专题01 平行四边形 教材同步讲练-【高频考点】最新八年级数学下册高频考点专题突破（人教版）

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专题01 平行四边形 教材同步讲练知识点1.1平行四边形的定义与性质1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形2）平行四边形的高：一条边上任取一点作另一边的垂线，该垂线的长度称作平行四边形在该边上的高。3）平行四边形的性质讨论：边、角、对角线，有时还会涉及对称性。如下图，四边形ABCD是平行四边形：（1）性质1（边）： = 1 \* GB3 ①对边相等； = 2 \* GB3 ②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC（2）性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC（3）性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD注： = 1 \* GB3 ①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD（矩形的对角线才相等）；  = 2 \* GB3 ②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO（菱形对角线才平分角）（4）性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形。例1．（2021·四川乐山·八年级期末）已知是平行四边形，以下说法不正确的是（ ）A．其对边相等 B．其对角线相互平分 C．其对角相等 D．其对角线互相垂直变式1．（2021·四川宜宾·中考真题）下列说法正确的是（ ）A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分例2．（2021·广西三江·八年级期中）在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，那么∠B与∠A的度数之比为（ ）A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：1变式2．（2022·黑龙江·大庆市北湖学校八年级期末）下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．3：2：3：2例3．（2022·湖南长沙·九年级期末）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BC，的面积为48，OA＝3，则BC的长为（ ）A．6 B．8 C．12 D．13 变式3．（2022·黑龙江·大庆市北湖学校八年级期末）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC的长为_____．例4．（2021·广西·新地一中八年级期中）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是（ ）A．（7，3） B．（8，2） C．（3，7） D．（5，3）变式4．（2021·广东·深圳中学八年级期中）平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝OC＝，则点B的坐标为（　　）A．(，1) B．(1，) C．(＋1，1) D．(1，＋1)例5．（2021·广东·深圳市高级中学九年级期中）如图，在平行四边形 ABCD 中，BC＝2AB＝8，连接 BD，分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径作弧，两弧交于点E和点F，作直线EF交AD于点I，交BC于点H，点H恰为BC的中点，连接AH，则AH的长为（ ）A． B．6 C．7 D．4 变式5．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将沿AE折叠至处，与CE交于点F，若，，则的度数为（ ）A．40° B．36° C．50° D．45°例6．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB于E，在线段AB上，连接EF、CF．则下列结论：①∠BCD=2∠DCF；②∠ECF=∠CEF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF，其中一定正确的是（   ）A．②④ B．①②④  C．①②③④  D．②③④ 变式6．（2021·黑龙江·鸡西市第一中学校九年级期中）在平行四边形中，，于，于，， BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④例7．（2021·湖北·浠水县兰溪镇兰溪初级中学八年级期中）已知：在□ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF，EG，AG，∠1=∠2．（1）求证：G是CD的中点；（2）若CF=2，AE=3，求BE的长．变式7．（2021·江苏·开明中学九年级期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．点E恰是CD的中点．求证：（1）△ADE≌△FCE；（2）BE⊥AF．知识点1.2 平行四边形的判定定理平行四边形的判定，主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD：1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC。2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC。3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC。4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC。5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO。注： = 1 \* GB3 ①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）； = 2 \* GB3 ②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形。若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的。例1．（2021·山东东营市·八年级期末）下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（ ）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D．有两组对角相等的四边形是平行四边形变式1．（2021·广东·八年级课时练习）下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）A．两组对边分别平行 B．一组对边平行，另一组对边相等C．对角线互相平分 D．一组对边平行，一组对角相等例2．（2021·广东广州市·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）A．AB∥CD，AD∥BC B．AD∥BC，AB＝CD C．OA＝OC，OB＝OD D．AB＝CD，AD＝BC 变式2．（2021·湖北远安·八年级期末）如图四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）A．AB∥CD，∠DAC=∠BCA B．AB=CD，∠ABO=∠CDOC．AC=2AO，BD=2BO D．AO=BO，CO=DO例3．（2022·全国·八年级）四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（　　）A．若AO＝OC，则ABCD是平行四边形B．若AC＝BD，则ABCD是平行四边形C．若AO＝BO，CO＝DO，则ABCD是平行四边形 D．若AO＝OC，BO＝OD，则ABCD是平行四边形变式3．（2021·山东·宁津县教育和体育局教育科学研究所八年级期末）如图，在中，点，分别在边，上．若从下列条件中只选择一个添加到图中的条件中．那么不能使四边形是平行四边形的条件是（ ）A． B． C． D． 例4．（2021·北京·人大附中八年级阶段练习）已知点A(3，0)、B(﹣1，0)、C(2，3)，以A、B、C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标是_____．变式4．（2021·云南·昆明市第一中学西山学校九年级阶段练习）如图，在中，与交于点，点在上，cm，cm，，点是的中点，若点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动；点同时以2cm/s的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当点运动_____时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．例5．（2021·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校九年级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，，且分别交对角线于点E、F，连接ED、BF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AE＝EF，请直接写出图2中面积等于四边形ABCD的面积的的所有三角形．变式5．（2022·黑龙江肇源·八年级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．知识点1-3 三角形的中位线定理1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线）2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，则DE∥BCDE=12BC例1．（2021·山东潍坊市·八年级期末）如图，在中，是上一点，于点，点是的中点，若，则的长为（ ）A． B． C． D．变式1．（2021·河南·淅川县基础教育教学研究室九年级期中）如图，△ABC中，点M为BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D．延长BD交AC于点N．若AB＝4，DM＝1，则AC的长为（ ）A．5 B．6 C．7 D．8变式2．（2021·福建安溪·九年级期中）如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF的度数为（　　）A．25° B．30° C．35° D．50°例2．（2021·辽宁大东·九年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，BC＝14，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，BE，点M在CB的延长线上，连接DM，若∠MDB＝∠A，则四边形DMBE的周长为（ ）A．16 B．24 C．32 D．40变式3．（2021·长春市格致中学九年级期末）如图，有一块形状为△的斜板余料，∠＝90°，＝6，＝8，要把它加工成一个形状为□的工件，使在边BC上,、两点分别在边、上，若点是边的中点，则的面积为_________．变式4．（2021·江西抚州市·九年级期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，使CE＝CD，连接OE交BC于点F，若BC＝4，则CF＝_____．例3．（2021·江苏盐城市·八年级期末）如图，在中，，． （1）尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）①作的平分线交于点D；②作边的中点E，连接；（2）在（1）所作的图中，若，则的长为__________．变式5．（2021·山东烟台市·八年级期末）如图，在中，是边的中线，是的中点，连接并延长交于点．求证：．知识点1-4 矩形的定义及性质1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形注： = 1 \* GB3 ①矩形是特殊的平行四边形，平行四边形的性质，矩形都拥有； = 2 \* GB3 ②矩形的定义有2个要素：1个直角+平行四边形； = 3 \* GB3 ③有1个角是直角，根据平行四边形的性质，剩下的3个角也是直角。2）矩形的性质，依据从边、角、对角线、对称性进行讨论。在矩形的性质分析中，可衍生出一个重要的推论。如下图，四边形ABCD为矩形： 1）边（无特殊性质）： = 1 \* GB3 ①对边平行； = 2 \* GB3 ②对边相等（与平行四边形相同），即AD∥DC，AB∥DC；AD=BC，AB=DC2）角：四个角都是90°，即∠A=∠B=∠C=∠D=90°3）对角线： = 1 \* GB3 ①对角线相等； = 2 \* GB3 ②对角线相互平分，即AC=BD；AO=BO=CO=DO4）对称性：轴对称图形；中心对称图形5）重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即如下图，如∠A=90°，点O为斜边BC的中点，则AO=BC（或AO=OB=OC）例1．（2021·辽宁丹东市·九年级期末）如图，在和中，，，是的中点，连接，，，若，则的面积为（ ）A．12 B．12.5 C．15 D．24变式1．（2021·四川南充市·中考真题）如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，，则GH的长为________．变式2．（2021·陕西榆林市·九年级期末）如图，，矩形的顶点，分别在边，上，当点在边上移动时，点随之在边上移动，，，运动过程中，点到点的最大距离为______．例2．（2021·吉林松原市·前郭县一中九年级一模）如图所示，点是矩形的对角线的中点，点为的中点．若，，则的周长为（ ）A．10 B． C． D．14变式3．（2020·南通市初三月考）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为_____．例3．（2021·达州市·九年级期末）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个变式4．（2020·深圳市龙岗区布吉贤义外国语学校初三其他）如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC−CF=2HE．其中正确的结论有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例4．（2020·镇江市江南学校八年级月考）如图1将长方形纸片的一边沿着向下折叠，使点落在边上的点处．（1）试判断线段与的关系，并说明理由；（2）如图2，若，求的长；变式5．（2020·江苏苏州市·苏州草桥中学七年级月考）如图，在长方形中，，动点从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点停止运动，设点运动的时间为．（1）若在边上，求的取值范围；（2）是否存在这样的，使得三角形的面积？如果能，请求出的取值范围；如果不能，请说明理由．知识点1-5 矩形的判定矩形是特殊的平行四边形，常见的判定思路为：平行四边形+矩形的一个特殊性质，具体如下：1）判定方法1（定义）：平行四边形+1个角是90°，即四边形ABCD是平行四边形∠BAD=90°2）判定方法2（角）：有3个角是直角的四边形，即∠BAB=∠ABC=∠BCD=90°3）判定方法3（对角线）：平行四边形+对角线相等，即四边形ABCD是平行四边形AC=BD注： = 1 \* GB3 ①判定方法2也是按照平行四边形+矩形特殊性质的思路进行的，其中3个角为直角，首先可以推导出四边形为平行四边形，又有角是90°，所以是矩形。判定方法2是判定方法1的拓展。 = 2 \* GB3 ②判定方法3还可以拓展为：对角线相等且相互平分的四边形为矩形。例1．（2020·江苏无锡市·九年级月考）下列命题中，是真命题的是（　　）A．四条边相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形C．四个角相等的四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形变式1．（2020·江苏南京市·八年级期中）下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）A．∠A＝∠C B．∠A＝∠B C．AC＝BD D．AB⊥BC变式2．（2020·山西省初三期中）数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角 D．测量三个角是否为直角例2．（2021·广东河源市·九年级期末）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（ ）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD变式3．（2020·江苏省泰兴市初三期中）如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是( )A． B． C． D．变式4．（2020·江苏徐州市·八年级月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的长的最小值是(　　)A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．2例3．（2021·辽宁丹东市·九年级期末）如图，是的中线，，且，连接，．（1）求证：（2）当满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由．变式5．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，点C是的中点，四边形是平行四边形．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）如果，求证：四边形是矩形．知识点1-6菱形的定义与性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形。注： = 1 \* GB3 ①菱形为特殊平行四边形； = 2 \* GB3 ②两要素：平行四边形+邻边相等（2）菱形的性质，依据从边、角、对角线、对称性进行讨论。在菱形的性质分析中，可推导出一个面积公式。如下图，四边形ABCD为菱形形：1）边： = 1 \* GB3 ①四条边都相等； = 2 \* GB3 ②对边平行，即AB=BC=CD=DA，AB∥CD，BC∥AD2）角（无特殊性质）：对角相等（与平行四边形相同），即∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC3）对角线： = 1 \* GB3 ①对角线相互垂直； = 2 \* GB3 ②对角线平分对角； = 3 \* GB3 ③对角线相互平分，即AC⊥BD；∠BAC=∠CAD，∠ABD=∠CBD；AO=OC，BO=OD4）对称性：轴对称图形；中心对称图形5）菱形的面积：对角线乘积的一半，即S菱形ABCD＝×AC×BD6）推论：任意一个对角线相互垂直的四边形面积都等于两条对角线乘积的一半。例1．（2021·陕西西安市第三中学九年级期末）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）A．中心对称图形 B．对边分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等变式1．（2021·江苏南通田家炳中学初三期中）下列说法中错误的是（ ）A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线相等的矩形是菱形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形例2．（2021·陕西宝鸡市·九年级期末）如图， 菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB=6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（　　）A．4 B．4.5 C．8 D．9变式2．（2021·黑龙江哈尔滨市·九年级期末）如图，菱形的边长为10，对角线的长为16，点，分别是边，的中点，连接并延长与的延长线相交于点，则的长为________．例3．（2020·江苏南通市·八年级期末）如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝48°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO＝_____度．变式3．（2020·浙江上虞初三期末）如图，在菱形中，于点，点恰好为的中点，则菱形的较大内角度数为（ ）A．100° B．120° C．135° D．150°例4．（2021·山东济南市·九年级期末）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P不与写B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连结EF，则EF的最小值等于__________．变式4．（2020·江苏盐城市·八年级月考）如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为 (　 )A． B． C． D．例5．（2020·浙江杭州市·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE⊥AB，连结CE．（1）求证：∠ECB＝90°；（2）若AE═ED＝1时，求菱形的边长．变式5．（2021·浙江九年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，（1）若∠BAE=30°，AE=3，求菱形ABCD的周长．（2）作AF⊥CD于点F，连接EF，BD，求证：EF∥BD．（3）设AE与对角线BD相交于点G，若CE=4，BE=8，四边形CDGE和AGD的面积分别是S1和S2，求S1﹣S2的值．知识点1-7 菱形的判定菱形是特殊的平行四边形，常见的判定思路为：平行四边形+菱形的一个特殊性质，具体如下：1）判定方法1（定义）：平行四边形+1组邻边相等;2）判定方法2（边）：四条边相等的四边形;3）判定方法3（对角线）：平行四边形+对角线相互垂直;4）判定方法4（对角线）：平行四边形+对角线平分角顶角;注： = 1 \* GB3 ①判定方法2也是按照平行四边形+菱形特殊性质的思路进行的，其中四条边相等，即对边相等，首先可以推导出四边形为平行四边形，又有邻边相等，所以是菱形。判定方法2是判定方法1的拓展。 = 2 \* GB3 ②判定方法3还可以拓展为：对角线相互垂直且平分的四边形为菱形。例1．（2020·江苏苏州市·八年级期末）已知平行四边形，下列条件中，能判定这个平行四边形为菱形的是（ ）A． B． C． D．变式1．（2020·江苏常州市·八年级期末）如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是______．例2．（2021·山东威海市·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条件是（ ）A． B． C． D．DE平分变式2．（2021·北京中考真题）如图，在矩形中，点分别在上，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是______________（写出一个即可）．例3．（2021·广东佛山市·九年级期末）如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DEBC交AB于点E，DFAB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．变式3．（2021·辽宁沈阳市·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，过点A作AEBC，过点D作DEAB，DE与AC，AE分别交于点O，E，连接EC．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AB＝AO，OD＝1，则菱形ADCE的周长为　 　．变式4．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．（1）求证：AE＝CF；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．知识点1-8正方形的定义与性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形注： = 1 \* GB3 ①正方形是特殊平行四边形，特殊矩形，特殊菱形。三者性质正方形都满足； = 2 \* GB3 ②正方形：平行四边形+邻边相等（菱形特征）+一个直角（矩形特征）（2）正方形的性质，依据从边、角、对角线、对称性进行讨论。正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形，故平行四边形、矩形、菱形的性质正方形都满足。如下图，四边形ABCD为正方形：1）边： = 1 \* GB3 ①四条边相等； = 2 \* GB3 ②对边平行，即AB=BC=CD=DA；AB∥CD，AD∥BC2）角：四个角都是90°，即∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°3）对角线： = 1 \* GB3 ①对角线相互平分； = 2 \* GB3 ②对角线相等； = 3 \* GB3 ③对角线相互垂直； = 4 \* GB3 ④对角线平分对角，即AO=OC=OB=OD；AC⊥BD；∠BAO=∠DAO4）对称性：轴对称图形；中线对称图形例1．（2021·广东·连南瑶族自治县教师发展中心九年级期中）下列命题正确的是（ ）．A．对角线相等的平行四边形是菱形 B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C．矩形的对角线互相垂直 D．顺次连接菱形各边中点，所得的四边形是矩形变式1．（2020·江苏兴化初三期中）下列说法中，错误的是( )A．平行四边形的对角线互相平分 B．菱形的对角线互相垂直C．矩形的对角线相等 D．正方形的对角线不一定互相平分例2．（2021·重庆中考真题）如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则的度数为（ ）A．60° B．65° C．75° D．80° 变式2．（2020·江苏仪征初三一模）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E为对角线AC上一点，EF⊥DE交AB于F，若四边形AFED的面积为4，则四边形AFED的周长为______．例3．（2020·张家港市梁丰初级中学初三期中）如图，在正方形中，对角线与相交于点，为上一点，，为的中点．若的周长为18，则的长为________．变式3．（2021·重庆中考真题）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O做ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）A．1 B． C．2 D．例4．（2020·辽宁新宾初三期中）将五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点、、、分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为___________．变式4．（2021·浙江温州市·中考真题）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值为（ ）A． B． C． D． 例5．（2021·四川·隆昌市知行中学九年级期中）如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE，DF分别是与的角平分线，AE的延长线与DF相交于点G，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（　　）个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式5．（2021·陕西·咸阳市九年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，，CE交BO于点E，过点B作，垂足为F，交AC于点G．现给出下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个知识点1-9 正方形的判定正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形，常见的判定思路为： = 1 \* GB3 ①平行四边形+矩形的一个特殊性质+菱形的一个特殊性质； = 2 \* GB3 ②矩形+菱形的一个特殊性质； = 3 \* GB3 ③菱形+矩形的一个特殊性质。 如下，仅列举几种方法：1）判定方法1（定义）：平行四边形+1个90°角+1组邻边相等，即四边形ABCD是平行四边形∠BAD=90°AB=BC2）判定方法2（从菱形出发）：菱形+1个90°角，即四边形ABCD是菱形∠BAD=90°3）判定方法3（从矩形出发）：矩形+1组邻边相等，即四边形ABCD是矩形AB=BC例1．（2021·山西运城市·九年级期末）下列说法正确的是（ ）A．有一个角是直角的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．有一组邻边相等的菱形是正方形 D．各边都相等的四边形是正方形变式1．（2021·山东省青岛实验初级中学九年级阶段练习）下列说法正确的有（ ）①有一组邻边相等的矩形是正方形 ②对角线互相垂直的矩形是正方形②有一个角是直角的菱形是正方形 ④对角线相等的菱形是正方形A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例2．（2020·辽宁顺城初三期末）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）A．①② B．②③ C．①③ D．②④变式2．（2021·山东城阳·九年级期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，从下列条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中，选出其中两个，使平行四边形ABCD变为正方形．下面组合错误的是（　　）A．①② B．①③ C．③④ D．①④变式3．（2021·广东·梅州市梅县区富力足球学校九年级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（ ）A．BD=AB B．DC=AD C．∠ABC=90° D．OD=OC例3．（2021·泸县·八年级期末）如图，点D为的边BC的中点，过点A作，且，连接DE，CE．（1）求证：；（2）若，判断四边形ADCE的形状，并说明理由；（3）若要使四边形ADCE为正方形，则应满足什么条件？（直接写出条件即可，不必证明）．变式4.（2020·山东高唐初三期末）如图，已知平行四边形中，对角线，交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求证：四边形是正方形．变式5．（2020·广东潮安初三期末）如图，在正方形中，动点在上，，垂足为，．（1）求证：；（2）当点运动到的中点时（其他条件都保持不变），四边形是什么特殊四边形？请说明，理由．知识点1-10 特殊的平行四边形的联系与区别1）平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系如下图：2）四边形的相互转换：例1．（2021·四川·成都教育科学研究院附属学校九年级期中）下列判断正确的是（ ）A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形变式1．（2020·云南曲靖初三期末）下列命题中正确的是（ ）A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是矩形C．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D．两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形变式2．（2020·广西八步初三期末）在学习“四边形”一章时，小明的书上有一图因不小心被滴上墨水(如图)，看不清所印的字，请问被墨迹遮盖了的文字应（ ）A．等边三角形 B．四边形 C．菱形 D．以上都不是例2．（2020·广东新丰初三期中）如图，在△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，F是BC中点，请填空：（1）四边形BDEF是　 　四边形；（2）若四边形BDEF是菱形，则△ABC满足的条件是　 　．（3）若四边形BDEF是矩形，则△ABC满足的条件是　 　．（4）若四边形BDEF是正方形，则△ABC满足的条件是　 　．并就（2）、（3）、（4）中选取一个进行证明．变式3．（2020·重庆梁平初三期末）如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中，不正确的是（　　）A．四边形AEDF是平行四边形 C．如果AD平分∠EAF，那么四边形AEDF是菱形 B．如果AD＝EF，那么四边形AEDF是矩形 D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形变式4．（2020.绵阳市初二期中）如图，在平行四边形中，对角线交于点，并且，点是边上一动点，延长交于点，当点从点向点移动过程中（点与点，不重合），则四边形的变化是（ ）A．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形C．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形D．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形