上海市嘉定区部分学校联考2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年上海市嘉定区部分学校联考九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    如果，那么下列比例式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    已知两个相似三角形的相似比为：，那么它们的面积比为(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

3.    下列各组条件中，一定能推得与相似的是(    )

A. 且 B. 且
C. 且 D. 且

4.    如果点是的重心，是边的中点，那么：的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.    已知、相交于点，下列条件中能判断的是(    )

A. ：： B. ：：
C. ：： D. ：：

6.    如果点、分别在的边上，，，，那么等于(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7.    如果，那么 ______ ．
8.    如果，，那么______．
9.    长为、的线段的比例中项长是______．
10. 如果，那么用、表示为：______．
11. 在中，点、分别在线段、的延长线上，，，，，那么______．
12. 在中，点、分别在边、上，，，，，那么______．
13. 在中，，，垂足，，的周长是，那么的周长是______．
14. 如果与相似，的三边之比为：：，的最长边是，那么的最短边是______．
15. 如图，已知为的角平分线，，如果，那么______．

16. 长度为的倍，且与是平行向量的向量是______．
17. 如果，，那么用表示______．
18. 如图，在梯形中，，与相交于点，如果：：，那么：______．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    已知：如图，已知两个不平行的向量、求作：写出结论，不要求写作法．

20. 本小题分
    已知线段，．
    当时，求的值；
    当时，求的值．
21. 本小题分
    已知：如图，在中，点、分别在、上，，点在边上，且，与相交于点求证：．

22. 本小题分
    如图，已知点是的重心，联结、、，延长交于点，设，，分别用、表示向量、．

23. 本小题分
    已知点、、在一条直线上，，且，求的长．
24. 本小题分
    已知：如图，在▱中，点、分别在边、上，，．
    求证：；
    如果，求证：．

25. 本小题分
    如图，在中，，，点、分别在、上，，，、的延长线相交于点，连接．
    求证：；
    设，，求关于的函数解析式，并写出其定义域；
    当与相似时，求的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，
，故不符合题意；
B、，
，故不符合题意；
C、，
，故符合题意；
D、，
，故不符合题意，
故选：．
从选项判断，把每一个比例式化成等积式即可解答．
本题考查了比例的性质，把比例式化成等积式是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：两个相似三角形的相似比是：，
它们的面积为：．
故选：．
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果．
此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项A，，，
∽，
故选项A符合题意．
选项B，，不符合题意．
故选：．
利用相似三角形的性质解决问题即可．
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：点是的重心，是边的中点，
那么：的值为：，
故选：．
根据重心的概念得出，即可得出答案．
此题主要考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的倍．
 

5.【答案】 

【解析】解：、与，与不是对应线段，不能判定，故本选项不符合题意；
B、：：，能判定，故本选项符合题意；
C、与，与不是对应线段，不能判定，故本选项不符合题意；
D、：：不能判定，故本选项不符合题意．

故选：．
根据平行线分线段成比例定理对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了平行线分线段成比例定理，根据图形准确找出对应线段是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
，
，
，
，
，，
．
故选：．
由，可得∽，，可得，进而可得．
本题考查了相似三角形的性质以及平面向量知识点，掌握相似三角形的面积之比等于对应边比的平方是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了比例的基本性质，比较简单，是基础题．
先由已知条件可得，整理后再根据比例的性质即可求得的值．
【解答】
解：，
，
整理，得，
．
故答案为：．  

8.【答案】 

【解析】解：，，
，，
．
故答案为：．
由，，根据比例的性质，即可求得的值．
此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例变形．
 

9.【答案】 

【解析】解：两条线段的长为和，
则这两条线段的比例中项，
负值舍去，
故答案为：．
根据比例中项的定义进行计算．
此题考查了比例中项的定义．解题的关键是熟记比例中项的定义．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
利用一元一次方程的求解方法，求解此题即可求得答案．
此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握一元一次方程的求解方法是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，，，
，
，
．
故答案为：．
由，根据平行线分线段成比例定理，即可得，又由，，，即可求得的值．
此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
∽，
，
，，，
，
．
故答案为：．
由，，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得∽，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得的值．
此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
∽，
：：：，
的周长是，
的周长是；
故答案为：．
根据两角对应相等证∽，再根据相似三角形周长之比等于相似比求出的周长．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练应用勾股定理和相似三角形的判定与性质，相似三角形周长之比等于相似比是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设的最短边为，的三边分别为，，，
与相似，
：：，
，
即的最短边是．
故答案为．
设的最短边为，由的三边之比为：：，则可设的三边分别为，，，由于与相似，根据相似三角形的性质得到：：，即可求出．
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
又，
，
又为的角平分线，，
，
，
，
故答案为：．
由可得，进而结合题干中的条件得到，即可求解．
本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例．
 

16.【答案】或 

【解析】解：长度为的倍，且与是平行向量的向量是或．
故答案为：或．
平行向量的方向有两个：相同或相反．据此写出答案．
本题主要考查了平面向量，注意要分类讨论：平行向量的方向有相同方向和相反方向两种情况．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
，，
，
，
，
故答案为：．
利用加减消元的思想，消去即可解决问题．
本题考查平面向量，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】： 

【解析】解：设点到的距离为，
：：，
，
，
，
∽，
，
即：：，
故答案为：：．
先由：：，求得，再由，证明∽，得，即：：，于是得到问题的答案．
此题重点考查相似三角形的判定与性质，根据：：，求得，并且证明∽是解题的关键．
 

19.【答案】解：向量与向量的方向相同，且向量的模是向量的模的向量与向量的方向相同，且其模的长度为的模的倍．
其图示如下：

即为所求． 

【解析】根据平面向量的方向和大小，先作出，然后根据三角形法则组图即可．
本题考查了平面向量的知识，解答此题要熟悉三角形法则．
 

20.【答案】解：由得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
．
由得：，
整理得：．
．
或．
或舍去．
． 

【解析】由比例的性质对比例式进行变形，然后去括号、移项、合并同类项可得到；
由比例的性质对比例式进行变形从而得到，然后分解得．
本题主要考查的是比例的性质、因式分解、将分解为是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，
，，
，
，
，
，
∽，
，
． 

【解析】由，得，，而，则，再证明，则，即可证明∽，得，变形为即可．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，找到相似三角形的对应边和对应角并且证明∽是解题的关键．
 

22.【答案】解：，，
，
，
，，
点是的重心，
，
，
． 

【解析】利用三角形法则求出，再根据，可求得，，再由重心定理得，求得，再利用三角形法则求得．
本题考查了平面向量，三角形的重心，关键是掌握三角形的重心定理，三角形法则．
 

23.【答案】解：分三种情况：
当点在线段上，如图：

，
点是的黄金分割点，
；
当点在线段的延长线时，如图：

设，则，
，
，
整理得：，
原方程没有实数根；
当点在线段的延长线时，如图：

设，则，
，
，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
的长为；
综上所述，的长为或． 

【解析】分三种情况：当点在线段上，当点在线段的延长线时，当点在线段的延长线时，然后分别进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，分三种情况讨论是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，
．
由得，∽，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
． 

【解析】由，得，再证明，则∽，得，由，，且，得，即可证明∽，得，整理得；
由∽，得，可证明，则，变形为，则，得，即可证明∽，得，所以．
此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明∽及∽是解题的关键．
 

25.【答案】解：，，，，
，，，，
，，
，
，
∽，
；
由知，∽，
，
即，
；
，，
当与相似时，，
，
又∽，
，
，
又，
，
即，
中，，
由∽，可得，
即，
，
，
的面积． 

【解析】根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，可得∽，进而得出对应角相等；
根据∽，得出，即，可得关于的函数解析式，根据三角形三边关系可得；
根据，，可得当与相似时，，进而得到，再根据，即可得到，即，再根据勾股定理以及相似三角形的性质，即可得出的长，进而得到的面积．
本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用以及三角形面积的计算，解题时注意：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．解决第问的关键是依据相似三角形的对应角相等得出．