第7章 锐角三角函数（培优卷）-【满分计划】最新九年级数学下册阶段性复习测试卷（苏科版）

第7章  锐角三角函数 （培优卷）

一．选择题（每小题3分，共18分）

1.在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（    ）

A．6 B．7.5 C．8 D．12.5

【答案】A

【解析】解：如图

∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，，解得：，

故选：A．

2.在△ABC中，，若，则（      ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解：在△ABC中，，

∵，∴设BC=x，AC=2x，

，，

故选：C．

3.如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP=6千米，则AB两点的距离为（    ）千米．

A．4 B． C．2 D．6

【答案】D

【解析】解：由题意知：，

在中，千米千米，

在中，

， 千米千米

故选：D

4.如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则sin∠BDE的值等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解：连接AD，如图：

∵△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D为BC中点，∴AD⊥BC，，

∴，

∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴，，

∴∠BDE=∠BAD，∴．

故选：A．

5.如图所示，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则 tan A 的值为（   ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【解析】解：如图，取网格点D，连接BD，

由网格图，可得：，，，

∴，

∴是直角三角形，且，

∴，

故选：A．

6.如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，则的最小值是（    ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】D

【解析】解：∵等边，

∴，，

在与中，

，

∴，∴，

∴，∴，

作的外接圆，则点F的运动轨迹为以O为圆心，为半径的圆，如图所示，连接、，交劣弧于点，当点F与点重合时，的长度最小，

由切线定理可得：与相切于点B，∴，，

在中，，

∴，∴，

∴的最小值为，

故选：D．

二．填空题（每小题2分，共20分）

7.在△ABC中，，则∠C=________________________．

【答案】75°

【解析】解：∵

∴，∴，

故答案为：75°

8.在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，则sinB=______

【答案】或

【解析】解：在Rt△ABC中，当∠C=90°时，如图所示：

∵AC=3，BC=4，∴AB==5，∴sinB=；

在Rt△ABC中，当∠A=90°时，如图所示：

∵AC=3，BC=4，∴sinB=；

综上分析可知，sinB=或sinB=．

故答案为：．

9.如图，在3×3的正方形网格中，A、B均为格点，以点A为圆心，AB长为半径画弧，图中的点C是该弧与网格线的交点．则sin∠BAC的值等于_____．

【答案】

【解析】如图：

∵CDAB，∴∠BAC＝∠DCA．

∵同圆的半径相等，∴AC＝AB＝3．

在中，sin∠ACD＝．∴sin∠BAC＝sin∠ACD＝．

故答案为：．

10.如图，已知△ABC中，，，则AC=______cm．

【答案】

【解析】解：如图，过点C作CD⊥AB

在Rt△BDC中：

在Rt△ADC中：

故答案为：．

11.北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段AB．已知坡AB的长为50m，坡AB的坡比为3：4，则铅直高度AH为________m．            

【答案】30

【解析】解：∵坡AB的坡比为3：4，

∴设AH＝3x，则BH＝4x，

在Rt△ABH中，由勾股定理得：，

∴，∴x＝10（负值已舍去），∴AH＝30m，

故答案为：30．

12.在直角三角形ABC中，若cosC＝，则＝________．

【答案】或

【解析】解：如图1，若∠A＝90°，

由于cosC＝＝，设AC＝k，则BC＝2k，

∴AB＝，∴=；

如图2，若∠B＝90°，由于cosC＝＝，设BC＝k，AC＝2k，

∴AB＝，∴＝；

故答案为：或.

13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，，则AC的长为__________．

【答案】8

【解析】解：连接BF，交CE于点D，

∵∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，，∴∠ECA＝∠A，

∵EF⊥AB，∴EF是AB的垂直平分线，∴BF＝AF，∴∠A＝∠ABF，∴∠ABF＝∠ACE，

∵∠CDF＝∠BDE，∴△CDF∽△BDE，  ∴∠CFD＝∠BED，

∵∠CFD+∠CBF＝90°，∠BED+∠CEF＝90°，∴∠CBF＝∠CEF，

，，

，，∴AF＝BF＝5，

∴AC＝CF+AF＝3+5＝8，

故答案为：8．

14.如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，AB=4，BC=3，则tan的值为 ________．

【答案】

【解析】解：过C作CF⊥于点F，交于点E，设CB交于点G，

由题意得：GEBF，CE＝EF，∴△CEG∽△CFB，∴，

∵BC＝3，∴CG＝BC＝1，∴GB＝CG＝，

∵，∴∠α＝∠GAB，

∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，∴∠ABG＝90°，

∴tan∠BAG＝，∴tanα＝tan∠BAG＝，

故答案为：．

15.在中，，则__________．（结果保留根号）

【答案】

【解析】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，

则，，

在Rt中，，

∴，

在Rt中，，

∴，

故答案为：．

16.如图，是等边三角形，直线经过它们的顶点，点在x轴上，则点的横坐标是____________.

【答案】

【解析】解：如图，设直线与x轴交于点C，

在中，当x＝0时，y＝2；

当y＝0时，即，解得：，

∴A（0，2），C（，0），∴OA＝2，OC＝，

∴tan∠ACO＝，∴∠ACO＝30°，

∵是等边三角形，∴，

∴，∴，∴AC＝，

∵AO⊥，∴，∴，

同理可得：，，…，

∴，∴，

∴点的横坐标是，

故答案为：．

三．解答题（共62分）

17.（8分）计算：

(1)求的值.

(2)在中，，，，解这个直角三角形.

【答案】(1);(2) ， ，

【解析】（1）解：原式 ，

故答案是：．

（2）解：如图所示，中，，，，

∴ ，

根据直角三角形三边关系， ， ，

∴ ， ，

故答案是： ， ，．

18.（8分）已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，sinA =，CD =4，AB =5，求AD的长和tanB的值.

【答案】，

【解析】解： ∵，∴

∵，，∴

根据勾股定理可得

,

∴

19.（8分）如图，在中，已知，，．

(1)用没有刻度的直尺和圆规过点作交的延长线于点保留作图痕迹，不写作法

(2)求的面积．

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】（1）解：如图，即为所作的图形；

（2）在中，，，

，的面积．

20.（8分）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，于点，底座米，底座与支架所成的角，点在支架上，篮板底部支架.于点，已知米，米，米.

(1)求篮板底部支架与支架所成的的度数．

(2)求篮板底部点到地面的距离，（精确到0.1米）（参考数据：，）

【答案】(1)篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；

(2)篮板底部点E到地面的距离约为2.2米

【解析】（1）∵EF⊥EH，∴∠HEF=90°，

在Rt△HEF中，HF=米，HE=米，

∴∴∠FHE=45°，

∴篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；

（2）延长FE交直线BC与点M，过点A作AG⊥FM，垂足为G，

∴∠AGM=∠AGF=90°，

∵ ，∴FM⊥BC，∴∠BMG=90°，

∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴四边形ABMG是矩形，∴AB=GM，

∵，∴∠FHE=∠FAG=45°，

∴（米），（米），∴EG=FG-EF=（米），

在Rt△ABC中，（米），∴GM=AB=（米），

∴EM=EG+GM=（米），

∴篮板底部点E到地面的距离为2.2米．

21.（10分）如图，某渔船沿正东方向以10海里／小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛周围9海里内有暗礁．参考数据：，，．

(1)B处离岛C有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？

(2)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？

【答案】(1)B处离岛C有10海里；有触礁危险，证明见解析

(2)没有触礁危险，证明见解析

【解析】（1）过C作于O，CO为渔船向东航行到C的最短距离，

∵在A处测得岛C在北偏东的方向，∴，

又∵B处测得岛C在北偏东方向，∴，，

∴，∴（海里），

∵，，∴，

∴如果渔船继续向东航行，有触礁危险；

（2）过C作交BF于D，交BO于E，

，

∴没有触礁危险．

22.（10分）某项目学习小组用测倾仪、皮尺测量小山的高度，他们设计了如下方案（如图）：①在点A处安置测倾仪，测得小山顶M的仰角的度数；②在点A与小山之间的B处安置测倾仪，测得小山顶M的仰角的度数（点A，B与N在同一水平直线上）；③量出测点A，B之间的距离．已知测倾仪的高度米，为减小误差，他们按方案测量了两次，测量数据如下表（不完整）：

(1)写出的度数的平均值．

(2)根据表中的平均值，求小山的高度．（参考数据：）

(3)该小组没有利用物体在阳光下的影子来测量小山的高度，你认为原因可能是什么？（写出一条即可）

【答案】(1)22°;(2)101.5米;(3)小山的影子长度无法测量

【解析】（1）解∶ 的度数的平均值=，

答：的度数的平均值为22°；

（2）解：在Rt△MDE中，

∵∠MDE=45°，∴∠DME=∠MDE=45°，∴ME=DE，

在Rt△MCE中，

∵，∴ME=CEtan∠MCE，

由题意知四边形CANE、四边形ABDC是矩形，可得EN=AC=1.5米，CD=AB=150米，

∴，∴ME=100(米)，

∴MN=ME+NE=100+1.5=101.5(米)，

答：小山的高度约为101.5米．

（3）答：因为利用物体在阳光下的影子来测量小山的高度，由于小山的内部无法到达，则小山的影子长度无法测量，所以没有用物体在阳光下的影子来测量小山的高度的原因是小山的影子长度无法测量．

23.（10分）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝底边÷腰＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：

(1)sad＝　   　；

(2)如图②，△ABC中，CB＝CA，若sadC＝，求tanB的值；

(3)如图③，Rt△ABC中，∠C＝，若sinA＝，试求sadA的值．

【答案】(1)1;(2);(3)

【解析】（1）解：顶角为的等腰三角形是等边三角形，

∴＝底边÷腰．

故答案为：1．

（2）如图②所示：

作于点，

中，

即

（3）∵

设则．∴

如图③所示，在上截取，作于点，

∵Rt中，

∴．