专题04 反比例函数模型（专项突破）-【一题三变系列】最新九年级数学下册重要考点题型精讲精练(人教版)

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专项突破04 反比例函数模型
【思维导图】

◎突破一 一点一垂线
例．（2020·河北·石家庄外国语学校九年级期中）反比例函数y＝图象如图所示，下列说法正确的是（　　）

A．k＞0
B．y随x的增大而减小
C．若矩形OABC面积为2，则k＝﹣2
D．若图象上点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是y＜1
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断；根据反比例函数系数k的几何意义对C进行判断．
【详解】解：A、反比例函数图象分布在第二、四象限，则k＜0，所以A选项错误；
B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误；
C、矩形OABC面积为2，则|k|＝2，而k＜0，所以k＝﹣2，所以C选项正确；
D、若图象上点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是0＜y＜1，所以D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．
专训1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，函数（x＞0）和（x＞0）的图象将第一象限分成三个区域，点M是②区域内一点，MN⊥x轴于点N，则△MON的面积可能是（       ）

A．0.5． B．1． C．2． D．3.5．
【答案】C
【分析】分别假设点M在和上，即可得出△MON面积可能的值．
【详解】解：∵点M是②区域内一点，且MN⊥x轴于点N，
假设点M落在上，
根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为1，
假设点M落在上，
根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为3，
∴△MON的面积可能是2，
故选C．
【点睛】考查了反比例函数的图象的知识，解题的关键是了解系数k的几何意义．
专训2．（2022·湖南娄底·九年级期末）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是(　　)

A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象上点的几何意义求解即可．
【详解】解：连接OA，如图，
∵轴，
∴OC∥AB，
∴
而
∴
∵
∴
故选D．

【点睛】本题考查了反比例函数解析式，解决此题的关键是能正确利用反比例函数图像上点的意义．
专训3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，面积为2的Rt△OAB的斜边OB在x轴上，∠ABO＝30°，反比例函数图象恰好经过点A，则k的值为（　　）

A．﹣2 B．2 C． D．﹣
【答案】D
【分析】作AD⊥OB于D，根据30°角的直角三角形的性质得出OA＝OB，然后通过证得△AOD∽△BOA，求得△AOD的面积，然后根据反比例函数的几何意义即可求得k的值．
【详解】解：作AD⊥OB于D，

∵Rt△OAB中，∠ABO＝30°，
∴OA＝OB，
∵∠ADO＝∠OAB＝90°，∠AOD＝∠BOA，
∴△AOD∽△BOA，
∴，
∴S△AOD＝S△BOA＝×2＝，
∵S△AOD＝|k|，
∴|k|＝，
∵反比例函数y＝图象在二、四象限，
∴k＝﹣，
故选D．
【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，求得△AOD的面积是是解答此题的关键．
◎突破二 一点两垂线
例．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A是反比例函数y=的图象上的一点，过点A作□ ABCD，使点C在x轴上，点D在y轴上，若□ABCD面积为6，则k的值是（     ）

A．1 B．3 C．6 D．-6
【答案】C
【分析】作AE⊥BC于E，由四边形ABCD为平行四边形得AD//x轴，则可判断四边形ADOE为矩形，所以平行四边形ABCD的面积=矩形ADOE的面积，根据反比例函数k的几何意义得到矩形ADOE的面积=|−k|，则|−k|=6，利用反比例函数图象得到−k0，于是有k=6．
【详解】解：作AE⊥BC于E，如图，


∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//x轴，∴四边形ADOE为矩形，
∴，而 =|−k|，
∴|−k|=6，而−k0，∴k=6．
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数(k≠0)系数k的几何意义：从反比例函数(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
专训1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B，C，则矩形ABOC的面积为（     ）

A．-4 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】根据反比函数的几何意义，可得矩形ABOC的面积等于比例系数的绝对值，即可求解．
【详解】解：∵点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，
∴矩形ABOC的面积 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比函数的几何意义，熟练掌握本题主要考查了反比例函数 中 的几何意义，即过双曲线上任意一点引 轴、 轴垂线，所得矩形面积等于 是解题的关键．
专训2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，A，B 两点在双曲线 y＝上，分别经过 A，B 两点向轴作垂线段，已知阴影小矩形的面积为 1，则空白两小矩形面积的和 S1+S2＝______．

【答案】4
【分析】欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=的系数k，由此即可求出S1+S2．
【详解】解：∵点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=3，
∴S1+S2=3+3-1×2=4．
故答案为4．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度．
专训3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为4，则这个反比例函数的解析式为___________．

【答案】y=﹣．
【详解】试题分析：过A点向x轴作垂线，与坐标轴围成的四边形的面积是定值|k|，由此可得出答案．
解：过A点向x轴作垂线，如图：
根据反比例函数的几何意义可得：四边形ABCD的面积为4，即|k|=4，
又∵函数图象在二、四象限，
∴k=﹣4，
即函数解析式为：y=﹣．
故答案为y=﹣．

考点：反比例函数系数k的几何意义．

◎突破三 两点一垂线
例．（2021·全国·九年级专题练习）如图，A、B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为(       )．

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据题意，根据反比例函数的性质，设点A坐标为：，再根据坐标系中两点关于原点对称的性质，得点B坐标；过点做交延长线于点，根据直角坐标系的性质，得的值，通过计算即可得到答案．
【详解】根据题意，设点A坐标为：，且
∵A、B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点
∴点B坐标为：
∵过点A作AC⊥x轴于点C
∴点C坐标为：
∴
如图，过点做交延长线于点

根据题意得：
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了直角坐标系、反比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、坐标系中两点关于原点对称、反比例函数的性质，从而完成求解．
专训1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，直y=mx与双曲线交于点A，B．过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM．若S△ABM=1，则k的值是（　　）

A．1 B．m﹣1 C．2 D．m
【答案】A
【分析】利用三角形的面积公式和反比例函数的图象性质可知．
【详解】解：由图象上的点A、B、M构成的三角形由△AMO和△BMO的组成，点A与点B关于原点中心对称，
∴点A，B的纵横坐标的绝对值相等，
∴△AMO和△BMO的面积相等，且为，
∴点A的横纵坐标的乘积绝对值为1，
又因为点A在第一象限内，
所以可知反比例函数的系数k为1．
故选A．
【点睛】本题利用了反比例函数的图象在一、三象限和而确定出k的值．
专训2．（2022·辽宁沈阳·九年级期末）如图，直线与双曲线交于点A,B．过点A作轴，垂足为点P，连接．若B的坐标为，则_______．

【答案】3
【分析】先根据反比例函数和正比例函数的性质求出点的坐标，从而可得的长，再根据三角形的面积公式即可得．
【详解】解：由题意得：点与点关于原点对称，
，
，边上的高为2，
轴，
，
则，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数，熟练掌握反比例函数和正比例函数的性质（对称性）是解题关键．
专训3．（2022·四川遂宁·中考真题）已知一次函数（a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数交于B、C两点，B点的横坐标为．

(1)求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；
(2)求出点C的坐标，并根据图象写出当时对应自变量x的取值范围；
(3)若点B与点D关于原点成中心对称，求出△ACD的面积．
【答案】(1)，画图象见解析
(2)点C的坐标为（3，2）；当时，或
(3)
【分析】（1）根据B点的横坐标为-2且在反比例函数y2=的图象上，可以求得点B的坐标，然后代入一次函数解析式，即可得到一次函数的解析式，再画出相应的图象即可；
（2）将两个函数解析式联立方程组，即可求得点C的坐标，然后再观察图象，即可写出当y1＜y2时对应自变量x的取值范围；
（3）根据点B与点D关于原点成中心对称，可以写出点D的坐标，然后点A、D、C的坐标，即可计算出△ACD的面积．
（1）
解：∵B点的横坐标为-2且在反比例函数y2=的图象上，
∴y2==-3，
∴点B的坐标为（-2，-3），
∵点B（-2，-3）在一次函数y1=ax-1的图象上，
∴-3=a×（-2）-1，
解得a=1，
∴一次函数的解析式为y=x-1，
∵y=x-1，
∴x=0时，y=-1；x=1时，y=0；
∴图象过点（0，-1），（1，0），
函数图象如图所示；
；
（2）
解：解方程组，
解得或，
∵一次函数y1=ax-1（a为常数）与反比例函数y2=交于B、C两点，B点的横坐标为-2，
∴点C的坐标为（3，2），
由图象可得，当y1＜y2时对应自变量x的取值范围是x＜-2或0＜x＜3；
（3）
解：∵点B（-2，-3）与点D关于原点成中心对称，
∴点D（2，3），
作DE⊥x轴交AC于点E，
将x=2代入y=x-1，得y=1，
∴S△ACD=S△ADE+S△DEC= =2，
即△ACD的面积是2．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

◎突破四 两点两垂线
例．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A是第一象限内双曲线y＝（m＞0）上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y＝（n＜0）于点B，作AC∥y轴，交双曲线y＝（n＜0）于点C，连接BC．若△ABC的面积为，则m，n的值不可能是（　　）

A．m＝，n＝﹣ B．m＝，n＝﹣
C．m＝1，n＝﹣2 D．m＝4，n＝﹣2
【答案】A
【分析】设A的坐标为（x，），分别表示出点B和点C的坐标，再根据三角形的面积公式得出，再将各个选项中的值代入比较，据此进行判断即可．
【详解】解：∵点A是第一象限内双曲线y＝（m＞0）上一点，
∴设A的坐标为（x，），
∵AB∥x轴，AC∥y轴，且B、C两点在y＝（n＜0）上，
∴B的坐标为（，），C的坐标为（x，），
∴AB=，AC=，
∵△ABC的面积为，
∴，
∴=9，
∴，
∵将m和n的值代入，只有选项A中不符合．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的特征，三角形形的面积等知识及综合应用知识、解决问题的能力．
专训1．（2021·全国·九年级专题练习）点A，B分别是双曲线上的点，轴正半轴于点C，轴于点D，联结AD，BC，若四边形ACBD是面积为12的平行四边形，则________．
【答案】6
【分析】首先根据平行四边形的性质得出，从而有，然后根据k的几何意义求解即可．
【详解】如图，

∵点A，B分别是双曲线上的点，轴正半轴于点C，轴于点D，
．
∵四边形ACBD是面积为12的平行四边形，
，
∴A，B关于原点对称，
，
，
，
，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质以及k的几何意义，掌握平行四边形的性质以及k的几何意义是解题的关键．
专训2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于点A，B，过点A，B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，连接BM，AN．若S四边形AMBN＝1，则k的值是_______．

【答案】
【分析】先证明四边形AMBN是平行四边形，的面积实际上就是面积的2倍，则S△ABM＝，结合图象可知．
【详解】解：∵OA=OB，ON=OM，
∴四边形AMBN是平行四边形，
∵S四边形AMBN＝1，
∴S△ABM＝，
设点A的坐标为（x，y），
∴B的坐标为（−x，−y），
∴×2x×y＝，
∴xy＝，
∴k＝xy＝．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，掌握反比例函数的比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积，是解题的关键．

◎突破五 两点和原点
例．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，直线y＝－x与双曲线y＝交于A，B两点，点C在x轴上，连接AC，BC．当AC⊥BC，S△ABC＝15时，k的值为（       ）

A．－10 B．－9 C．－6 D．－4
【答案】B
【分析】先利用自正比例函数和反比例函数的性质得到点A与点B关于原点对称，OA＝OB，再根据斜边上的中线性质得到OA＝OB＝OC，设设B（t，−t），则 A（−t，t），利用勾股定理表示出OA＝，OC＝，接着利用三角形面积公式得到××（t+t）＝15，解出t得到A（−，2），进而可求出k的值．
【详解】解：∵直线y＝－x与双曲线y＝交于A，B两点，
∴点A与点B关于原点对称，OA＝OB，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴OA＝OB＝OC，
设B（t，−t），则 A（−t，t），
∴OA＝，
∴OC＝，
∵S△ABC＝15，
∴××（t+t）＝15，解得t＝，
∴A（−，2），
把A（−，2）代入y＝，得k＝−×2＝−9．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握正比例函数图像和反比例函数图像的中心对称性，是解题的关键，也考查了待定系数法求函数解析式和直角三角形的性质．
专训1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A（m，1），B（2，n）在双曲线（k≠0），连接OA，OB．若S△ABO＝8，则k的值是（　　）

A．﹣12 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4
【答案】C
【分析】过A作y轴的垂线，过B作x轴的垂线，交于点C，连接OC，设A（k，1），B（2， k），则AC＝2﹣k，BC＝1﹣k，利用，可计算出的值.
【详解】解：过A作y轴的垂线，过B作x轴的垂线，交于点C，连接OC，如下图所示：

设A（k，1），B（2， k），则AC＝2﹣k，BC＝1﹣k，
∵，
∴，
即 ，
解得 ，
∵，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征，熟知反比例函数图像的性质和坐标与线段之间转化是解题关键.
专训2．（2022·福建三明·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点在双曲线y＝和y＝上，对角线AC，BD均过点O，AD∥y轴，若S四边形ABCD＝12，则k＝_____．

【答案】-4
【分析】通过平行四边形的性质得到△AOD的面积为3，再根据反比例函数系数k的几何意义得到．
【详解】解：由双曲线的对称性得OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∵AD∥y轴，
∴，
∴，
解得k＝-4或k＝4（舍），
故答案为：-4．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键是根据题干得到△AOD的面积．
专训3．（2021·浙江·温州外国语学校二模）如图，是反比例函数图象上一点，过分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点，点，且分别交反比例函数图象于点，点，连结，，若图中阴影部分的面积为4，则的值为________．

【答案】7
【分析】连接CD，作轴，垂足为E，设，得到D，C，E的坐标，分别表示出△OCD和△DPC的面积，根据，即可得到k值．
【详解】解：连接CD，作轴，垂足为E，

设，则，，，
∴，，，
∴．
．
∴，
∴，
∴．
故答案为：7．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．

◎突破六 两曲-平行
例．（2022·湖南衡阳·八年级期中）如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，分别与反比例函数y（x＞0）和y（x＞0）的图象交于B、A两点．若点C是y轴上任意一点，则△ABC的面积为（       ）
A．3 B．6 C．9 D．
【答案】D
【分析】设P（a，0），由直线APB与y轴平行，得到A和B的横坐标都为a，将x＝a代入反比例函数y和y中，分别表示出A和B的纵坐标，进而由AP＋BP表示出AB，三角形ABC的面积AB×P的横坐标，求出即可．
【详解】解：设P（a，0），a＞0，则A和B的横坐标都为a，

将x＝a代入反比例函数y中得：y，故A（a，）；
将x＝a代入反比例函数y中得：y，故B（a，），
∴AB＝AP＋BP，
则S△ABCAB•xP，
故选D．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象k的几何意义，解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数k的几何意义.
专训1．（2022·江西南昌·九年级期末）如图，两个反比例函数y和y在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（       ）

A．1 B．2 C．4 D．无法计算
【答案】A
【分析】根据反比例函数y（k≠0）系数k的几何意义得到S△POA4＝2，S△BOA2＝1，然后利用S△POB＝S△POA﹣S△BOA进行计算即可．
【详解】∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，
∴S△POA4＝2，S△BOA2＝1，
∴S△POB＝2﹣1＝1.
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数y（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
专训2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1（x＞0）及y2（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为3，则k1﹣k2的值等于（       ）

A．1 B．3 C．6 D．8
【答案】C
【分析】先根据反比例函数k的几何意义可得△AOP的面积为，△BOP的面积为，由题意可知△AOB的面积为3，最后求出k1﹣k2的值即可．
【详解】解：由反比例函数k的几何意义可得：△AOP的面积为，△BOP的面积为，
∴△AOB的面积为，
∴3，
∴k1﹣k2＝6.
故选C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，掌握反比例函数中k表示相关三角形的面积成为解答本题的关键．
专训3．（2021·北京·首都师范大学附属育新学校九年级开学考试）如图，在中，，轴，点A在反比例函数的图象上．若点B在y反比例函数的图象上，则k的值为（       ）

A． B． C．3 D．－3
【答案】D
【分析】设，根据平行线的性质求出B点坐标，计算即可；
【详解】设点A的坐标为，
∵轴，
∴令，则，
∴，
∴，
∴；
故答案选D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的解析式求解，准确计算是解题的关键．