2021-2022学年湖北省武汉市硚口区九年级（上）期中数学试卷

2021-2022学年湖北省武汉市硚口区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑。

1．（3分）将一元二次方程2x2＝3x﹣1化成一般形式后，二次项系数为2，则一次项系数是（　　）

A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1

2．（3分）下列图标中，是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

3．（3分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（　　）

A．30° B．90° C．120° D．180°

4．（3分）关于二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　）

A．开口向上 B．对称轴是x＝﹣1 

C．有最小值2 D．顶点坐标是（1，2）

5．（3分）将抛物线y＝2x2平移到抛物线y＝2x2﹣4x﹣1，正确的平移方法是（　　）

A．向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度 

B．向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度 

C．向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度 

D．向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度

6．（3分）如图，在⊙O中AB为直径，CD为弦，AB⊥CD于点E，CD＝6，EB＝1，则AE的长为（　　）

A．5 B．7 C．8 D．9

7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（　　）

A．80° B．70° C．60° D．50°

8．（3分）如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（　　）

A．1m B．1.5m C．2.5m D．2m

9．（3分）若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且y1＜y3＜y2，则m的取值范围是（　　）

A．﹣3＜m＜1 B．﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1 

C．m＜﹣3或m＞1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1

10．（3分）已知a，b是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根，则2a25b的值是（　　）

A．﹣18 B．18 C．22 D．20

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）（﹣2，3）关于原点对称点的坐标是　   　．

12．（3分）已知函数y＝x2﹣8x+9，当x＞　   　时，y随x的增大而增大．

13．（3分）已知在一次会议中，参会的每两个人之间握手一次，全部参会人员一共握手66次，则参会的人数是 　   　人．

14．（3分）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，设苗圃园垂直于墙的一边长为x米，苗圃园的面积为y平方米，则y与x的函数关系式是 　   　．

15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠c），且a﹣b+c＝0．下列四个结论：

①若b＝﹣2a，则抛物线经过点（3，0）；

②抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；

③一元二次方程﹣a（x﹣2）2+bx＝2b+c有一个根x＝﹣1；

④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2，则5a+c≥0．

其中正确的是 　   　．（填写序号）

16．（3分）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，动点P从顶点B出发，沿BC边以1个单位长度/秒的速度向顶点C运动，点Q为AC中点，AP+PQ＝y，y随运动时间t变化的函数图象如图2，则函数图象最低点的坐标是 　   　．

三、解答题（共8小题，共72分）

17．（6分）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0．

18．（8分）如图，在⊙O中，C为弦AB的中点，连接CO并延长交⊙O于点D，AB＝CD＝8，求⊙O的半径．

19．（8分）已知二次函数y＝x2﹣6x+5，请回答下列问题：

（1）其图象与x轴的交点坐标为 　   　；

（2）当x满足 　   　时，y＜0；

（3）当﹣1≤x≤4时，函数y的取值范围是 　   　．

20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，直接写出它的根．

21．（10分）如图是12×9的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．已知A（﹣4，0），B（0，3），C（﹣2，4），仅用无刻度的直尺在给定网格中依次完成画图，并回答问题（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．

（1）直接写出△ABC的形状；

（2）线段AB平移至线段OD（点O与点A对应），画出线段OD；

（3）格点E在第四象限内，使∠ODE＝45°．

①画出格点E，并写出点E的坐标；

②连接OE，线段AB绕点M旋转一个角度可以得到线段OE（点O与点A对应），直接写出点M的坐标．

（4）将△ABC绕点A逆时针旋转角度2α（其中α＝∠BAC）得到△AB1C1（点C1与点C对应），画出△AB1C1．

22．（10分）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的两组对应值如表：

注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）

（1）直接写出该商品的每件的进价以及y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）当每件售价x为多少时，周销售利润w最大？并求出此时的最大利润；

（3）若该商品每件进价提高了4元，其每件售价不超过m元（m是大于50的常数，且是整数），该商店在销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，直接写出周销售的最大利润．

23．（10分）将正方形ABCD的边CD绕点C顺时针旋转α°（0＜α＜90）至CP，连接PB，PD．

（1）如图1，当α＝40°时，直接写出∠BPD的大小；

（2）如图2，过点B作BE⊥PD交PD延长线于点E，连接AE．

①求∠BPD的大小；

②探究AE，PD之间的数量关系，并证明你的结论；

③当点D为PE中点时，PB＝6，直接写出四边形ABPE的面积．

24．（12分）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx﹣3与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，OB＝OC，其对称轴为直线x＝1．

（1）直接写出抛物线C的解析式；

（2）已知点D（1，2），点E，F均在抛物线上（点E在点F右侧），若以C，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；

（3）如图2，将抛物线C平移得到抛物线C1，使C1的顶点在原点，过点P（t，﹣1）的两条直线PM，PN，它们与y轴不平行，都与抛物线C1只有一个公共点分别为点M和点N，求证：直线MN必过定点．

2021-2022学年湖北省武汉市硚口区九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑。

1．（3分）将一元二次方程2x2＝3x﹣1化成一般形式后，二次项系数为2，则一次项系数是（　　）

A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1

【解答】解：2x2＝3x﹣1，

2x2﹣3x+1＝0，

所以一次项系数是﹣3，

故选：B．

2．（3分）下列图标中，是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

【解答】解：选项A、B、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后原来的图形重合，所以不是中心对称图形；

选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后原来的图形重合，所以是中心对称图形；

故选：C．

3．（3分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（　　）

A．30° B．90° C．120° D．180°

【解答】解：∵360°÷3＝120°，

∴旋转的角度是120°的整数倍，

∴旋转的角度至少是120°．

故选：C．

4．（3分）关于二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　）

A．开口向上 B．对称轴是x＝﹣1 

C．有最小值2 D．顶点坐标是（1，2）

【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+2，a＝﹣3＜0，

∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意；

对称轴是直线x＝1，故选项B不符合题意；

当x＝1时取得最大值2，故选项C不符合题意；

顶点坐标为（1，2），故选项D符合题意；

故选：D．

5．（3分）将抛物线y＝2x2平移到抛物线y＝2x2﹣4x﹣1，正确的平移方法是（　　）

A．向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度 

B．向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度 

C．向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度 

D．向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度

【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3的顶点坐标为（1，﹣3），而点（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移3个单位可得到点（1，﹣3），

所以抛物线y＝2x2先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到抛物线y＝2x2﹣4x﹣1．

故选：D．

6．（3分）如图，在⊙O中AB为直径，CD为弦，AB⊥CD于点E，CD＝6，EB＝1，则AE的长为（　　）

A．5 B．7 C．8 D．9

【解答】解：连接OC，如图所示：

∵AB⊥CD，CD＝6，

∴CE＝EDCD＝3，

设⊙O的半径为r，则OE＝OB﹣EB＝r﹣1，

在Rt△OEC中，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，

即（r﹣1）2+32＝r2，

解得：r＝5，

∴OA＝5，OE＝4，

∴AE＝OA+OE＝9，

故选：D．

7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（　　）

A．80° B．70° C．60° D．50°

【解答】解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，

∴AC＝CD，∠BAC＝∠CDE＝130°，

∴∠CDA＝∠CAD＝50°，

∴∠BAD＝80°，

故选：A．

8．（3分）如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（　　）

A．1m B．1.5m C．2.5m D．2m

【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），

设顶点式y＝ax2+2，代入A点坐标（﹣2，0），

得：a＝﹣0.5，

所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，

把x＝﹣3代入抛物线解析式得出：

y＝﹣0.5×（﹣3）2+2＝﹣2.5，

∴水面下降2.5米，

故选：C．

9．（3分）若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且y1＜y3＜y2，则m的取值范围是（　　）

A．﹣3＜m＜1 B．﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1 

C．m＜﹣3或m＞1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1

【解答】解：抛物线y＝ax2+4ax+c的对称轴为x2，

∵点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且y1＜y3＜y2，

∴当a＜0，则|m+2|＜1且|m+2|＞3，（不存在）；

当a＞0，则1＜|m+2|＜3，解得﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1．

故选：D．

10．（3分）已知a，b是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根，则2a25b的值是（　　）

A．﹣18 B．18 C．22 D．20

【解答】解：根据根与系数的关系得到a+b＝4，ab＝﹣1，

∴a，

∴2a25b＝2a2﹣3a+5b，

∵a是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的实数根，

∴a2﹣4a﹣1＝0，

∴a2＝4a+1，

∴2a25b＝2（4a+1）﹣3a+5b

＝8a+2﹣3a+5b

＝5（a+b）+2

＝5×4+2

＝22．

故选：C．

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）（﹣2，3）关于原点对称点的坐标是　（2，﹣3）　．

【解答】解：∵点M（﹣2，3）关于原点对称，

∴点M（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．

故答案为（2，﹣3）．

12．（3分）已知函数y＝x2﹣8x+9，当x＞　4　时，y随x的增大而增大．

【解答】解：y＝x2﹣8x+9＝（x2﹣8x+16）﹣7＝（x﹣4）2﹣7，

∵a＝1＞0，对称轴x＝4，

∴当x＞4时，y随x的增大而增大，

故答案为：4．

13．（3分）已知在一次会议中，参会的每两个人之间握手一次，全部参会人员一共握手66次，则参会的人数是 　12　人．

【解答】解：设共有x人参会，

依题意得：x（x﹣1）＝66，

整理得：x2﹣x﹣132＝0，

解得：x1＝12，x2＝﹣11（不合题意，舍去）．

故答案为：12．

14．（3分）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，设苗圃园垂直于墙的一边长为x米，苗圃园的面积为y平方米，则y与x的函数关系式是 　y＝﹣2x2+30x　．

【解答】解：设苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（30﹣2x）米．

依题意可得：y＝x（30﹣2x），即y＝﹣2x2+30x．

故答案为：y＝﹣2x2+30x．

15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠c），且a﹣b+c＝0．下列四个结论：

①若b＝﹣2a，则抛物线经过点（3，0）；

②抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；

③一元二次方程﹣a（x﹣2）2+bx＝2b+c有一个根x＝﹣1；

④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2，则5a+c≥0．

其中正确的是 　①②④　．（填写序号）

【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a﹣b+c＝0，

∴（﹣1，0）是抛物线与x轴的一个交点．

①∵b＝﹣2a，

∴对称轴为直线x1，

∵抛物线经过点（﹣1，0），

∴抛物线经过点（3，0），即①正确；

②Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，

∴抛物线与x轴一定有公共点，

∵a≠c，

∴抛物线与x轴一定有两个不同的公共点．故②正确；

③方程﹣a（x﹣2）2+bx＝2b+c整理得，a（2﹣x）2+b（2﹣x）+c＝0，

∵a﹣b+c＝0，

∴当2﹣x＝﹣1时，a+b+c＝0，

∴x＝3，

∴一元二次方程﹣a（x﹣2）2+bx＝2b+c有一个根x＝3；故③错误；

④由题意可知，抛物线开口向上，且2，

∴﹣b≤4a，

∵a﹣b+c＝0，

∴﹣b＝﹣a﹣c，

∴﹣a﹣c≤4a，

∴5a+c≥0．故④正确．

故答案为：①②④．

16．（3分）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，动点P从顶点B出发，沿BC边以1个单位长度/秒的速度向顶点C运动，点Q为AC中点，AP+PQ＝y，y随运动时间t变化的函数图象如图2，则函数图象最低点的坐标是 　（，）　．

【解答】解：由题意可知，△ABC是等腰直角三角形，

由图2可知，BC＝4，

∴AB＝AC＝2，

∴AQ＝CQ，

如图，把Rt△ABC补全成正方形ABA′C，

由正方形对称性可知，A′P＝AP，

∴AP+PQ＝A′P+PQ，

∴当A′、P、Q共线时，AP+PQ的值最小，

在Rt△A′CQ中，DE，

∴PB+PE的最小值为，

∴最低点的纵坐标为，

∵CQ∥A′B，

∴2，

∵BC＝4，

∴BP＝4，

∴最低点的横坐标为，

结合选项可知，当a＝3时，点Q的坐标为（，）．

故答案为：（，）．

三、解答题（共8小题，共72分）

17．（6分）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0．

【解答】解：2x2﹣3x﹣1＝0，

a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，

∴Δ＝9+8＝17＞0，

∴x，

x1，x2．

18．（8分）如图，在⊙O中，C为弦AB的中点，连接CO并延长交⊙O于点D，AB＝CD＝8，求⊙O的半径．

【解答】解：连接OA，如图所示：

∵C为AB中点，AB＝8，

∴OC⊥AB，ACAB＝4，

设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝r，

∵CD＝8，

∴OC＝8﹣r，

在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2＝OC2+AC2，

即r2＝（8﹣r）2+42，

解得：r＝5，

即⊙O的半径为5．

19．（8分）已知二次函数y＝x2﹣6x+5，请回答下列问题：

（1）其图象与x轴的交点坐标为 　（1，0）和（5，0）　；

（2）当x满足 　1＜x＜5　时，y＜0；

（3）当﹣1≤x≤4时，函数y的取值范围是 　﹣4≤y≤12　．

【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，

解得：x＝1或x＝5，

∴它与x轴的交点坐标为（1，0）和（5，0）；

故答案为：（1，0）和（5，0）；

（2）∵抛物线y＝x2﹣6x+5开口向上，与x轴的交点坐标为（1，0）和（5，0）；

∴当1＜x＜5 时，y＜0；

故答案为：1＜x＜5；

（3）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，

∴顶点坐标为（3，﹣4），

∴x＝3时，有最小值﹣4，

当x＝﹣1时，y＝1+6+5＝12，

∴当﹣1≤x≤4时，y的范围是﹣4≤y≤12．

故答案为：﹣4≤y≤12．

20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，直接写出它的根．

【解答】解：（1）∵方程有两个实数根，

∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）≥0，

解得：m

即m的取值范围为m；

（2）根据题意得x1+x2＝4，

∵该方程的两个根都是符号相同的整数

∴x1＝1，x2＝3 或x1＝x2＝2．

21．（10分）如图是12×9的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．已知A（﹣4，0），B（0，3），C（﹣2，4），仅用无刻度的直尺在给定网格中依次完成画图，并回答问题（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．

（1）直接写出△ABC的形状；

（2）线段AB平移至线段OD（点O与点A对应），画出线段OD；

（3）格点E在第四象限内，使∠ODE＝45°．

①画出格点E，并写出点E的坐标；

②连接OE，线段AB绕点M旋转一个角度可以得到线段OE（点O与点A对应），直接写出点M的坐标．

（4）将△ABC绕点A逆时针旋转角度2α（其中α＝∠BAC）得到△AB1C1（点C1与点C对应），画出△AB1C1．

【解答】解：（1）∵BC2＝12+22＝5，AC2＝42+22＝20，AB2＝32+42＝25，

∴BC2+AC2＝AB2，

∴△ABC为直角三角形；

（2）如图，OD为所作；

（3）①如图，E点为所作，E点坐标为（3，﹣4）；

②M（﹣2，﹣2）；

（4）如图，△AB1C1为所作．

22．（10分）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的两组对应值如表：

注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）

（1）直接写出该商品的每件的进价以及y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）当每件售价x为多少时，周销售利润w最大？并求出此时的最大利润；

（3）若该商品每件进价提高了4元，其每件售价不超过m元（m是大于50的常数，且是整数），该商店在销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，直接写出周销售的最大利润．

【解答】解：（1）由表中数据知，每件商品进价为：20，

∴每件进价 20元；

设一次函数解析式为y＝kx+b，

根据题意，得

，

解得：，

所以y与x的函数表达式为y＝﹣2x+200；

（2）由题意，得w＝（﹣2x+200）（x﹣20）

＝﹣2x2+240x﹣4000

＝﹣2（x﹣60）2+3200，

∵﹣2＜0，

∴当x＝60时，w有最大值，最大值为3200，

∴当每件售价为60元时，周销售利润w最大，最大利润为3200元；

（3）根据题意得，w＝（x﹣20﹣4）（﹣2x+200）＝﹣2x2+248x﹣4800＝﹣2（x﹣62）2+2888，

∵﹣2＜0，对称轴为x＝62，24≤x≤m，

∴当50＜m＜62时，周销售最大利润为﹣2m2+248m﹣4800，

当m≥62时，周销售最大利润为2888元．

23．（10分）将正方形ABCD的边CD绕点C顺时针旋转α°（0＜α＜90）至CP，连接PB，PD．

（1）如图1，当α＝40°时，直接写出∠BPD的大小；

（2）如图2，过点B作BE⊥PD交PD延长线于点E，连接AE．

①求∠BPD的大小；

②探究AE，PD之间的数量关系，并证明你的结论；

③当点D为PE中点时，PB＝6，直接写出四边形ABPE的面积．

【解答】解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD＝90°，CB＝CD，

由旋转的性质可知，CD＝CP，

∵∠DCP＝40°，

∴∠CPD＝∠CDP（180°﹣40°）＝70°，

∵CB＝CD，CD＝CP，

∴CB＝CP，

∵∠BCP＝∠BCD+∠DCP＝130°，

∴∠CPB＝∠CBP（180°﹣130°）＝25°，

∴∠BPD＝∠CPD﹣∠CPB＝70°﹣25°＝45°；

（2）解：①∵CD绕顶点C顺时针旋转α°至CP，

∴CD＝CP，∠DCP＝α，

∴∠DPC，

∵ABCD为正方形∴BC＝CD＝CP，∠BCD＝90°，

∴∠BCP＝90+α，

∴∠BPC，

∴∠BPD＝∠DPC﹣∠BPC45°；

②结论：PDAE．

理由：过A作AF⊥AE交BE于点F．

∵ABCD为正方形，

∴AB＝AD，∠BAD＝90°，

∵AE⊥AF，

∴∠EAF＝90°，

∴∠BAD﹣∠FAD＝∠EAF﹣∠FAD，即∠BAF＝∠DAE，

又∵BE⊥PE，

∴∠BED＝90°＝∠BAD，

∴∠ABF＝∠ADE，

∴△ABF≌△ADE（ASA），

∴BF＝DE，AF＝AE，

由知∠BPD＝45°，∠BED＝90°，

∴△BEP为等腰直角三角形，

∴BE＝PE，

∴BE﹣BF＝PE﹣DE  即EF＝PD，

又∵AE＝AF，∠EAF＝90°，

∴EF＝PDAE；

③如图3中，

∵△PEB是等腰直角三角形，PB＝6，

∴EB＝PE＝3，

∴S△PBE•EB•EP＝9，

∵DE＝DPAE，

∴AE，

∵△AEF是的以及三角形，

∴∠AEB＝∠EBP＝45°，

∴AE∥PB，

∴，

∴S△AEBS△EBP，

∴S四边形ABPE＝S△EBP+S△AEB＝9．

24．（12分）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx﹣3与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，OB＝OC，其对称轴为直线x＝1．

（1）直接写出抛物线C的解析式；

（2）已知点D（1，2），点E，F均在抛物线上（点E在点F右侧），若以C，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；

（3）如图2，将抛物线C平移得到抛物线C1，使C1的顶点在原点，过点P（t，﹣1）的两条直线PM，PN，它们与y轴不平行，都与抛物线C1只有一个公共点分别为点M和点N，求证：直线MN必过定点．

【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，

∴x1，即b＝﹣2a①，

∵抛物线C：y＝ax2+bx﹣3与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，

∴C（0，﹣3），OC＝3，

∵OB＝OC，

∴OB＝3，B（3，0），

把B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3中，得9a+3b﹣3＝0②，

由①②可知，a＝1，b＝﹣2，

∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．

（2）若CD∥EF，

∵四边形CDEF是平行四边形，

∴CD∥EF且CD＝EF，

∵C（0，﹣3），D（1，2），

∴D向左平移1个单位长度，向下平移5个单位长度得到点C，

∵点E，F都在抛物线上，点E在点F的右侧，

∴点E左平移1个单位长度，向下平移5个单位长度得到点F，

设E（x，x2﹣2x﹣3），则F（x﹣1，x2﹣2x﹣8），

将点F（x﹣1，x2﹣2x﹣8）代入y＝x2﹣2x﹣3得，（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣3＝x2﹣2x﹣8，解得x＝4，

∴E（4，5），

若CE∥DF，

∵四边形CEDF是平行四边形，

∴CE∥DF且CE＝DF，

∵C（0，﹣3），D（1，2），

∴CD的中点坐标为（，﹣1），

设E（x，x2﹣2x﹣3），则F（﹣x+1，﹣x2+2x+2），

将点F（﹣x+1，﹣x2+2x+2）代入y＝x2﹣2x﹣3得，

（﹣x+1）2﹣2（﹣x+1）﹣3＝﹣x2+2x+2，解得x或x，

∵点E在点F的右侧，

∴E（，）．

综上，点E的坐标为E（4，5），或E（，）．

（3）根据题意得，抛物线C1的解析式为：y＝x2，

设M（m，m2），N（n，n2），

则直线PM可设为y＝k1（x﹣m）+m2，

直线PN可设为y＝k2（x﹣n）+n2，

∵直线PM与抛物线只有一个公共点，

∴联立y＝k1（x﹣m）+m2与抛物线y＝x2，得，

得x2﹣k1x+k1m﹣m2＝0，

∴Δ＝k12﹣4（k1m﹣m2）＝（k1﹣2m）2＝0，解得k1＝2m，

∴直线PM的解析式为：y＝2m（x﹣m）+m2＝2mx﹣m2，

同理可得，直线PN的解析式为：y＝2n（x﹣n）+n2＝2nx﹣n2，

联立PM和PN的解析式可得，P（，mn），

∵P（t，﹣1），

∴mn＝﹣1，

设直线MN的解析式为：y＝kx+b，

将M（m，m2），N（n，n2）代入可得y＝（m+n）x﹣mn，

∴直线MN的解析式为：y＝（m+n）x+1，

∴直线MN过定点（0，1）．