淮安市淮阴区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

淮安市淮阴区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1. 在下列“禁毒”“和平”“志愿者”“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是(   )

A.  B.  C.  D.

2. 4的平方根是 （   ）

A. 2 B. ±2 C. ± D.

3. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 当时，一次函数的图象大致是（  ）

A.  B.

C.  D.

5. 下列各点中，在一次函数的图像上的是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 若，则x的取值范围是（    ）

A. x≥3 B. x＜3 C. x≤3 D. x＞3

7. 在平面直角坐标系中，把一次函数向上平移3个单位后，得到的新的一次函数的表达式是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 如图，点的坐标是，若点在轴上，且是等腰三角形，则点的坐标不可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____．

10. 已知△ABC≌△DEF，若∠B=40°，∠D=30°，则∠F=________ °．

11. 若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k=_______．

12. 点关于x轴对称的点的坐标是_______．

13. 已知是正整数，且，则的值为__________．

14. 如图，在中，，边的垂直平分线交于，交于．若平分，则的度数为__________．

15. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝2，则CD＝___________．

16. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点在坐标原点，顶点分别在轴，轴的正半轴上，，为边的中点，是边上的一个动点，当的周长最小时，点的坐标为_________.

三、解答题（共72分）

17. 计算：．

18. 化简：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

19. 如图，三点在同一条直线上，，，．

（1）求证：；

（2）若，求的度数．

20. 如图，直线经过点．

（1）________，_________；

（2）若直线与轴、轴分别交于两点，点在轴上，且，求的面积．

21. 甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午12：00准时到达乙地．设汽车出发小时后离甲地的路程为千米，图中折线表示接到通知前与之间的函数关系．

（1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为         千米/小时；

（2）求线段所表示的与之间的函数表达式；

（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由．

22. 【模型建立】

如图1，在中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，易证明．我们将这个模型称为“形图”，接下来我们就利用这个模型解决一些问题；

【模型应用】

（1）如图1，若，则的面积为__________；

（2）如图2，已知直线与坐标轴交于点A、B，将直线绕点A逆时针旋转45°至直线，求直线的函数表达式；

（3）如图3，在平面直角坐标系中，直线的函数关系式为：，点在直线上找一点，使直线与直线的夹角为45°，直接写出点的坐标．

答案与解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1. 在下列“禁毒”“和平”“志愿者”“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是(   )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】轴对称图形是指将图形沿着某条直线对折，直线两边的图形能够完全重叠，根据定义判断即可．

【详解】A、不是轴对称图形，故选项错误；

B、是轴对称图形，故选项正确；

C、不是轴对称图形，故选项错误；

D、不是轴对称图形，故选项错误．

故选B

【点睛】本题考查轴对称图形的识别，熟记轴对称图形的定义是关键．

2. 4的平方根是 （   ）

A. 2 B. ±2 C. ± D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．．

【详解】解：∵（±2）2=4，

∴实数4的平方根是±2．

故选：B．

【点睛】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．

3. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据各象限内点的坐标特征解题，四个象限的符号特征为：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-） ．

【详解】小手盖住的是第四象限的点，其点坐标特征为：横坐标为正数，纵坐标为负数，

故选：D．

【点睛】本题考查象限及点的坐标的有关性质等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

4. 当时，一次函数的图象大致是（  ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据k=1＞0可得图象的斜率，根据b＜0可得直线与y轴的交点在x轴的下方.

【详解】解：∵k=1＞0，

∴y随x的增大而增大，

又∵b＜0，

∴函数图象与y轴交于负半轴.

故选A.

【点睛】本题主要考查一次函数的图象性质，当=kx+b（k，b为常数，k≠0）时：

当k>0，b>0，这时此函数的图象经过一，二，三象限；

当k>0，b<0，这时此函数的图象经过一，三，四象限；

当k<0，b>0，这时此函数的图象经过一，二，四象限；

当k<0，b<0，这时此函数的图象经过二，三，四象限.

5. 下列各点中，在一次函数的图像上的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】分别把各点代入一次函数进行检验即可．

【详解】A、∵当x=-1时，，∴点（-1，1）不在此函数的图象上，故本选项错误；

B、∵当x=0时，，∴点（0，1）在此函数的图象上，故本选项正确；

C、∵当x=2时，，∴点（2，2）不在此函数的图象上，故本选项错误；

D、∵当x=-2时，，∴点（-2，3）不在此函数的图象上，故本选项错误；

故选：B．

【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

6. 若，则x的取值范围是（    ）

A. x≥3 B. x＜3 C. x≤3 D. x＞3

【答案】C

【解析】

【分析】根据二次根式的非负性解答即可．

【详解】∵，而，

∴，，解得：，

故选C．

【点睛】本题考查绝对值、二次根式的非负性，理解绝对值的意义是关键．

7. 在平面直角坐标系中，把一次函数向上平移3个单位后，得到的新的一次函数的表达式是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．

【详解】函数图像的平移法则为：上加下减，左加右减，则一次函数的图象向上平移个单位长度得到的新一次函数的解析式是：

故选：B

【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．

8. 如图，点的坐标是，若点在轴上，且是等腰三角形，则点的坐标不可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先根据勾股定理求出OA的长度，再分类讨论，，，算出P点坐标即可判断．

【详解】
 

如图，

点A的坐标是

根据勾股定理可得

①若 ，可得

②若 ，可得

③若 ，可得或

所以，点的坐标不可能是

故选：C．

【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定，熟练掌握知识点并能够运用分类讨论的思想是解题的关键．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____．

【答案】x≥1

【解析】

【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．

【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，

∴x≥1，

故答案为：x≥1．

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0．

10. 已知△ABC≌△DEF，若∠B=40°，∠D=30°，则∠F=________ °．

【答案】110

【解析】

【详解】∵△ABC≌△DEF，

∴∠B=∠E，

又∵∠B=40°，

∴∠E=40°，

又∵∠D=30°，

∴在△DEF中，∠F=180°-40°-30°=110°.

11. 若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k=_______．

【答案】2

【解析】

【分析】由点（1，2）在正比例函数图象上，根据函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出k值．

【详解】∵正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），

∴2=k×1，即k=2．

故答案为2．

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得出2=k×1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征求出一次函数的系数是关键．

12. 点关于x轴对称的点的坐标是_______．

【答案】（-3，-2）
 

【解析】

【详解】点 P(−3，2) 关于x轴对称的点 P′ 的坐标是（-3，-2），

故答案是：（-3，-2）．

13. 已知是正整数，且，则的值为__________．

【答案】5

【解析】

【分析】根据题意得出接近的有理数，即可得出答案；

【详解】∵

为正整数，且

故答案为：

【点睛】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解决本题的关键．

14. 如图，在中，，边的垂直平分线交于，交于．若平分，则的度数为__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，即可得出的度数，根据三角形的内角和计算即可．

【详解】为的垂直平分线，

平分

故答案为：

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．

15. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝2，则CD＝___________．

【答案】1

【解析】

【分析】根据直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．

【详解】在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的中线，AB＝2，

∴CD＝AB＝1，

故答案为：1．

【点睛】本题考查直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，准确理解概念是解题关键．

16. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点在坐标原点，顶点分别在轴，轴的正半轴上，，为边的中点，是边上的一个动点，当的周长最小时，点的坐标为_________.

【答案】(1,0)

【解析】

【分析】作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′与x轴交于点E，用待定系数法，求出直线CD′的解析式，然后求得与x轴的交点坐标即可.

【详解】作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′与x轴交于点E，

∵OB=4，OA=3，D是OB的中点，

∴OD=2，则D的坐标是（0，2），C的坐标是（3，4），

∴D′的坐标是（0，-2），

设直线CD′的解析式是：y=kx+b（k≠0），

则

解得：，

则直线的解析式是：y=2x-2，

在解析式中，令y=0，得到2x-2=0，

解得x=1，

则E的坐标为（1，0），

故答案为：（1，0）.

【点睛】本题考查了路线最短问题，以及待定系数法求一次函数的解析式，正确作出E的位置是解题的关键．

三、解答题（共72分）

17. 计算：．

【答案】0

【解析】

【分析】根据乘方、负整数指数幂，算术平方根的意义计算即可．

【详解】解：

【点睛】本题主要考查了乘方、负整数指数幂以及算术平方根的定义，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．

18. 化简：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【答案】（1）   

（2）   

（3）   

（4）

【解析】

【分析】（1）利用二次根式的乘法计算即可解答；

（2）利用平方差公式，再结合二次根式乘法运算即可；

（3）先将二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；

（4）根据二次根式的乘法和减法计算即可．

【小问1详解】

=36

【小问2详解】

【小问3详解】

【小问4详解】

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握二次根式的运算法则并准确计算．

19. 如图，三点在同一条直线上，，，．

（1）求证：；

（2）若，求的度数．

【答案】（1）见解析    （2）

【解析】

【分析】（1）根据已知条件利用即可证明两个三角形全等；

（2）根据，即可得出,，从而可得，即可求解．

【小问1详解】

在和中

（）

【小问2详解】

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．

20. 如图，直线经过点．

（1）________，_________；

（2）若直线与轴、轴分别交于两点，点在轴上，且，求的面积．

【答案】（1）；   

（2）或

【解析】

【分析】（1）将点（，）点（，）代入直线中，列关于，的二元一次方程组，解方程组即可求解；

（2）根据直线解析式求出点，点的坐标，再根据分类讨论出点的位置，即可求解的面积．

【小问1详解】

直线：经过点（，）点（，）

解得：

直线的解析式为：

故答案为：；

【小问2详解】

直线的解析式为：，且与轴，轴交于点，点

当时，，解得

（，），

当时，

点（，）

当点在点左侧时，，

此时

当点在点右侧时，，

此时

综上所述：的面积为：或

【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征及三角形的面积，解题关键是利用待定系数法求出函数解析式及分类讨论点的位置，不要漏解．

21. 甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午12：00准时到达乙地．设汽车出发小时后离甲地的路程为千米，图中折线表示接到通知前与之间的函数关系．

（1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为         千米/小时；

（2）求线段所表示的与之间的函数表达式；

（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由．

【答案】（1）80；（2）；（3）不能，理由见解析．

【解析】

【分析】（1）观察图象即可得出休息前汽车行驶的速度；
（2）根据题意求出点E的横坐标，再利用待定系数法解答即可；
（3）求出到达乙地所行驶的时间即可解答．

【详解】解：（1）由图象可知，休息前汽车行驶的速度为千米/小时；
故答案为：80；

（2）休息后按原速继续前进行驶的时间为：（小时），
∴点E的坐标为（3.5，240），
设线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为，

则：，解得，

∴线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为；

（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶，

则全程所需时间为：（小时），
从早上8点到中午12点需要12-8=4（小时），
∵4.125＞4，
所以接到通知后，汽车仍按原速行驶不能准时到达．

【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．

22. 【模型建立】

如图1，在中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，易证明．我们将这个模型称为“形图”，接下来我们就利用这个模型解决一些问题；

【模型应用】

（1）如图1，若，则的面积为__________；

（2）如图2，已知直线与坐标轴交于点A、B，将直线绕点A逆时针旋转45°至直线，求直线的函数表达式；

（3）如图3，在平面直角坐标系中，直线的函数关系式为：，点在直线上找一点，使直线与直线的夹角为45°，直接写出点的坐标．

【答案】（1）   

（2）   

（3）点B坐标为（0，1）或（2，5）

【解析】

【分析】（1）利用“ASA”求证，继而可得CE=AD=3，BE=CD=4，AC=BC，由勾股定理可得AC，继而利用三角形面积公式求解；

（2）由直线可知点点A、B坐标，过点B作BC⊥直线l2，过点C作CD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E，证明（AAS），推导出，，设，继而求出a的值，继而可得点C坐标，利用待定系数法即可求解；

（3）求出点E坐标，在直线l上取一点F（2，5），连接AE、AF，证明△AEF是等腰直角三角形即可解决问题．

【小问1详解】

如图1所示：

∵，

∴∠BCE+∠ACD=90°，

∵，，

∴∠BCE+∠CBE=90°，∠CAD+∠ACD=90°，

∴∠ACD=∠CBE，∠BCE=∠CAD，

又，

∴（ASA）,

∴CE=AD=3，BE=CD=4，AC=BC，

在Rt△ACD中，由勾股定理可得：

∴，

∵ ，

∴，

故答案为：；

【小问2详解】

如图2所示，

∵直线与坐标轴交于点A、B，

令，则，

令，则，

∴点A（-3，0）、B（0，4），

过点B作BC⊥直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E，

∵OA⊥OB，

∴四边形CDOE是矩形，

∴，，CE⊥CD，

∴,

∵BC⊥直线l2，

∴,

∴,

由旋转得：，

∴,

∴,

又,

∴（AAS），

∴，，

∴，

设，

∵，即，

解得： ，即，

∴,

∴点C坐标为（，），

设直线的函数表达式为：，

将点A、C代入得：，

解得：，

∴直线的函数表达式为：，

【小问3详解】

如图3所示，

∵直线 ，

令，则，

∴点E（0，1），

在直线l上取一点F（2，5），连接AE、AF，

∵A（3，2），

∴,

，

，

∴，，

∴，

∴，

∴当点B与E或F重合时，直线AB与直线l的夹角为45°，此时B（0，1）或（2，5）

【点睛】本题考查一次函数综合题，主要涉及到一次函数的图象及其性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定及其性质，熟练掌握一次函数的图象及其性质，正确做辅助线是解题的关键．