盐城市亭湖区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

盐城市亭湖区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

考试时间：100分钟  卷面总分：120分

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）

1. 在千家万户团圆的时刻，我市一批医务工作者奔赴武汉与疫情抗争，他们是“最美逆行者”.下列艺术字中，可以看作是轴对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 在下列各数中，无理数的是（    ）

A.  B. 0 C.  D. 3.14

3. 下列各点属于第一象限的是（    ）

A. （1，﹣2） B. （1，2） C. （﹣1，﹣2） D. （﹣1，2）

4. 下列各式中正确的是(　　)

A.  B.  C. ±4 D. 3

5. 一次函数的图象不经过

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

6. 如图，△AOC≌△BOD，点A与点B是对应点，那么下列结论中错误的是（　　）

A. AB＝CD B. AC＝BD C. AO＝BO D. ∠A＝∠B

7. 点A（﹣1，y1）和点B（﹣4，y2）都在直线y＝﹣2x上，则y1与y2的大小关系为（    ）

A. y1＞y2 B. y1＜y2 C. y1＝y2 D. y1≥y2

8. 如图，已知正方形B的面积为144，正方形C的面积为169时，那么正方形A的面积为（   ）

A. 313 B. 144 C. 169 D. 25

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）

9. 49的平方根是_____．

10. 数0.0158（精确到0.01）≈______．

11. 若y＝mx|m﹣1|是正比例函数，则m的值______．

12. 等腰三角形的两边长分别为2和4，则这个三角形的周长为______．

13. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，若点在x轴上，则点的坐标是___________．

14. 如图，已知△ABC≌△ADE，∠B＝25°，∠E＝98°，∠EAB＝20°，则∠BAD的度数为 _____．

15. 如图，将直线OA向上平移3个单位长度，则平移后的直线的表达式为_____．

16. 如图，一株荷叶高出水面，一阵风吹过，荷叶被风吹的贴着水面，这时它偏离原来位置有远，则荷叶原来的高度是_______．

17. 如图，△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是_____cm．

18. 如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，∠A=30°，点A（-3，0），B（1，0）．根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：在Rt△ABC中，AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若点D是AB边上的动点，则CD+AD的最小值为______．

三、解答题（本大题共有8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19. 计算或求x的值：

（1）；

（2）4x2﹣81＝0

20. 已知y是x的一次函数，当x＝3时，y＝1;当x＝－2时，y＝－4．

（1）求这个函数的表达式；

（2）x为何值时，函数y的值为－1?

21. 已知：如图，．

（1）求证：；

（2）请直接判断与的位置关系．

22. 在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示．

（1）分别写出以下顶点的坐标：点A、点B．

（2）顶点C关于y轴对称的点C′的坐标．

（3）顶点B关于直线x＝﹣1的对称点坐标．

23. 一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上，云梯顶端离地面24m．

（1）这架云梯的底端距墙角有多远?

（2）如果云梯的顶端下滑了4m，那么它的底部在水平方向滑动了多少m？

24. 国庆期间，小龚自驾游去了离家156千米的月亮湾，如图是小龚离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象．

（1）求小龚出发36分钟时，离家的距离；

（2）求出AB段的图象的函数解析式；

（3）若小龚离目的地还有72千米，求小龚行驶了多少小时．

25. 函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们对函数y＝2|x＋1|﹣x﹣2展开探索，请补充完以下探索过程：

（1）列表：

直接写出m、n的值：m＝　 　，n＝　 　；

（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，结合图象填空：当x≤﹣1时，y随x的增大而　 　（填写“增大”或“减小”）；

（3）已知函数y＝﹣x＋4的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式2|x＋1|﹣x﹣2≤﹣x＋4的解集．

26. 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．

（1）发现：如图1，连接CE，则△BCE的形状是_______________，∠CDB=____________°；

（2）探索：如图2，点P为线段AC上一个动点，当点P在CD之间运动时，连接BP，作∠BPQ=60°，PQ交射线DE于Q，连接BQ，即△BPQ是等边三角形；

思路：在线段BD上截取点H，使DH=DP，得等边△DPH，由∠DPQ=∠HPB，PD=PH，∠QDP=∠BHP，易证△PDQ≌△PHB（ASA），得PQ=PB，即△BPQ是等边三角形．

试判断线段DQ、DP、AD之间的关系，并说明理由；

（3）类比：如图3，当点P在AD之间运动时连接BP，作∠BPQ=60°，PQ交射线DE于Q，连接BQ．

①试判断△BPQ的形状，并说明理由；

②若AD=2，设AP=x，DQ=y，请直接写出y与x之间的函数关系式．

答案与解析

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）

1. 在千家万户团圆的时刻，我市一批医务工作者奔赴武汉与疫情抗争，他们是“最美逆行者”.下列艺术字中，可以看作是轴对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】把一个图形沿某一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，根据定义判断即可．

【详解】解：A、不是轴对称图形．

B、是轴对称图形．

C、不是轴对称图形．

D、不是轴对称图形．

故选：B．

【点睛】本题主要是考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．

2. 在下列各数中，无理数的是（    ）

A.  B. 0 C.  D. 3.14

【答案】C

【解析】

【分析】根据无理数的定义：无理数是无限不循环小数进行分析，即可得到答案．

【详解】、0、3.14是有理数，是无理数

故选：C．

【点睛】本题考查了无理数和有理数的知识；解题的关键是熟练掌握无理数的性质，从而完成求解．

3. 下列各点属于第一象限的是（    ）

A. （1，﹣2） B. （1，2） C. （﹣1，﹣2） D. （﹣1，2）

【答案】B

【解析】

【分析】根据第一象限的点的横坐标与纵坐标均为正数判断即可．

【详解】解：A、（1，﹣2）在第四象限，故此选项不符合题意；

B、（1，2）在第一象限，故此选项符合题意；

C、（﹣1，﹣2）在第三象限，故此选项不符合题意；

D、（﹣1，2）在第二象限，故此选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题主要考查了点的坐标，熟记各个象限的点的坐标特点是解答本题的关键．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．

4. 下列各式中正确的是(　　)

A.  B.  C. ±4 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】根据算术平方根定义、性质及立方根的定义逐一判断即可得．

【详解】解：A．2，故选项错误；

B．1，故选项正确；

C．4，故选项错误；

D．3，故选项错误．

故选：B．

【点睛】本题主要考查立方根与算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根定义、性质及立方根的定义．

5. 一次函数的图象不经过

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】根据一次函数的图像与性质解答即可.

【详解】∵-3<0，1>0，

∴图像经过一、二、四象限，不经过第三象限.

故选C.

【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y=kx+b（k为常数，k≠0），当k＞0，b＞0，y=kx+b的图象在一、二、三象限；当k＞0，b＜0，y=kx+b的图象在一、三、四象限；当k＜0，b＞0，y=kx+b的图象在一、二、四象限；当k＜0，b＜0，y=kx+b的图象在二、三、四象限．

6. 如图，△AOC≌△BOD，点A与点B是对应点，那么下列结论中错误的是（　　）

A. AB＝CD B. AC＝BD C. AO＝BO D. ∠A＝∠B

【答案】A

【解析】

【分析】根据全等三角形的对应边、对应角相等，可得出正确的结论，可得出答案．

【详解】∵△AOC≌△BOD，

∴∠A=∠B，AO=BO，AC=BD，

∴B、C、D均正确，

而AB、CD不是不是对应边，且CO≠AO，

∴AB≠CD，

故选A．

【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边、角相等是解题的关键．

7. 点A（﹣1，y1）和点B（﹣4，y2）都在直线y＝﹣2x上，则y1与y2的大小关系为（    ）

A. y1＞y2 B. y1＜y2 C. y1＝y2 D. y1≥y2

【答案】B

【解析】

【分析】由直线y=-2x的解析式判断k=−2<0，y随x的增大而减小，再结合点的坐标特征解题即可．

【详解】解：∵一次函数中一次项系数k=-2<0，

∴y随x的增大而减小，

∵-4<-1，

∴y1<y2．

故选B．

【点睛】本题考查一次函数的增减性，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

8. 如图，已知正方形B的面积为144，正方形C的面积为169时，那么正方形A的面积为（   ）

A. 313 B. 144 C. 169 D. 25

【答案】D

【解析】

【分析】设三个正方形的边长依次为，由于三个正方形的三边组成一个直角三角形，利用勾股定理即可解答．

【详解】设三个正方形的边长依次为，由于三个正方形的三边组成一个直角三角形，

所以，

故，

即.

故选：D

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）

9. 49的平方根是_____．

【答案】±7

【解析】

【分析】根据平方根的定义求解即可.

【详解】∵（±7）2=49，

∴49的平方根是±7．

故答案为：±7．

【点睛】如果个一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根．正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

10. 数0.0158（精确到0.01）≈______．

【答案】0.02

【解析】

【分析】根据近似数的精确度求解即可．

【详解】0.0158≈0.02（精确到0.01），

故答案为：0.02．

【点睛】考查了近似数：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．

11. 若y＝mx|m﹣1|是正比例函数，则m的值______．

【答案】2

【解析】

【分析】根据次数等于1，且系数不等于零求解即可．

【详解】解：由题意得

|m-1|=1，且m≠0，

解得m=2，

故答案为：2．

【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义是形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，其中k叫做比例系数．

12. 等腰三角形的两边长分别为2和4，则这个三角形的周长为______．

【答案】10

【解析】

【分析】分2是腰长与底边两种情况讨论求解．

【详解】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，

∵2+2=4，

∴不能组成三角形；

②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，

能组成三角形，

周长=2+4+4=10，

综上所述，三角形的周长为10．

故答案为：10．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．

13. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，若点在x轴上，则点的坐标是___________．

【答案】（6，-4）

【解析】

【分析】根据全等三角形的性质和点的坐标得出OA=OA′=6，OB=A′B′=4，即可得出答案．

【详解】解：∵A（-6，0），B（0，4），△OA′B′≌△OAB，
∴OA=OA′=6，OB=A′B′=4，
∴点B′的坐标是（6，-4），
故答案为：（6，-4）．

【点睛】本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的性质的应用，解此题的关键是求出OA=OA′=6，OB=A′B′=4．

14. 如图，已知△ABC≌△ADE，∠B＝25°，∠E＝98°，∠EAB＝20°，则∠BAD的度数为 _____．

【答案】

【解析】

【分析】根据全等三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理求出，再求出答案即可．

【详解】解：，，

，

，

，

，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，解题的关键是能熟记全等三角形的性质．

15. 如图，将直线OA向上平移3个单位长度，则平移后的直线的表达式为_____．

【答案】y＝2x+3

【解析】

【分析】设直线OA的解析式为：y＝kx，代入（1，2）求出直线OA的解析式，再将直线OA向上平移3个单位长度，得到平移后的直线的表达式．

【详解】设直线OA的解析式为：y＝kx，

把（1，2）代入，得k＝2，

则直线OA解析式是：y＝2x．

将其上平移3个单位长度，则平移后的直线的表达式为：y＝2x+3．

故答案是：y＝2x+3．

【点睛】本题考查了直线的平移问题，掌握直线的解析式以及直线平移的性质是解题的关键．

16. 如图，一株荷叶高出水面，一阵风吹过，荷叶被风吹的贴着水面，这时它偏离原来位置有远，则荷叶原来的高度是_______．

【答案】

【解析】

【分析】根据已知得出△OHB是直角三角形，得出OH2＋BH2＝BO2，进而求出h，即可得出答案．

【详解】解：如图所示：

设水面的深度为OH＝h米，则荷叶的高度为BO＝（h＋1）米．

由于△OHB是直角三角形，而BH＝3米，

所以 OH2＋BH2＝BO2，

即h2＋32＝（h＋1）2，

解得：h＝4，

所以，h＋1＝5，

故填：5．

【点睛】此题考查了勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

17. 如图，△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是_____cm．

【答案】15

【解析】

【分析】根据题意得在△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD，AB=2AE，又由△ADC的周长为9cm，即可求得AC+BC的值，继而求得△ABC的周长．

【详解】解：∵△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，
∴BD=AD，AB=2AE=6cm，
∵△ADC的周长为9cm，
∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=9cm，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=15cm．
故答案为：15．

【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用以及等量代换思想的应用．

18. 如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，∠A=30°，点A（-3，0），B（1，0）．根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：在Rt△ABC中，AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若点D是AB边上的动点，则CD+AD的最小值为______．

【答案】3

【解析】

【分析】作射线AG，使得∠BAG=30°，过D作DE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，故DE=AD，故CD+AD=CD+DE≥CF，求出CF即可．

【详解】解：∵点A（-3，0），B（1，0），∠CAO=30°，

∴AO=3，BO=1，AC=2OC，

∵AC2=AO2+OC2，即(2OC)2=32+OC2，

解得：OC=，

∴AC=2OC2，

作射线AG，使得∠BAG=30°，

过D作DE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，

∴DE=AD，

∴CD+AD=CD+DE≥CF，

∵∠CAG=∠CAB+∠BAG=60°，即∠ACF=30°，且AC=2，

∴AF=AC=，

CF==3，

∴CD+AD的最小值为3．

故答案为：3．

【点睛】本题考查了坐标与图形，含30°直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边一半，作出射线AG，使得∠BAG=30°是本题的关键．

三、解答题（本大题共有8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19. 计算或求x的值：

（1）；

（2）4x2﹣81＝0

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根的性质化简各数得出答案；

（2）整理后，直接利用平方根的定义化简得出答案．

【小问1详解】

解：

=4+-4

=；

【小问2详解】

解：方程整理得：x2=，

开方得：x=±．

【点睛】本题考查了立方根，平方根及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

20. 已知y是x的一次函数，当x＝3时，y＝1;当x＝－2时，y＝－4．

（1）求这个函数的表达式；

（2）x为何值时，函数y的值为－1?

【答案】（1）；（2）x=1时，函数y的值为－1.

【解析】

【分析】（1）先设出一次函数的关系式，再将时，；时，分别代入，即可列出方程，解方程即可；

（2）将代入即可求出x的值.

【详解】解：设一次函数的关系式为：y=kx＋b（k≠0）,

将时，；时，分别代入，得：

①-②得：5k=5

解得：k=1，

将k=1代入①得：b=-2

∴

∴这个一次函数的关系式为：；

（2）将代入中，

得：，

解得：x=1

∴x=1时，函数y的值为－1

【点睛】此题考查的是求一次函数的解析式，掌握用待定系数法求一次函数的解析式是解决此题的关键.

21. 已知：如图，．

（1）求证：；

（2）请直接判断与的位置关系．

【答案】（1）见详解；（2）AE∥CF，理由见详解

【解析】

【分析】（1）证得DF＝BE，可证明△ABE≌△CDF（SSS）．

（2）由全等三角形的性质得出∠AEB＝∠DFC，得出∠AEF＝∠EFC，则可得出结论．

【详解】（1）证明：∵DE＝BF，

∴DE−EF＝BF−EF．

即DF＝BE，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（SSS）．

（2）解：AE∥CF．

理由：∵△ABE≌△CDF，

∴∠AEB＝∠DFC，

∵∠AEB＋∠AEF＝∠DFC＋∠EFC＝180°，

∴∠AEF＝∠EFC，

∴AE∥CF．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

22. 在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示．

（1）分别写出以下顶点的坐标：点A、点B．

（2）顶点C关于y轴对称的点C′的坐标．

（3）顶点B关于直线x＝﹣1的对称点坐标．

【答案】（1），；（2）（2，5）；（3）（-5，0）

【解析】

【分析】（1）结合题意，根据直角坐标系、坐标的性质分析，即可得到答案

（2）根据直角坐标系和轴对称的性质，坐标的横坐标取相反数，纵坐标保持不变，即可得到答案；

（3）设顶点B关于直线x＝﹣1的对称点坐标：，根据直角坐标系和轴对称的性质，列一元一次方程并求解，即可得到答案．

【详解】（1）点A坐标为：，点B坐标为：；

（2）根据题意，点C坐标为：

顶点C关于y轴对称的点C′的坐标：；

（3）设顶点B关于直线x＝﹣1的对称点坐标：

∵点B坐标为：

∴

∴

∴顶点B关于直线x＝﹣1的对称点坐标：．

【点睛】本题考查了直角坐标系、轴对称、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、坐标、轴对称的性质，从而完成求解．

23. 一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上，云梯顶端离地面24m．

（1）这架云梯的底端距墙角有多远?

（2）如果云梯的顶端下滑了4m，那么它的底部在水平方向滑动了多少m？

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】根据题意，画出图形，

（1）在 中，直接根据勾股定理，即可求解；

（2）设它的底部在水平方向滑动了 ，即 ，则 ，在 中，由勾股定理，即可求解．

【详解】解：根据题意，画出图形，如下图：

（1）根据题意得： ， ，

在 中，由勾股定理得：

，

即这架云梯的底端距墙角 ；

（2）设它的底部在水平方向滑动了 ，即 ，则 ，

根据题意得： ， ，则 ，

在 中，由勾股定理得： ，

即 ，

解得： ，

即它的底部在水平方向滑动了．

【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．

24. 国庆期间，小龚自驾游去了离家156千米的月亮湾，如图是小龚离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象．

（1）求小龚出发36分钟时，离家的距离；

（2）求出AB段的图象的函数解析式；

（3）若小龚离目的地还有72千米，求小龚行驶了多少小时．

【答案】（1）36千米   

（2）y＝90x-24 （0.8≤x≤2）   

（3）1.2小时

【解析】

【分析】（1）由OA段可求得此时小龚驾车的速度，从而可求得36分钟离家的距离；

（2）用待定系数法．AB段过点A与B，把这两点的坐标代入所设函数解析式中即可求得函数解析式；

（3）由题意可得小龚离家的距离，根据（2）中求得的函数解析式的函数值，解方程即可求得x的值，从而求得小龚行驶的时间．

【小问1详解】

在OA段，小龚行驶的速度为：48÷0.8=60（千米/时），36分钟=0.6小时，则小龚出发36分钟时，离家的距离为60×0.6=36（千米）；

【小问2详解】

由图象知： ，

设AB段的函数解析式为：

把A、B两点的坐标分别代入上式得：

解得：

∴AB段的函数解析式为（0.8≤x≤2）

【小问3详解】

由图象知，当小龚离目的地还有72千米时，他已行驶了156−72=84（千米）

所以在中，当y=84时，即，得

即小龚离目的地还有72千米，小龚行驶了1.2小时．

【点睛】本题考查了一次函数（正比例函数）的图象与性质，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量的值等知识，数形结合是本题的关键．

25. 函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们对函数y＝2|x＋1|﹣x﹣2展开探索，请补充完以下探索过程：

（1）列表：

直接写出m、n的值：m＝　 　，n＝　 　；

（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，结合图象填空：当x≤﹣1时，y随x的增大而　 　（填写“增大”或“减小”）；

（3）已知函数y＝﹣x＋4的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式2|x＋1|﹣x﹣2≤﹣x＋4的解集．

【答案】（1）5，2；（2）见解析，减小；（3）﹣3≤x≤3

【解析】

【分析】（1）把、2分别代入即可求得、的值；

（2）描点连线即可作出函数图象；观察函数图象，即可得出当时，随的增大而减小，

（3）观察函数图象即可求解．

【详解】解：（1）把代入得，；

把代入得，；

，，

故答案为：5，2；

（2）描点连线作出如下图所示函数图象，

观察图象，当时，随的增大而减小，

故答案为减小；

（3）从图上看，两个函数的交点为、，

故不等式的解集为：．

【点睛】本题考查了一次函数图象与性质，一次函数与一元一次不等式，解题的关键数形结合思想是解决问题的关键．

26. 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．

（1）发现：如图1，连接CE，则△BCE的形状是_______________，∠CDB=____________°；

（2）探索：如图2，点P为线段AC上一个动点，当点P在CD之间运动时，连接BP，作∠BPQ=60°，PQ交射线DE于Q，连接BQ，即△BPQ是等边三角形；

思路：在线段BD上截取点H，使DH=DP，得等边△DPH，由∠DPQ=∠HPB，PD=PH，∠QDP=∠BHP，易证△PDQ≌△PHB（ASA），得PQ=PB，即△BPQ是等边三角形．

试判断线段DQ、DP、AD之间的关系，并说明理由；

（3）类比：如图3，当点P在AD之间运动时连接BP，作∠BPQ=60°，PQ交射线DE于Q，连接BQ．

①试判断△BPQ的形状，并说明理由；

②若AD=2，设AP=x，DQ=y，请直接写出y与x之间的函数关系式．

【答案】（1）等边三角形，60；   

（2）AD=DQ+DP，见解析；   

（3）①△BPQ是等边三角形，见解析；② y=-x+4

【解析】

【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余求得∠ABC=60°，再根据角平分线的定义求得∠ABD=∠CBD=∠A=30°，则AD=BD，根据等腰三角形的性质证得AE=BE，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=BE，根据等边三角形的判定即可得出结论；

（2）根据思路和全等三角形的性质得出BH=DQ，结合AD=BD，BD=DH+BH即可解答；

（3）延长BD至F，使DF=PD，连接PF，可证得△PDF是等边三角形，则有PF=PD，∠F=∠PDF=∠DPF=60°，进而可得∠F=∠PDQ=60°，证明∠BPF=∠QPD，利用ASA证明△PBF≌△PQD，得出PB=PQ，BF=DQ，结合∠BPQ=60°和AD=BD即可得出①②的结论．

【小问1详解】

解：如图1，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，

∴∠ABC=60°，

∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°，

∴∠ABD=∠A，∠CDB=90°－∠CBD=60°，

∴AD=BD，又DE⊥AB，

∴AE=BE=AB，又∠ACB=90°，

∴CE=AB=BE，又∠ABC=60°，

∴△BCE是等边三角形，

故答案为：等边三角形，60；

【小问2详解】

解：AD=DQ+DP，理由为：

在线段BD上截取点H，使DH=DP，如图2，

∵∠CDB=60°，

∴△DPH为等边三角形，

∴DP=PH，∠DPH=∠DHP=60°，又∠BPQ=60°，

∴∠DPQ+∠QPH=∠HPB+∠QPH=60°，∠BHP=120°，

∴∠DPQ=∠HPB，

∵∠A=30°，DE⊥AB，

∴∠QDP=∠A+∠AED=30°+90°=120°，

∴∠QDP=∠BHP，

在△PDQ≌△PHB中，

∴△PDQ≌△PHB（ASA），

∴DQ=BH，PQ=PB，

∵AD=BD，∠BPQ=60°，

∴△BPQ为等边三角形，AD=BD=BH+DH=DQ+DP，

即AD=DQ+DP；

【小问3详解】

解：①△BPQ为等边三角形，理由为：

延长BD至F，使DF=DP，连接PF，设DQ和BP相交于O，如图3，

∵∠PDF=∠CDB=60°，

∴△PDF为等边三角形，

∴PF=DP，∠F=∠PDF=∠DPF=60°，

∵∠A=30°，DE⊥AB， 

∴∠PDQ=90°－∠A=60°，

∴∠F=∠PDQ=60°，

∵∠DPF+∠DPB =∠BPQ+∠DPB，又∠BPQ=60°，

∴∠BPF=∠QPD，

在△PBF和△PQD中，

，

∴△PBF≌△PQD（ASA），

∴PB=PQ，BF=DQ，又∠BPQ=60°，

∴△BPQ为等边三角形；

②∵ DF=DP，BF=DQ，AD=BD，

∴DQ=BF=BD+DF=AD+DP，

∵AD=2， AP=x，DQ=y，

∴y=2+2－x，即y=－x+4．

【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系和运用，利用类比的方法解决问题是解答的关键．