数学选择性必修 第一册5 正态分布练习

6.5 正态分布——2022-2023学年高二数学北师大版（2019）选择性必修第一册同步课时训练

一、   概念练习

1.已知随机变量且，则(   )

A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1

2.已知随机变量X服从正态分布，且，则(   )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4

3.设随机变量，已知，则(   )

A.0.025 B.0.050 C.0.950 D.0.975

4.已知随机变量服从正态分布，且，则(   )
A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.6

5.设随机变量服从正态分布，则函数不存在零点的概率为(   )
A. B. C. D.

二、能力提升

6.已知随机变量，若，，则(   )

A.1 B.2 C.3 D.4

7.已知随机变量服从正态分布，且，则(   )

A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2

8.已知随机变量，且，则的展开式中的系数为(   )
A.680 B.640 C.180 D.40

9.某校有1 000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为(   )

A.150 B. 200 C.300 D.400

10.已知随机变量服从正态分布，则与的值分别为(   )

A.13，4 B.13，8 C.7，8 D.7，16

11.设随机变量服从标准正态分布，若，则_______.

12.设随机变量，若，则______.

13.某火车站三个安检入口每天通过的旅客人数（单位：人）均服从正态分布.若，假设三个安检入口均能正常工作，则这三个安检入口每天至少有两个超过1100人的概率为____________.

14.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图.

（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差.
①利用该正态分布，求.
②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间内的产品件数，利用①的结果，求.
附：.

15.为了提高学生的法律意识，某校组织全校学生参与答题闯关活动，共两关.现随机抽取100人，对第一关答题情况进行调查.

（Ⅰ）假设分数Z近似服从正态分布，其中μ近似为样本的平均数（每组数据取区间的中点值），近似为样本方差，若该校有4000名学生参与答题活动，试估计分数在内的学生数；

（Ⅱ）学校规定：分数在内的为闯关成功，并对第一关闯关成功的学生记德育学分5分；只有第一关成功才能闯第二关，第二关闯关不成功的学生德育学分只记第一关学分；对两关均闯关成功的学生记德育学分10分.在闯过第一关的同学中，每位同学第二关闯关成功的概率均为，同学之间第二关闯关是相互独立的.从第一关闯关成功的学生中随机抽取2人，记2人本次活动总分为随机变量X，求X的分布列与数学期望.

（参考数据：若随机变量，则）

答案以及解析

1.答案：D

解析：由正态分布性质知，所以

.

2.答案：D

解析：∵随机变量X服从正态分布，
∴正态曲线关于直线对称，又，
，故选D.

3.答案：C

解析：本题考查服从标准正态分布的随机变量的概率计算.

，选C.

4.答案：D

解析：随机变量服从正态分布,,.

5.答案：C

解析：函数不存在零点，则，即.因为，所以，.

6.答案：C

解析：易知，根据正态曲线的对称性可知.故选C.

7.答案：C

解析：随机变量X服从正态分布,.,,,.故选C.

8.答案：A

解析：因为随机变量，所以，所以该式为,其展开式中含的项为，即的系数为680.
故选A.

9.答案：C

解析：，，.
此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为.故选C.

10.答案：D

解析：由已知得，故.

11.答案：1

解析：由题意知正态曲线关于y轴对称，,,.

12.答案：0.68

解析：由正态分布的性质可知，所以.

13.答案：

解析：根据正态曲线的对称性，每个安检入口每天超过1100人的概率为，所以这三个安检入口每天至少有两个超过1100人的概率为.

14.答案：（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为
,
.
（2）①由（1），知，从而

②由①，知一件产品的质量指标值位于区间内的概率约为0.683,
依题意知,
所以.

15.答案：（Ⅰ）样本的平均数，
所以分数Z近似服从正态分布，
即，
可得，
所以

，
所以分数在内的学生数约为（人）.
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为
，
，

所以X的分布列为

，
因此X的数学期望为17.5分.