2021-2022学年贵州省安顺市西秀区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年贵州省安顺市西秀区九年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 徐志摩的泰山日出一文描写了“泰山佛光”壮丽景象，月份的泰山，山脚平均气温为，山顶平均气温为，则山脚平均气温与山顶平均气温的温差是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列调查方式，你认为最合适的是(    )

A. 了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式
B. 旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式
C. 了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，采用全面调查方式
D. 日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查方式

3. 下面四个正方体的展开图中经过折叠后能围成如图所示的图案的正方体的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 解分式方程时，去分母正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图所示，一个大正方形的面上，编号为，，，的地块，是四个全等的等腰直角三角形空地，中间是小正方形绿色草坪，一名训练有素的跳伞运动员，每次跳伞都能落在大正方形地面上，则跳伞运动员一次跳伞落在草坪上的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知是一元二次方程的一个根，那么(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在中，是的直径，于点，若，，则的直径为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是(    )

A. 且 B.  C.  D. 且

9. 如图，在正六边形中，连接，，则关于外心的位置，下列说法正确的是(    )

A. 在内
B. 在内
C. 在线段上
D. 在线段上

10. 如图，在中，，，分别以边、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于、两点，连接、分别交于于、于，连接，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在中，，，将绕点顺时旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

12. 二次函数的图象如图，对称轴为直线若关于的一元二次方程为实数在的范围内有解，则的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13. 已知点与点关于原点对称，则______．
14. 抛物线，若其顶点在轴上，则______．
15. 在一个暗箱里放有个大小相同、质地均匀的白球，为了估计白球的个数，再放入个同白球大小、质地均相同，只有颜色不同的黄球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，推算的值大约是______．
16. 如图，在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点．当点沿半圆从点运动至点，点运动的路径长是______．

三、解答题（本大题共9小题，共98.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    在解方程的过程，嘉洪同学的解答如下：
    解：将方程左边分解因式，得，第一步
    方程两边都除以得，第二步
    解得第三步
    已知嘉淇同学的解答是错误的，开始出现错误的步骤是______；
    请给出正确的解答过程．
18. 本小题分
    如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，点，的坐标分别为，．
    画出坐标轴，画出绕点顺时针旋转后；
    点的坐标为______；
    四边形的面积为______．

19. 本小题分
    年北京冬奥会的举办时间为年月日至月日地址是北京和河北张家口市，这是中国历史上首次举办冬奥会，东林中学教育集团的学生会为了迎接这一盛事，设计并生产一种“东林迎冬奥”的纪念徽章，并将这种纪念徽章在网上进行销售．平均每天可售出枚，每枚盈利元．为了扩大销售，增加盈利，现采取了降价措施，在每枚盈利不少于元的前提下，销售一段时间后，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出枚，若每枚商品降价为正数元．
    用含的代数式表示平均每天销售的数量，并写出的取值范围；
    若该网店每天销售利润为元时，求的值．
20. 本小题分
    随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷每人必选且只选一种，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
    这次统计共抽查了______名学生；在扇形统计图中，表示“”的扇形圆心角的度数为______；
    将条形统计图补充完整；
    某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．说明：设“微信，和电话”三种沟通方式分别用字母“，和表示．
21. 本小题分
    如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交的延长线于点．
    求证：四边形是菱形；
    若，，求的长．

22. 本小题分
    两段相互垂直的墙和的长分别为和，用一段长为的篱笆成一个矩形菜园篱笆全部使用完，如图所示，矩形菜园的一边由墙和一节篱笆构成，一边靠在墙上，一边上有一个的门．假设篱笆的长为，矩形菜园的面积为，回答下面的问题：
    用含的式子表示篱笆的长为______，的取值范围是______；
    菜园的最大面积是多少？求出此时的值是多少．

23. 本小题分
    如图，已知是的直径，点在上，为外一点，且，．
    试说明：直线为的切线．
    若，，求的长．

24. 本小题分
    某城门的截面由一段抛物线和一个正方形为正方形的三条边围成，已知城门宽度为米，最高处距地面米．如图所示，现以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系．
    求上半部分抛物线的函数表达式，并写出其自变量的取值范围：
    有一辆宽米，高米的消防车需要通过该城门，请问该消防车能否正常进入？

25. 本小题分
    【学习心得】
    小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
    例如：如图，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，为半径作辅助，则点、必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到______
    【问题解决】
    如图，在四边形中，，，求的数．
    【问题拓展】
    如图，，是正方形的边上两个动点，满足连接交于点，连接交于点若正方形的边长为，则线段长度的最小值是______．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
根据题意列出算式，计算即可求出值．
【解答】
解：，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．据此逐一判断即可．
【解答】
解：、了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式，正确；
B、旅客上飞机前的安检，采用全面调查方式，故错误；
C、了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，抽样调查方式，故错误；
D、日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用抽样调查方式，故错误；
故选A．  

3.【答案】 

【解析】解：由正方体图，得
三角形面、正方形面、圆面是邻面，故B符合题意，
故选：．
根据展开图邻面间的关系，可得答案．
本题考查了展开图折叠成几何体，利用正方体邻面间的关系是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：分式方程整理得：，
去分母得：．
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得：如图，将大正方形分成块全等的等腰直角三角形，
草坪占了个等腰直角三角形，
一次跳伞落在草坪上；
故选：．
首先由题意可得：将大正方形分成块全等等腰直角三角形，由草坪占了个等腰直角三角形，然后利用概率公式即可求得答案．
此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．
 

6.【答案】 

【解析】解：是一元二次方程的一个根，
，
即，
．
故选：．
利用一元二次方程的解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

7.【答案】 

【解析】解：是的直径，，，
，
在中，由勾股定理得：，
的直径，
故选：．
由垂径定理得，再由勾股定理得，即可求解．
本题考查的是垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出的长是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得且．
故选：．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到不等式组，然后解不等式组即可求出的取值范围．
本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的定义，熟记一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的关系：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：在正六边形中，的外心是正六边形的中心，是线段的中点，
故选D．
正六边形的中心，是的外心，由此即可判断．
本题考查正多边形与圆的关系，三角形的外接圆与外心．
 

10.【答案】 

【解析】解：由作法得垂直平分，
，
，
，，
，
，
在中，，
，
．
故选：．
利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以，再计算出，接着利用含度角直角三角形三边的关系求，从而得到的长，然后计算即可．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作已知线段的垂直平分线也考查了线段垂直平分线的性质和含度角直角三角形三边的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：≌，
在旋转过程中所扫过的图形的面积扇形的面积扇形的面积，
故选：．
根据旋转的性质可以得到在旋转过程中所扫过的图形的面积扇形的面积扇形的面积，利用扇形的面积公式即可求解．
本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积扇形的面积扇形的面积是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：对称轴为直线，
，
二次函数解析式为．
当时，；
当时，；
当时，．
相当于与直线的交点的横坐标，
当时，在的范围内有解．
故选：．
根据对称轴求出的值，从而得到、时的函数值，再根据一元二次方程为实数在的范围内有解相当于与在内有交点，依此求解即可得出结论．
本题考查了二次函数的图象以及二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：点与点关于原点对称，
．
故答案为：．
直接利用关于原点对称点的性质两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点在轴上，
，
解得，
故答案为：．
抛物线的顶点在轴上，可知顶点的纵坐标，从而可以求得的值．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确当抛物线的顶点在轴上时，顶点的纵坐标为．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
黄球的个数除以它占总数的比例即为球的总数．
考查了利用频率估计概率的知识，总体部分的个数除以它占的比例．
 

16.【答案】 

【解析】解：取中点，连接，，取中点，连接，
，
，
，
由题意可知，点的运动路径是以点为圆心，为半径的半圆，
，
点的运动路径长，
故答案为：
取中点，连接，，取中点，连接，点的运动路径是以点为圆心，为半径的半圆，求出的长即可求轨迹长．
本题考查点的运动轨迹，根据运动情况，确定点的运动轨迹为半圆是解题的关键．
 

17.【答案】第二步 

【解析】解：已知嘉淇同学的解答是错误的，开始出现错误的步骤是第二步，
故答案为：第二步；
正确的解答过程如下：
移项，得：，
将左边因式分解，得：，
则或，
解得，．
根据等式的基本性质可判断第一题；
先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：如图，为所作；

点的坐标为；
故答案为；
四边形的面积．
故答案为．
先利用点坐标画出直角坐标系，再利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点得到；
利用所画图形写出点的坐标；
把四边形分割为个直角三角形和一个直角梯形进行计算．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

19.【答案】解：由题意可得，每天销售的数量为枚，
每枚盈利不少于元，
，解得，
答：平均每天销售的数量为枚，的取值范围是；
由题意可得：
，
解得，，
由知，故不符合题意，舍去，
，
答：该网店每天销售利润为元时，的值是． 

【解析】根据题意和题目中的数据，可以用含的代数式表示平均每天销售的数量，并写出的取值范围；
根据题意和中的结果，可以列出相应的方程，从而可以得到的值．
本题考查一元二次方程的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式，找出等量关系，写出相应的方程．
 

20.【答案】   

【解析】解：这次统计共抽查学生名，
在扇形统计图中，表示“”的扇形圆心角的度数为，
故答案为：、；

喜欢使用短信的人数为人，
喜欢使用微信的人数为：人，
条形统计图为：


画树状图为：

共有种等可能的结果数，甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数为，
所以甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率是．
用喜欢使用电话的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用乘以样本中人数所占比例即可得出答案；
用总人数乘以喜欢使用短信的人数所占的百分比，求出喜欢使用短信的人数，再用总人数减去其他沟通方式的人数，求出喜欢使用微信的人数，从而补全统计图；
画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．
 

21.【答案】证明：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
▱是菱形；
解：四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
菱形的面积，
，
菱形的面积，
． 

【解析】先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；
由菱形的性质得，，，再由勾股定理求出的长，得出的长，然后由菱形的面积即可得出答案．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：，，
，
，
，
，
故答案为：，；
由题意，得：，
，
当时，随的增大而减小，
，
当时，有最大值，最大值，
答：时，菜园面积的最大值为．
根据矩形的性质，由，再根据上有一个的门，得出，并根据，求出自变量的取值范围；
根据矩形的面积公式写出函数解析式，再根据函数的性质，在自变量范围内求最值．
此题主要考查了二次函数的应用，根据题意正确表示出矩形的边长是解题关键．
 

23.【答案】解：如图，连接，
，
，
，
，
．
，
，
，
经过的半径的端点，且，
直线为的切线．
如图，连接，
，
，
，
是等边三角形，
，
，

，
，
，
的长为． 

【解析】连接，先证明，再由得，则，得，再根据切线的判定定理说明直线为的切线；
连接，证明是等边三角形，则，，则，可根据勾股定理求出的长．
此题考查圆的切线的判定、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是作半径．
 

24.【答案】解：由题意知，抛物线的顶点为，
设抛物线的表达式为，
又抛物线经过点，
，
，
抛物线的表达式为，
即；
由题意知，当消防车走最中间时，进入的可能性最大，
即当时，，
消防车能正常进入． 

【解析】根据所建坐标系知顶点和与轴交点的坐标，可设解析式为顶点式形式求解，的取值范围是；
根据对称性当车宽米时，，求此时对应的纵坐标的值，与车高米进行比较得出结论．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．正确地求得函数解析式是解题的关键．
 

25.【答案】   

【解析】解：如图，

，，
以点为圆心，点、、必在上，
是的圆心角，而是圆周角，
，
故答案是：；

如图，取的中点，连接、．
，
点、、、共圆，
，
，
，

如图，在正方形中，，，，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
取的中点，连接、，
则，
在中，，
根据三角形的三边关系，，
当、、三点共线时，的长度最小，
最小值．
解法二：可以理解为点是在以为直径的半圆上运动，当、、三点共线时，长度最小．
故答案为：．
利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．
由、、、共圆，得出，
根据正方形的性质可得，，，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，从而得到，然后求出，取的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的三边关系可知当、、三点共线时，的长度最小．
本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质及正方形的性质是解题的关键．