2021-2022学年贵州省铜仁市六校九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年贵州省铜仁市六校九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共40分）

1. 下列函数中，不是反比例函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知，下列变形错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，已知，为上一点，连接，以下条件中不能判定的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 下列对一元二次方程根的情况的判断，正确的是(    )

A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等实数根
C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根

5. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知点是线段的黄金分割点，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 某超市一月份的营业额为万元，已知第一季度的总营业额共万元，如果平均每月增长率为，则由题意列方程应为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 已知∽，相似比为，且的周长为，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点在函数的图象上，点的坐标为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图所示，在中，，相交于点，是的中点，连接并延长交于点，已知，则下列结论：；；；∽其中一定正确的是(    )
     

A.  B.  C.  D.

一、选择题（本题共8小题，共32分）

11. 已知是反比例函数，则 ______ ．
12. 已知是关于的方程的一个根，则______．
13. 如图，小东用长为的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距、与旗杆相距，则旗杆的高为______．
14. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．
15. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标是          ．
16. 学校课外生物小组的试验园地是长米、宽米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道如图，要使种植面积为平方米，求小道的宽．若设小道的宽为米，则可列方程为______．
17. 如图，一次函数的图象与反比例函数为常数且的图象都经过，，结合图象，则关于的不等式的解集是______．
     

18. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，已知点点为线段的中点，连接，，若，则的值是______．

三、解答题（本题共7小题，共78分）

19. 按照下列不同方法解方程．
    直接开平方法；
    配方法；
    公式法；
    因式分解法．
20. 在的网格中，已知和点．
    以点为位似中心，在第一象限中画出位似图形，使与位似比为；
    写出的各顶点坐标．

21. 已知关于的一元二次方程的一个根是，且、满足，求关于的方程的根．
22. 如图，是正方形边上的一点，且，是中点．
    求证：∽．
    试问：与有什么关系位置与数量？

23. 如图，花丛中一根灯杆上有一盏路灯，灯光下，小明在点处的影长米，沿方向走到点，米，这时小明的影长米，如果小明的身高为米，求路灯离地面的高度．

24. 甲商品的进价为每件元，商场确定其售价为每件元．
    若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件元进行两次调价，已知该商品现价为每件元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；
    经调查，该商品每降价元，即可多销售件．已知甲商品售价元时，每月可销售件，若该商场希望该商品每月能盈利元，且尽可能扩大销售量，则该商品应定价为多少元？
25. 如图，点、点在直线上，反比例函数的图象经过点．

求和的值；

将线段向右平移个单位长度，得到对应线段，连接、．

如图，当时，过作轴于点，交反比例函数图象于点，求的值；

在线段运动过程中，连接，若是以为腰的等腰三角形，求所有满足条件的的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，符合反比例函数的定义，故此选项不符合题意；
B、，符合反比例函数的定义，故此选项不符合题意；
C、，符合反比例函数的定义，故此选项不符合题意；
D、，不符合反比例函数的定义，故此选项符合题意．
故选：．
形如为常数，的函数称为反比例函数，由此即可判断．
本题考查反比例函数的定义，解题的关键是记住反比例函数的定义，属于中考基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，
两边都除以得：，故本选项不符合题意；
B、，
两边都除以得：，故本选项符合题意；
C、，
两边都除以得：，故本选项不符合题意；
D、，
两边都除以得：，故本选项不符合题意；
故选：．
根据比例的性质进行变形，再判断即可．
本题考查了比例的性质，能熟练地运用比例的性质进行变形是解此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
当时，，故A选项不符合题意；
当时，，故B选项不符合题意；
当时，，故C选项不符合题意；
若，还需知道，
不能判定，故D选项符合题意，
故选：．
由图可得，又由有两角对应相等的两三角形相似，即可得与B正确，又由两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，即可得C正确，利用排除法即可求得答案．
此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握有两角对应相等的两三角形相似与两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似定理的应用．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，进而即可得出方程有两个不相等的实数根．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】：点、、都在反比例函数的图象上，；；，
，
．
故选：．
分别把各点代入反比例函数求出、、，的值，再比较出其大小即可．
本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．
 

6.【答案】 

【解析】解：点是线段的黄金分割点，且，
，
则，
故选：．
根据黄金比值是计算即可．
本题考查的是黄金分割，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割．
 

7.【答案】 

【解析】解：一月份的营业额为万元，平均每月增长率为，
二月份的营业额为，
三月份的营业额为，
可列方程为，
即．
故选：．
先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额万元，把相关数值代入即可．
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设的周长为，
∽，相似比为，
：：，
解得，．
故选：．
根据相似三角形周长的比等于相似比求解即可．
本题考查了相似三角形的性质，熟记性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，
根据矩形的性质可得：，，
又，
，
即：，
，
，，
，
设，则，，
，，
又在函数的图象上，
．
故选：．
由于点的坐标不能求出，但根据反比例函数的几何意义只要求出矩形的面积也可，依据矩形的性质发现，而可通过点转化为线段长而求得，再根据反比例函数的所在的象限，确定的值即可．
本题考查矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征以及灵活地将坐标与线段长的相互转化．
 

10.【答案】 

【解析】解：在▱中，，
又点是的中点，
，
，
∽，
，
，
，
；故正确；
，，
；故正确；
，
，
，故正确；
，而，
与不相似，故错误，
故选：．
根据相似三角形的判定和性质和平行四边形的性质，解答即可，
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：是反比例函数，
，
解之得．
故答案为：．
根据反比例函数的定义．即，只需令、即可．
本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式转化为的形式．
 

12.【答案】 

【解析】解：是关于的方程的一个根，
，即，
．
故答案为：．
根据方程的解得定义得，即，将其代入到原式可得答案．
本题主要考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，，，；
由于，则∽，得：
，即，
解得：，
故旗杆的高度为．
此题中，竹竿、旗杆以及经过竹竿和旗杆顶部的太阳光线正好构成了一组相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例即可求得旗杆的长．
本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，建立适当的数学模型来解决问题．
 

14.【答案】且 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：且．
故答案为：且．
利用二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】

【分析】
根据位似变换的性质、坐标与图形性质计算．
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
【解答】
解：以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，点的坐标为，
点的坐标为或，即或，
故答案为：或．  

16.【答案】或 

【解析】解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为米，宽为米，
可列方程为或，
故答案为或．
把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为列出方程即可．
考查列代数式；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的易错点．
 

17.【答案】或 

【解析】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数为常数且的图象上方时，的取值范围是：或，
不等式的解集是或，
故答案为：或．
根据一次函数图象在反比例函数图象上方的的取值范围便是不等式的解集．
本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：作，连接则，如图，
由可得，．
，
．
当时，，
所以，此时，故不合题意．
．
，
，即，
∽，
，即，
解得．
故答案是：．
构造相似三角形∽，对的取值分析进行讨论，在时，点在轴的负半轴，而此时，，不合题意；故由相似比求得边的相应关系．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，掌握分类讨论数学思想是解题关键．
 

19.【答案】解：，
．
，
，
，
，
，
．
，
，，，
，
，
，．
，
，
或，
，． 

【解析】将移项后可直接开方法
等式两边同时加后可以直接配方法
可得出，，，然后代入求根公式即可求出答案．
提取公因式即可求出答案．
本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用公式法、直接开方法、因式分解法以及配方法，本题属于基础题型．
 

20.【答案】解：如图所示：即为所求；

的各顶点坐标分别为：，，． 

【解析】利用位似图形的性质即可得出各对应点位置；
直接利用所画图形得出对应点坐标即可．
此题主要考查了利用位似变换作图，画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
 

21.【答案】解：，满足，
，，
，
把代入，
得，
一元二次方程的一个根是，
，又，，
，
关于的方程，
解得，． 

【解析】首先根据、满足的关系式，求出、的值，然后解出，最后解的方程．
本题综合考查了一元二次方程的解的概念以及二次根式有意义的条件，比较简单．
 

22.【答案】证明：四边形是正方形，
，；
又是中点，
；
，
，
，
又，
∽；

，且理由如下：
由知，∽，，
则，
；
∽，
，，
，
． 

【解析】在所要求证的两个三角形中，已知的等量条件为：，若证明两三角形相似，可证两个三角形的对应直角边成比例；
，且根据相似三角形的对应边成比例即可求得与的数量关系；根据相似三角形的对应角相等即可证得与的位置关系．
本题考查了相似三角形的判定与性质．相似三角形的对应边成比例、对应角相等．
 

23.【答案】解：，
∽，
，即，
，
∽，
，即，
由得，解得，
，解得．
答：路灯离地面的高度为． 

【解析】根据相似三角形的判定，由得∽，利用相似比有，同理可得，然后解关于和的方程组求出即可．
本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
 

24.【答案】解：设这种商品平均降价率是，依题意得：，
解得：，舍去；
答：这个降价率为；

设降价元，则多销售件，
根据题意得，
解得：舍去或，
所以元．
答：该商品在应定价为元． 

【解析】设调价百分率为，根据售价从原来每件元经两次调价后调至每件元，可列方程求解．
根据已知条件求出多售的件数，根据该商场希望该商品每月能盈利元列出方程，求解即可．
考查一元二次方程的应用．求平均变化率的方法为：若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
 

25.【答案】解：点在直线上，
，
，
直线的解析式为，
将点代入直线的解析式中，得，
，
，
将在反比例函数解析式中，得；
故，．

由知，，，反比例函数解析式为，
当时，
将线段向右平移个单位长度，得到对应线段，
，
即：，
轴于点，交反比例函数的图象于点，
，
，，
；

如图，将线段向右平移个单位长度，得到对应线段，

，，

，，
，，
是以为腰的等腰三角形，
Ⅰ、当时，
，
点在线段的垂直平分线上，
，
Ⅱ、当时，
，，
，
，
，
即：是以为腰的等腰三角形，满足条件的的值为或．

【解析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
先将点坐标代入直线的解析式中，求出，进而求出点坐标，再将点坐标代入反比例函数解析式中即可得出结论；
先确定出点，进而求出点坐标，进而求出，，即可得出结论；
先表示出点，坐标，再分两种情况：Ⅰ、当时，判断出点在的垂直平分线上，即可得出结论；Ⅱ、当时，先表示出，用建立方程求解即可得出结论．