2022-2023学年山东省菏泽市成武一中实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省菏泽市成武一中实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省菏泽市成武一中实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）如图所示，矩形的长为，宽为，在它的内部有一个矩形，设与之间的距离、与之间的距离都为，与之间的距离、与之间的距离都为当，满足时，矩形∽矩形．(    )
A.  B.  C.  D. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则它们位似中心的坐标是(    )A.
B.
C.
D. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为米，半径长为米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是(    )
 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米如图，四边形为的内接四边形，已知，则(    )
 A.  B.  C.  D. 下列说法，正确的是(    )A. 一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三边的距离相等
B. “若，则”的逆命题是真命题
C. 在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中有一个内角大于三角函数、、之间的大小关系是(    )A.  B.
C.  D. 如图，四边形的对角线、相交于，，，则这个四边形的面积是(    )
 A.  B.  C.  D. 如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标为、、，则外接圆的圆心坐标是(    )
A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）如图，与位似，位似中心是点，则：：，的面积为，则的面积是______．
 为培养学生动手实践能力，学校七年级生物兴趣小组在项目化学习“制作微型生态圈”过程中，设置了一个圆形展厅．如图，在其圆形边缘上的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了观察到展厅的每个位置，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器______台．
 如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点若，，则的长为______．
顶角为的等腰三角形腰长为，则它的外接圆的直径______ ．如图，已知、在以为直径的上，若，则的度数是______．
 如图，已知四边形是边长为的正方形，点，分别是，的中点，与相交于点，连接，交于点，则的长为______．
 如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，画出一个三角形，使它与的相似比为．
  三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）计算：． 四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分如图，在中，，若≌，且点在上，点在上，与交于点．求证：∽． 本小题分
观察以下等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；

按照以上规律，解决下列问题：
写出第个等式：______；
写出你猜想的第取正整数个等式：______用含的等式表示，并验证等式的正确性．本小题分
阅读下列材料：
在中，、、所对的边分别为、、，求证：．
证明：如图，过点作于点，则：
在中，
在中，

根据上面的材料解决下列问题：
如图，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；
为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．结果保留根号．参考数据：，
 本小题分
如图，为的直径，弦于，点在的延长线上，交于．
求证：；
若，试求的半径．
本小题分
海洋安全预警系统为海洋安全管理起到了巨大作用，某天海洋监控中心收到信息，在的北偏西方向的海里的处，疑似有海盗船在沿方向行驶，在的北偏西方向上，监控中心向正西方向的处海警船发出指令，海警船立即从出发沿方向行驶，在距离为海里的处拦截到该可疑船只．
求点到直线的距离；
若海警船的速度是海里小时，那么海警船能否在小时内拦截到可疑船只？请说明理由．结果保留一位小数，参考数据：
本小题分
小明对某塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点处放一平面镜，从处沿方向后退米到点处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点，再将平面镜沿方向继续向后移动米放在处即米，从点处向后退米，到达点处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点、已知小明眼睛到地面的距离米，请根据题中提供的相关信息，求出小雁塔的高度平面镜大小忽略不计
本小题分
已知：对于锐角满足，求的值；
如图，中，，，延长到，使，连接，请利用这个图形求的值．
本小题分
如图，在等腰和等腰中，，，，为的中点，为的中点，连接，，．
若，求的长度；
若将绕点旋转到如图所示的位置，请证明，；
如图，在绕点旋转的过程中，再将绕点逆时针旋转到，连接，若，请直接写出的最大值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：矩形的长为，宽为，
，
设与之间的距离、与之间的距离都为，与之间的距离、与之间的距离都为，
，，
矩形∽矩形，
，
，
，
故选：．
先表示出，，再根据相似矩形得出比例式，即可求出答案．
此题主要考查了相似矩形的性质，表示出，是解本题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：如图所示，点即为所求，

故选：．
如图，过点、作直线，点、作直线，点、作直线，三条直线相交于一点，则点即为所求．
本题考查了作图位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】【分析】
本题考查垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
连接交于点利用垂径定理以及勾股定理求出，可得结论．
【解答】
解：连接交于点．

由题意，
米，
在中，米，
米，
故选：．  4.【答案】 【解析】【分析】
本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
根据圆内接四边形的性质求出的度数，根据圆周角定理计算即可．
【解答】
解：
四边形为的内接四边形，，
，
，
由圆周角定理得，，
故选：．  5.【答案】 【解析】解：、一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，故本选项说法错误，不符合题意；
B、“若，则”的逆命题是若，则，是假命题，例如，而，故本选项说法错误，不符合题意；
C、在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，本选项说法正确，符合题意；
D、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：．
根据线段垂直平分线的性质、有理数的乘方、角平分线的性质定理、反证法的应用解答．
本题考查的是命题的真假判断，掌握线段垂直平分线的性质、有理数的乘方、角平分线的性质定理、反证法的应用是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：，且正弦随角度的增大而增大，
，
又，
，
故选：．
根据锐角三角函数的增减性可得答案．
本题主要考查了锐角三角函数的增减性，明确正弦和正切随着角度的增大而增大是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：如图，过、分别作于，于，则．
在中，，
，
在中，，
．
，







．
故选：．
过、分别作于，于，则解，求出，解，求出根据，代入数据计算即可．
本题考查了解直角三角形，锐角三角函数，将四边形的面积转化为两个三角形的面积之和是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：连接、，分别作、的垂直平分线，两条垂直平分线交于点，
则点为外接圆的圆心，
由题意得：点的坐标为，即外接圆的圆心坐标是，
故选：．
根据三角形的外心的概念作出外心，根据坐标与图形性质解答即可．
本题考查的是三角形的外接圆与外心、坐标与图形性质，掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：与位似，
∽，，
∽，
，
与的面积比为；，
的面积为，
的面积是，
故答案为：．
根据位似图形的概念得到∽，，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：由题意可知，一台监视器所对应的弧的角度为：，
，
至少需要台．
故答案为：．
根据监控角度可推出该角对应的弧的度数，而圆的度数是度，由此可求出最少需要多少台这样的监视器．
本题主要考查圆的圆周角定理，利用监控角度得到该弧所对的角是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：连接，交于点，

，是斜边上的中线，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，交于点，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，再根据已知可知是的垂直平分线，从而可得，进而可得，然后可得，从而证明∽，进而可得，最后利用等角的余角相等可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义和勾股定理求出，的长，从而求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：如图；中，，；
易知；
又，
是等边三角形；
；
故等腰三角形的外接圆直径是．
由于等腰三角形的顶角为，则每条腰都与三角形外接圆的半径构成一个等边三角形，由此可求出其外接圆的半径和直径．
此题主要考查了等腰三角形的性质，以及三角形外接圆半径的求法．
 13.【答案】 【解析】解：为的直径，
，
，
，
．
故答案为：．
由为的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得，又由，即可求得的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得的度数．
此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握直径所对的圆周角等于直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：取线段的中点，连接，
点为线段的中点，
是的中位线，
，，
点，分别是，的中点，四边形是边长为的正方形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，，
∽，
，
即，
解得，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据题意和题目中的数据，理由勾股定理可以求得和的长，根据相似三角形的判定和性质可以得到的长，然后即可求得的长．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 15.【答案】解：如图即为所求．
 【解析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
 16.【答案】解：原式

． 【解析】代入特殊角三角函数值，然后先算乘法，再算加减．
本题考查二次根式的混合运算，特殊角三角函数值，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
 17.【答案】证明：，
，
≌，

又，
，
∽． 【解析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练根据题意得出相等的角是解题关键．
首先得出，进而得出，即可得出答案．
 18.【答案】  【解析】解：第个等式为：，
故答案为：；
，
证明：左边





．
右边，左边右边，
原等式成立．
故答案为：．
根据所给的等式的形式进行求解即可．
分析所给的等式的形式，总结出规律，再对等式的左边进行整理即可．
本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是对由所给的等式总结出存在的规律．
 19.【答案】证明：如图，过点作于点，
在中，，
在中，，
，
；
解：如图，过点作于点，
，，
，
在中，，
又，
即，
，
 【解析】根据题目提供的方法进行证明即可；
根据的结论，直接进行计算即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．
 20.【答案】证明：，
，
，
，
，
；

解：连接，设的半径为，

为直径，，
，
，
，，
在中，，
，解得，
的半径为． 【解析】根据垂径定理可得，则，等边对等角得，根据圆内接四边形的性质得，则可证得结论；
连接，设的半径为，根据垂径定理可得，在中，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，熟记性质及定理是解题的关键．
 21.【答案】解：过点作于点，如图．
由题意得：，，
，
海里．
答：点到直线的距离是海里；

海警船能否在小时内拦截到可疑船只，
理由：在中，海里，海里，
海里，
，
在中，，
，
，
，
，
，
海里，
海警船的速度是海里小时，
，
答：海警船能否在小时内拦截到可疑船只． 【解析】过点作于点，如图．根据题意得到，，根据直角三角形的性质即可得到结论；
根据勾股定理得到海里，解直角三角形想即可得到结论．
本题考查解直角三角形的应用方向角问题，涉及含角的直角三角形、勾股定理等知识，是重要考点，难度适中，准确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
 22.【答案】解：根据题意得，，
∽，
，即；
，，
∽，
，即，
由得，
解得，
，
解得，
答：小雁塔的高度为米． 【解析】关键相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用：解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，然后利用相似三角形的性质进行几何计算．
 23.【答案】解：




，
的值为；
设，
，，
，
，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
在中，，
的值为． 【解析】根据，进行计算即可解答；
设，在中，利用含度角的直角三角形的性质求出，的长，从而求出的长，然后根据三角形的外角和等腰三角形的性质可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，含度角的直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 24.【答案】解：在等腰中，，，，
，，
点为的中点，
，
在等腰中，，，，
，
在中，，，，
；
证明：如图，

延长至，使，连接，，，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，；
如图，

取的中点，连接，，将逆时针旋转至，连接，
，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，，
≌，
，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
连接并延长交于，当在点时，最大，
作于，
在中，，，
，，
，
．
即的最大值． 【解析】在等腰直角三角形中求出的长，在等腰直角三角形中求出，再利用勾股定理求出即可；
延长至，使，连接，，，先证明≌，从而证得≌，进一步命题得证；
取的中点，连接，，将逆时针旋转至，连接，可证得≌，进而得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接并延长交于，当在点时，最大，然后解和，进而求得结果．
本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，三角形中位线性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．