2021-2022学年湖北省武汉市武昌区拼搏联盟九年级（上）期中数学试卷

2021-2022学年湖北省武汉市武昌区拼搏联盟九年级（上）期中数学试卷

一、单选题（本大题共小10题，每小题3分，共30分）

1．（3分）方程4x2+5x＝81化成一般形式后，它的二次项系数和常数项分别是（　　）

A．4，5 B．4，﹣5 C．4，81 D．4，﹣81

2．（3分）在以下”绿色食品、响应环保、可回收物、节水“四个标志图案中，是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

3．（3分）关于x的方程x2﹣4x+m+2＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（　　）

A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣5

4．（3分）将二次函数yx2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所的图象的解析式为（　　）

A．y（x﹣1）2+3 B．y（x+1）2+3 

C．y（x﹣1）2﹣3 D．y（x+1）2﹣3

5．（3分）“双十一”即指每年的11月11日，是指由电子商务代表的在全中国范围内兴起的大型购物促销狂欢日．2017年双十一淘宝销售额达到1682亿元．2019年双十一淘宝交易额达2684亿元，设2017年到2019年淘宝双十一销售额年平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）

A．1682（1+x）＝2684 

B．1682（1+2x）＝2684 

C．1682（1+x）2＝2684 

D．1682（1+x）+1682（1+x）2＝2684

6．（3分）抛物线y＝﹣2x2+8x﹣8的对称轴是（　　）

A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝4 D．x＝﹣4

7．（3分）不解方程，判断方程3x2﹣6x﹣2＝0的根的情况是（　　）

A．无实数根 B．有两个相等的实数根 

C．有两个不相等的实数根 D．以上说法都不正确

8．（3分）已知二次函数y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0）图象上三点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）

A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3

9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）中的x与y的部分对应值如表：

当n＜0时，下列结论中一定正确的有（　　）个．

①abc＜0；②若点（﹣2，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；③n＜4a；④对于任意实数t，总有4（at2+bt）≤9a+6b．

A．1 B．2 C．3 D．4

10．（3分）如图，点E是菱形ABCD的对角线BD上一动点，将AE绕点A逆时针旋转30°至点F，连接CF、DF，若∠ABC＝60°，AB＝2，设△CDF的面积为S，则关于S说法正确的是（　　）

A．S1 B．S C．1≤S D．S

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）点M（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是　   　．

12．（3分）已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 　   　．

13．（3分）如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2：1，彩条所占的面积是图案面积的，如果设竖彩条宽度为xcm，则可以列出一元二次方程为 　   　．

14．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC'，使点C的对应点C'恰好落在边AB上，则∠CAA'的度数是　   　．

15．（3分）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式为y＝60tt2，飞机着陆至停下来期间的最后10s共滑行 　   　m．

16．（3分）如图，等边三角形ABC内有一点P，已知∠APB＝113°，∠APC＝125°，则以AP，BP，CP为边构成的三角形中最大内角的度数为 　   　．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17．（8分）解方程：

（1）x2﹣5x+4＝0；

（2）x2+x﹣1＝0．

18．（8分）若a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣15＝0的两个实数根，求代数式，a2b+ab2的值．

19．（8分）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手．

（1）若参加聚会的人数为6，则共握手　   　次，若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手　   　次；

（2）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数；

（3）小明由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A、B），线段总数为多少呢？请直接写出结论．

20．（8分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，5），B（﹣5，2），C（﹣3，4）．

（1）画出△ABC关于原点O对称的图形△A1B1C1，并直接写出A1点的坐标；

（2）将△ABC绕B点顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2并直接写出A2点的坐标；

（3）已知△A2B2C2可以看作由△A1B1C1绕点P逆时针旋转90°得到的图形，直接写出点P的坐标．

21．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3．

（1）若﹣3≤x≤3，则y的取值范围为　   　（直接写出结果）；

（2）若﹣8≤y≤﹣3，则x的取值范围为　   　（直接写出结果）；

（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．

22．（10分）某网店经营一种热销的小商品，若该商品的售价为每件25元，第x天（x为正整数）的每件进价为y元，y与x的对应关系如下（为所学过的一次函数或二次函数中的一种）：

（1）直接写出y与x的函数关系式；

（2）统计发现该网店每天卖掉的件数m＝4x+20，设该店每天的利润为w元；

①求该店每天利润的最大值；

②若该店每卖一件小商品就捐n元给某慈善组织（n＞0），该店若想在第5天获得最大利润，求n的取值范围．

23．（10分）如图1，已知Rt△ABC≌Rt△DCE，∠B＝∠D＝90°，BC＝2AB．

（1）若AB＝2，求点B到AC的距离；

（2）当Rt△DCE绕点C顺时针旋转，连AE，取AE中点H，连BH，DH，如图2，求证：BH⊥DH；

（3）在（2）的条件下，若AB＝2，P是DE中点，连接PH，当Rt△DCE绕点C顺时针旋转的过程中，直接写出PH的取值范围．

24．（12分）如图1，抛物线G：yx2+bx+c经过点B（6，0），顶点为A，对称轴为直线x＝2．

（1）求抛物线G的解析式；

（2）若点C为直线AB上方的抛物线上的动点，当△ABC面积最大时，求C点的坐标；

（3）如图2，将抛物线G向左平移至顶点在y轴上，平移后的抛物线G'与x轴交于点E、F，平行于x轴的直线l经过点（0，8），若点P为x轴上方的抛物线G'上的动点，分别连接EP、FP，并延长交直线l于M、N两点，若M、N两点的横坐标分别为m、n，试探究m、n之间的数量关系．

2021-2022学年湖北省武汉市武昌区拼搏联盟九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题（本大题共小10题，每小题3分，共30分）

1．（3分）方程4x2+5x＝81化成一般形式后，它的二次项系数和常数项分别是（　　）

A．4，5 B．4，﹣5 C．4，81 D．4，﹣81

【解答】解：方程4x2+5x＝81化成一般形式后为4x2+5x﹣81＝0，

则它的二次项系数是4，常数项为﹣81，

故选：D．

2．（3分）在以下”绿色食品、响应环保、可回收物、节水“四个标志图案中，是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：A、不是中心对称图形．故错误；

B、是中心对称图形．故正确；

C、不是中心对称图形．故错误；

D、不是中心对称图形．故错误．

故选：B．

3．（3分）关于x的方程x2﹣4x+m+2＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（　　）

A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣5

【解答】解：设方程的另一个根为a，

根据题意得：﹣1+a＝4，

解得：a＝5．

故选：C．

4．（3分）将二次函数yx2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所的图象的解析式为（　　）

A．y（x﹣1）2+3 B．y（x+1）2+3 

C．y（x﹣1）2﹣3 D．y（x+1）2﹣3

【解答】解：将二次函数yx2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，所得图象的函数表达式是 y（x﹣1）2+3，

故选：A．

5．（3分）“双十一”即指每年的11月11日，是指由电子商务代表的在全中国范围内兴起的大型购物促销狂欢日．2017年双十一淘宝销售额达到1682亿元．2019年双十一淘宝交易额达2684亿元，设2017年到2019年淘宝双十一销售额年平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）

A．1682（1+x）＝2684 

B．1682（1+2x）＝2684 

C．1682（1+x）2＝2684 

D．1682（1+x）+1682（1+x）2＝2684

【解答】解：如果设从2017年到2019年年平均增长率为x，

那么根据题意得今年为1682（1+x）2，

列出方程为：1682（1+x）2＝2684．

故选：C．

6．（3分）抛物线y＝﹣2x2+8x﹣8的对称轴是（　　）

A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝4 D．x＝﹣4

【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+8x﹣8，

∴该抛物线的对称轴是直线x2，

故选：A．

7．（3分）不解方程，判断方程3x2﹣6x﹣2＝0的根的情况是（　　）

A．无实数根 B．有两个相等的实数根 

C．有两个不相等的实数根 D．以上说法都不正确

【解答】解：∵a＝3，b＝﹣6，c＝﹣2，

∴Δ＝b2﹣4ac＝36+24＝60＞0，

∴一元二次方程有两个不相等的实数根．

故选：C．

8．（3分）已知二次函数y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0）图象上三点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）

A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3

【解答】解：∵y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0），

∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x，

∴当x时，y随x的增大而减小，

∵点A（﹣1，y1）关于对称轴的对称点是（，0），而12，

∴y3＜y1＜y2．

故选：B．

9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）中的x与y的部分对应值如表：

当n＜0时，下列结论中一定正确的有（　　）个．

①abc＜0；②若点（﹣2，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；③n＜4a；④对于任意实数t，总有4（at2+bt）≤9a+6b．

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：①∵n＜0，由图表中数据可得出二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x1.5，

∴a＜0，b＞0，

又∵x＝0时，y＝3，

∴c＝3＞0，

∴abc＜0，故①正确；

②∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝1.5，

∴点C（﹣2，y1）到对称轴的距离大于D（π，y2）到对称轴的距离，

∴y1＜y2，故②正确；

③∵c＝3，

∴二次函数y＝ax2+bx+3，

∵当x＝﹣1时，y＝n，

∴a﹣b+3＝n，

∵1.5，

∴b＝﹣3a，

∴a+3a+3＝n，

∴4a＜n，故③错误；

④∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝1.5，

∴对于任意实数t，at2+bt+cab+c，

∴4（at2+bt）≤9a+6b，故④正确．

故选：C．

10．（3分）如图，点E是菱形ABCD的对角线BD上一动点，将AE绕点A逆时针旋转30°至点F，连接CF、DF，若∠ABC＝60°，AB＝2，设△CDF的面积为S，则关于S说法正确的是（　　）

A．S1 B．S C．1≤S D．S

【解答】解：如图，过F作MN⊥AB交BA的延长线于M，交CD于点N，过D作DH⊥BA交BA的延长线于H，过A作AG⊥BD于G，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AB＝2，

∴∠ABD＝30°，AB＝CD＝2，BD＝2，CD∥AB，

∴∠HAD＝60°，

∴AH，DH，

∵过F作MN⊥AB交BA的延长线于M，交CD于点N，过D作DH⊥BA交BA的延长线于H，

∴四边形DHMN是矩形，

∴DH＝MN，

∵将AE绕点A逆时针旋转30°至点F，

∴∠EAF＝∠ABD＝30°，AE＝AF，

∵∠BAF＝∠BAE+∠EAF，

∠AED＝∠BAE+∠ABD，

∴∠BAF＝∠AED，

∵过A作AG⊥BD于G，

∴∠AMF＝∠AGE＝90°，

∴△AMF≌△EGA（AAS），

∴FM＝AG，

∵S，

∴S，

∴FM＝AG＝1，

∴FN＝MN﹣FM，

∵CD∥AB，MN⊥AB于M，

∴MN⊥CD，

∴S＝S，

故选：A．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）点M（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是　（﹣1，4）　．

【解答】解：M（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，4），

故答案为：（﹣1，4）．

12．（3分）已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 　k≤0且k≠﹣1　．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，

∴，

解得：k≤0且k≠﹣1．

故答案为：k≤0且k≠﹣1．

13．（3分）如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2：1，彩条所占的面积是图案面积的，如果设竖彩条宽度为xcm，则可以列出一元二次方程为 　（30﹣2x）（20﹣4x）＝30×20×（1）　．

【解答】解：设竖彩条的宽为xcm，则横彩条的宽为2xcm，则

（30﹣2x）（ 20﹣4x）＝30×20×（1），

故答案为：（30﹣2x）（ 20﹣4x）＝30×20×（1）．

14．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC'，使点C的对应点C'恰好落在边AB上，则∠CAA'的度数是　120°　．

【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，

∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°．

∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，

∴∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，

∴∠BAA′＝∠BA′A（180°﹣40°）＝70°，

∴∠CAA'＝∠CAB+∠BAA′＝50°+70°＝120°．

故答案为：120°．

15．（3分）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式为y＝60tt2，飞机着陆至停下来期间的最后10s共滑行 　120　m．

【解答】解：∵y＝60tt2（t﹣25）2+750，

∴当t＝25时，飞机停下来并滑行750m，

把t＝25﹣10＝15代入y＝60tt2得y＝60×15152＝630，

∴750﹣630＝120（m）．

故答案为：120．

16．（3分）如图，等边三角形ABC内有一点P，已知∠APB＝113°，∠APC＝125°，则以AP，BP，CP为边构成的三角形中最大内角的度数为 　65°　．

【解答】解：如图，将△APC绕点A顺时针旋转60°的△AQB，则△AQB≌△APC，

∴BQ＝CP，AQ＝AP，

∵∠QAB+∠PAB＝60°，

∴△AQP是等边三角形，

∴QP＝AP，

∴△QBP就是以AP，BP，CP为边构成的三角形，

∵∠APB＝113°，

∴∠BPQ＝∠APB﹣∠APQ＝53°，

∵∠AQB＝∠APC＝125°，

∴∠BQP＝∠AQB﹣∠AQP＝65°，

∴∠QPB＝180°﹣∠AQB﹣∠BQP＝62°，

∴最大内角的度数为65°，

故答案为：65°．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17．（8分）解方程：

（1）x2﹣5x+4＝0；

（2）x2+x﹣1＝0．

【解答】解：（1）x2﹣5x+4＝0，

（x﹣1）（x﹣4）＝0，

则x﹣1＝0或x﹣4＝0，

解得：x1＝1，x2＝4；

（2）x2+x﹣1＝0，

△＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，

故x，

解得：x1，x2．

18．（8分）若a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣15＝0的两个实数根，求代数式，a2b+ab2的值．

【解答】解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣15＝0的两个实数根，

∴a+b＝6，ab＝﹣15，

∴；

a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣15×6＝﹣90．

19．（8分）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手．

（1）若参加聚会的人数为6，则共握手　15　次，若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手　n（n﹣1）　次；

（2）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数；

（3）小明由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A、B），线段总数为多少呢？请直接写出结论．

【解答】解：（1）若参加聚会的人数为6，共握手6×5＝15（次），

若参加聚会的人数为n（n为正整数），共握手n（n﹣1）（次）．

故答案为：15；n（n﹣1）．

（2）依题意得：n（n﹣1）＝36，

整理得：n2﹣n﹣72＝0，

解得：n1＝9，n2＝﹣8（不合题意，舍去）．

答：参加聚会的人数为9人．

（3）∵线段AB上共有（m+2）（包含端点A、B）个点，

∴线段总数为（m+2）（m+1）（条）．

20．（8分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，5），B（﹣5，2），C（﹣3，4）．

（1）画出△ABC关于原点O对称的图形△A1B1C1，并直接写出A1点的坐标；

（2）将△ABC绕B点顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2并直接写出A2点的坐标；

（3）已知△A2B2C2可以看作由△A1B1C1绕点P逆时针旋转90°得到的图形，直接写出点P的坐标．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，A1点的坐标为（4，﹣5）；

（2）如图，△A2B2C2即为所求，A2点的坐标为（﹣2，1）；

（3）如图，点P即为所求，P（﹣2，﹣5）．

21．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3．

（1）若﹣3≤x≤3，则y的取值范围为　﹣24≤y≤1　（直接写出结果）；

（2）若﹣8≤y≤﹣3，则x的取值范围为　﹣1≤x≤0或4≤x≤5　（直接写出结果）；

（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．

【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，

∴对称轴为直线x＝2，有最大值1，

当x＝﹣3时，y＝﹣（﹣3﹣2）2+1＝﹣24，

∴若﹣3≤x≤3，则y的取值范围为﹣24≤y≤1，

故答案为﹣24≤y≤1；

（2）把y＝﹣8代入y＝﹣x2+4x+3得，﹣8＝﹣x2+4x+3，解得x1＝5，x2＝﹣1，

把y＝﹣3代入y＝﹣x2+4x﹣3得，﹣3＝﹣x2+4x﹣3，解得x3＝0，x4＝4，

∴若﹣8≤y≤﹣3，则x的取值范围为﹣1≤x≤0或4≤x≤5，

故答案为：﹣1≤x≤0或4≤x≤5；

（3）∵A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，

∴y1＝﹣m2+4m﹣3，y2＝﹣（m+1）2+4（m+1）﹣3＝﹣m2+2m，

∴y2﹣y1＝3﹣2m，

令y2﹣y1＞0，即y2＞y1，此时m，

令y2﹣y1＝0，即y2＝y1，此时m，

令y2﹣y1＜0，即y2＜y1，此时m，

综上，m，y2＞y1；m，y2＝y1；m，y2＜y1．

22．（10分）某网店经营一种热销的小商品，若该商品的售价为每件25元，第x天（x为正整数）的每件进价为y元，y与x的对应关系如下（为所学过的一次函数或二次函数中的一种）：

（1）直接写出y与x的函数关系式；

（2）统计发现该网店每天卖掉的件数m＝4x+20，设该店每天的利润为w元；

①求该店每天利润的最大值；

②若该店每卖一件小商品就捐n元给某慈善组织（n＞0），该店若想在第5天获得最大利润，求n的取值范围．

【解答】解：（1）通过表中数据可知，y与x的函数关系为一次函数，

设y与x的函数关系式为y＝kx+b，

把x＝1，y＝12和x＝3，y＝13代入y＝kx+b得：

，

解得：，

∴y与x的函数关系式为yx；

（2）①根据题意，得：

w＝25m﹣my

＝（25﹣y）•m

＝（25x）（4x+20）

x2+44x+270

＝﹣2（x﹣11）2+512，

∵﹣2＜0，

∴当x＝11时，w有最大值，最大值为512，

∴该店每天利润的最大值为512元；

②捐赠后的利润为w′＝25m﹣my﹣nm

＝﹣2x2+44x+270﹣4nx﹣20n，

第5天的利润为：440﹣40n，

第4天的利润为：414﹣36n，

第6天的利润为：462﹣44n，

要想在第5天利润最大，

则

解得：，

∴n的取值范围为n．

23．（10分）如图1，已知Rt△ABC≌Rt△DCE，∠B＝∠D＝90°，BC＝2AB．

（1）若AB＝2，求点B到AC的距离；

（2）当Rt△DCE绕点C顺时针旋转，连AE，取AE中点H，连BH，DH，如图2，求证：BH⊥DH；

（3）在（2）的条件下，若AB＝2，P是DE中点，连接PH，当Rt△DCE绕点C顺时针旋转的过程中，直接写出PH的取值范围．

【解答】解：（1）∵BC＝2AB，AB＝2，

∴BC＝4，

∵∠B＝90°，

∴AD2，

设点B到AC的距离为h，

则S，

∴h，

∴点B到AC的距离；

（2）证明：如图，连接CH，

∵点H是AE的中点，

∴AH＝EH，

∵CA＝CE，

∴CH⊥AE，

∴∠AHC＝∠EHC＝90°，

∵∠ABC＝∠CDE＝90°，

∴A，B，C，H四点在以AC为直径的圆上，

C，D，E，H四点在以CE为直径的圆上，

∴∠AHB＝∠ACB，∠CHD＝∠CED，

∵∠ACB＝∠CED，

∴∠AHB＝∠CHD，

∵∠AHB+∠BHC＝90°，

∴∠BHC+∠CHD＝90°，

∴∠BHD＝90°，

即BH⊥DH；

（3）解：如图，连接AD，

∵点H是AE的中点，

∴AH＝EH，

∵点P是DE的中点，

∴EP＝DP，

∴HP是△EAD的中位线，

∴HP，

∵AC+CD≥AD≥AC﹣CD，

∴当且仅当A，C，D，三点共线时，AD取得最大值为2，AD取最小值为22，

∴．

24．（12分）如图1，抛物线G：yx2+bx+c经过点B（6，0），顶点为A，对称轴为直线x＝2．

（1）求抛物线G的解析式；

（2）若点C为直线AB上方的抛物线上的动点，当△ABC面积最大时，求C点的坐标；

（3）如图2，将抛物线G向左平移至顶点在y轴上，平移后的抛物线G'与x轴交于点E、F，平行于x轴的直线l经过点（0，8），若点P为x轴上方的抛物线G'上的动点，分别连接EP、FP，并延长交直线l于M、N两点，若M、N两点的横坐标分别为m、n，试探究m、n之间的数量关系．

【解答】解：（1）由题意得：，解得，

故抛物线的表达式为yx2+x+3；

（2）连接AC、BC，过点C作y轴的平行线交AB于点H，

设直线AB的表达式为y＝kx+t，则，解得，

故直线AB的表达式为y＝﹣x+6，

设C的坐标为（x，x2+x+3），则点H（x，﹣x+6），

设△ABC面积为S，则S＝S△CHA+S△CHBCH×OB6×（x2+x+3+x﹣6）（x﹣4）2+2，

故当x＝4时，△ABC面积最大，则点C（4，3）；

（3）当x＝2时，yx2+x+3＝4，即抛物线G的顶点为（4，4），

则将抛物线G向左平移至顶点在y轴上，抛物线G′的表达式为yx2+4，

令yx2+4＝0，解得x＝±4，故点E、F的坐标分别为（﹣4，0）、（4，0），

设点P的坐标为（p，p2+4），

由点P、E的坐标得，直线PE的表达式为y（p﹣4）（x+4），

当y＝8时，即y（p﹣4）（x+4）＝8，解得xm，

同理可得：n，

故mn＝﹣16．