥ln5.2,又x∈N,所以x≥83.
又μ+σ=83,P(μ-σ∴由正态分布的性质,得P(X≥83)=12[1-P(μ-σ记“绩效等级优秀率不低于0.78”为事件A,
则P(A)=P(X≥83)≈0.1587.
∴绩效等级优秀率不低于0.78的概率为0.1587.
广告费用x/万元
4
2
3
5
销售额y/万元
49
26
39
54
x(单位:℃)
17
14
10
-1
y(单位:kW·h)
24
34
38
a
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
价格x/元
9
9.5
m
10.5
11
销售量y/件
11
n
8
6
5
商店名称
A
B
C
D
E
销售额x/千万元
3
5
6
7
9
利润额y/百万元
2
3
3
4
5
年份x
2015
2016
2017
2018
2019
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
时间代号t
1
2
3
4
5
z
0
1
2
3
5
x
120
110
125
130
114
y
92
83
90
96
89
时间x
1
2
3
4
5
命中率y
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
单价x(元)
16
16.4
16.8
17.2
17.6
18
销售量y(件)
180
168
166
160
150
136
年份
2015
2016
2017
2018
2019
年份代码x
1
2
3
4
5
脱贫户数y
55
68
80
92
100
年限x(年)
2
3
4
5
6
维修费用y(万元)
3
4.4
5
5.6
6.2
成绩
[25,
35)
[35,
45)
[45,
55)
[55,
65)
[65,
75)
[75,
85)
[85,
95]
方案A
0.02
0.11
0.22
0.30
0.24
0.08
0.03
方案B
0.16
0.18
0.34
0.10
0.10
0.08
0.04
x
32
41
54
68
74
80
92
y
0.28
0.34
0.44
0.58
0.66
0.74
0.94