高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.3 二项式定理与杨辉三角课堂检测

3.3 二项式定理与杨辉三角——2022-2023学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第二册同步课时训练

一、概念练习

1.在的展开式中,项的系数与项的系数之比为1:2,则项的系数为(   )

A.84 B.63 C.42 D.21

2.若的展开式中系数为整数的项有k项,则k的值为(   )

A.2 B.3 C.4 D.5

3.若，则等于(    )

A.284 B.356 C.364 D.378

4.在的展开式中，各项系数的和为（   ）

A.0 B.1 C. D.

5.在的展开式中，项的系数是（    ）

A. B. C. D.

二、能力提升

6.已知二项式的展开式中，项的系数为40，则 (   )

A.2 B. C.2或  D.4

7.展开式中系数最大的项是(   )

A. B. C. D.

8. （多选）已知二项式的展开式中共有8项，则下列说法正确的有（    ）

A.所有项的二项式系数和为128 B.所有项的系数和为1

C.二项式系数最大的项为第5项 D.有理项共3项

9. （多选）已知，则(   )

A.展后式中的第4项为 B.展开式中的常数项为60

C.展出式中的各项系数之和为1 D.展开式中第4项的二项式系数最大

10. （多选）已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，则下列说法正确的是(   )

A.所有项的系数之和为1 B.所有项的系数之和为-1

C.含的项的系数为240 D.含的项的系数为-240

11.的展开式中的系数__________.

12.的展开式中的系数为________（用数字作答）.

13.若 展开式中 的系数为 30 , 则 __________.

14.已知的展开式中各项系数的和为m,，求的展开式中二项式系数最大的项的系数.

15.回答下列问题：
（1）求证：对任意正整数n,.
（2）证明：.

答案以及解析

1.答案：A

解析：本题考查二项式定理.展开式的通项为,所以项的系数为项的系数为,则由题意知,解得,所以项的系数为,故选A.

2.答案：B

解析：二项式的通项为(其中,).若项的系数为整数,则为自然数,所以,所以.故选B.

3.答案：C

解析：令，则①，

令，则②，

①②两式左、右分别相加，得，

∴，再令，则，

∴．

故选：C﹒

4.答案：B

解析：令，即可求得各项系数的和．

解：令，可得各项系数的和为1．

故选：B．

5.答案：C

解析：在 的展开式中, 通项公式为, 今, 求得,
故 项的系数是,
故选: C.

6.答案：C

解析：由,令,解得,所以项的系数为,，解得

7.答案：C

解析：设项系数最大，则有，即，，解得，又，.系数最大项为.故应选C.

8.答案：AB

解析：二项式的展开式中共有8项，则，

选项A：所有项的二项式系数和为，故A正确；

选项B：令，则，所以所有项的系数的和为1，故B正确；

选项C：二项式系数最大的项为第4项和第5项，故C不正确；

选项D：二项式的展开式的通项为，

当时，二项式的展开式中对应的项均为有理项，所以有理项有4项，故D不正确．

故选：AB﹒

9.答案：BCD

解析：的展开式的通项，

对于A，展开式中的第4项为，所以A不正确；

对于B，令，解得，所以展开式中的常数项为，所以B正确；

对于C，令，得展开式中各项系数之和为，所以C正确；

对于D，由可知展开式共有7项，所以展开式中第4项的二项式系数最大，所以D正确.故选BCD.

10.答案：AC

解析：二项式的展开式的通项为，因为它第2项与第3项的二项式系数之比是，所以，求得，故通项公式为.令，求得，故的系数为，今代入.故所有项的系数之和为1.

11.答案：

解析：展开式通项公式为，

令，得，

所以所求系数为，故答案为．

12.答案：-28

解析：展开式的通项，.令，得，令，得，所以的展开式中的系数为.

13.答案：1

解析： 展开式中 的系数为, 解得

14.答案：由题意，在中，令,
得,,
的展开式共有13项，第7项的二项式系数最大，该项为,
所求的系数为59136.

15.答案：（1）由,即可化简作出证明.
因为,
所以



.
（2）因为,所以,
而是的展开式中的系数，是的展开式中的系数，
所以.
因为，所以.