2021-2022学年陕西省西安市新城区爱知中学七年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2021-2022学年陕西省西安市新城区爱知中学七年级（下）第一次月考数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 新型冠状病毒属于属的新型冠状病毒，有包膜，颗粒呈圆形或者椭圆形，常为多形性，一个病毒的直径约为，用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列各式计算结果为的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 下列运算，正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 计算的等于(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知，，则的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若那么代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 若，则(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

9. 计算的结果是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，点是线段上一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，设，两个正方形的面积之和，则阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 计算：______．
12. 是一个关于的完全平方式，则______．
13. 计算： ______ ．
14. 已知正方形的边长为，如果它的边长增加，那么它的面积增加______．
15. 定义，例如则的结果为______．
16. 如图，两个正方形的边长分别为，，若，，则阴影部分的面积为______．

三、解答题（本大题共6小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：
    利用乘法公式简便计算
     
18. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
19. 本小题分
    先化简，再求值：
    其中，．
20. 本小题分
    如果，满足，求的值．
21. 本小题分
    小明想把一张长为、宽为的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子，于是在长方形纸片的四个角各剪去一个相同的小正方形．
    
    若设小正方形的边长为，求图中阴影部分的面积；
    当时，求图中阴影部分的面积．
22. 本小题分
    当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如，由图，可得等式：．
    
    由图，可得等式：______．
    利用中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；
    利用图中的纸片足够多，画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
利用积的乘方的法则进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

2.【答案】 

【解析】解：，用科学记数法可表示为
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
利用平方差公式的结构特征判断即可得到结果．
本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用整式的除法的法则，多项式乘多项式的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：




，
故选：．
利用积的乘方的法则进行求解即可．
本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
．
故选：．
，代入，计算即可．
本题考查了同底数幂除法以及幂的乘方、积的乘方的运算法则，解题的关键是熟记法则并灵活运用．
 

7.【答案】 

【解析】解：原式
，
，
，
则原式

，
故选：．
原式利用多项式乘多项式、单项式乘多项式法则计算，然后合并同类项即可化简，再将代入计算即可．
本题主要考查整式的混合运算化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
 

8.【答案】 

【解析】解：

，
，
，，
，，
故选：．
先根据多项式与多项式相乘的法则计算，再根据等式的恒等性，列出等式，计算即可．
本题主要考查了多项式乘多项式的运算，掌握多项式与多项式相乘的法则，根据题意列出等式是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式

，
故答案为：．
原式化为的形式，再根据平方差公式、完全平方公式计算．
本题主要考查了多项式乘多项式的运算，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，平方差公式的应用是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设，，
四边形是正方形，
，
两正方形的面积和，
，
，
，
，
，
故选：．
由完全平方公式，求出与的积，即可求解．
本题考查完全平方公式，关键是应用此公式求出与的乘积．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
利用单项式乘多项式法则计算．
本题考查了整式的运算，掌握单项式乘多项式法则是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：是一个关于的完全平方式，
，
故答案为：
利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式



；
故本题答案为．
在原式前面乘以构造能用平方差公式的结构，连续使用平方差公式即可．
本题考查了平方差公式的运用，构造使用平方差公式的结构是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意可得，
．
故答案为：．
根据题意可得边长增加后边长为，即可得出计算即可得出答案．
本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式进行计算是解决本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：



．
故答案为：．
把相应的值代入新定义的运算，结合整式的运算法则进行求解即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

16.【答案】 

【解析】解：




，；
原式


故答案为：．
把阴影部分的面积转化成两个正方形的面积之和减去的面积再减去的面积，形成关于，的代数式，再逆用完全平方公式把代数式转化成与的形式，然后代入求值．
该题考查了不规则图形面积的求法与完全平方公式的逆用，解题的关键是把不规则图形面积转化为规则图形的面积减去规则图形的面积．
 

17.【答案】解：



；


；



；



 

【解析】利用平方差公式进行求解即可；
先算乘方，零指数幂，负整数指数幂，再算加减即可；
先算幂的乘方与积的乘方，再合并同类项即可；
先算积的乘方，再算单项式乘单项式，最后算整式的除法即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】解：

；




． 

【解析】先根据多项式乘多项式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可；
先根据完全平方公式进行计算，再合并同类项即可．
本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

19.【答案】解：原式

，
当、时，
原式

． 

【解析】先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将、的值代入计算即可．
本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
 

20.【答案】解：，
，
整理得：，
则，，
解得，，
则． 

【解析】先利用完全平方公式整理，再根据非负数的性质列方程求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
本题考查了配方法的应用，非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．
 

21.【答案】解：阴影部分的长为，宽为，
因此面积为，
答：图中阴影部分的面积为；
当时，，
答：当时，阴影部分的面积为． 

【解析】用代数式表示出阴影部分的长、宽即可；
把代入计算即可．
本题考查列代数式以及代数式求值，理解题目中的数量关系是正确解答的前提．
 

22.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：；
，，



；
如下图：

根据一个图形面积的两种计算方法求解；
利用中结论，变式代入求解；
根据等式找边长，画图形．
本题考查了因式分解的应用，数形结合思想和整体代入思想是解题的关键．