2023届黑龙江省实验中学高三上学期第一次月考数学试题含解析

2023届黑龙江省实验中学高三上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求出集合M，N，然后进行并集的运算即可.

【详解】∵，，

∴.

故选：C.

2．已知命题p：，，则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】由否定定义求解即可.

【详解】由否定的定义可知，为，.

故选：D

3．若，，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由，得，利用“”的代换求最值.

【详解】因为，，且，

所以，

所以，

当且仅当时，取等号，

所以的最小值为，

故选：A.

4．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义，对每个选项进行逐一判断，即可选择.

【详解】对：容易知是偶函数，且在单调递减，故错误；

对：容易知是偶函数，当时，，

其在单调递增，在单调递减，故错误；

对：容易知是偶函数，当时，是单调增函数，故正确；

对：容易知是奇函数，故错误；

故选：C.

5．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；

解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.

【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，

根据已知得到了函数的图象，所以，

令,则,

所以,所以；

解法二：由已知的函数逆向变换，

第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，

第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，

即为的图象，所以.

故选：B.

6．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．

【详解】将式子进行齐次化处理得：

．

故选：C．

【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．

7．在中，内角所对的边分别为．若，且的面积是1，则的外接圆的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先由已知条件利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理可求出，然后利用正弦定理求出的外接圆半径，从而可求出的外接圆的面积.

【详解】因为，且的面积是1，

所以，得，

由余弦定理得，

因为，所以，

设的外接圆半径为，则由正弦定理得

，得，

所以的外接圆面积为，

故选：B

8．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用导数判断出函数的单调性，即可根据单调性的定义解出．

【详解】因为，所以，即函数单调递增，由可得，，解得．

故选：D．

二、多选题

9．已知函数，都有成立，且任取，，，以下结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．若，则

【答案】BCD

【分析】由已知条件可得函数的图像关于直线对称，函数在为增函数，然后逐个分析判断即可

【详解】由函数满足，则函数的图像关于直线对称，

又，，则函数在为增函数，

对于选项A，因为，所以，即A错误；

对于选项B，由已知有在为减函数，在为增函数，即，即B正确；

对于选项C，，又在为增函数，所以，即C正确；

对于选项D，当，则，则，即D正确，

故选：BCD．

10．函数的部分图像如图所示，则（    ）

A．

B．

C．在区间上存在506个零点

D．将的图像向右平移3个单位长度后，得到函数的图像

【答案】BD

【分析】根据已知条件求得，结合三角函数的零点、三角函数图像变换等知识确定正确答案.

【详解】由图可知，，，

，其中，所以，.

所以：

，A不正确.

，B正确.

由，，可得，.

由，可得，即，，

在区间上存在505个零点，C不正确.

将的图像向右平移3个单位长度后得到的图像，D正确.

故选：BD

11．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】利用正弦定理将已知式子统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可得角，再利用余弦定理可求得.

【详解】因为，

所以由正弦定理可得，

因为，所以，

所以，

所以，

得，

因为，所以，

因为，，

所以由余弦定理得，

因为，所以，

故选：AC

12．定义在上的函数满足，，则下列说法正确的是（    ）

A．在处取得极大值，极大值为

B．有两个零点

C．若在上恒成立，则

D．

【答案】ACD

【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再逐项分析即可判断作答.

【详解】，由得：，即，

令，而，则，即有，，

当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，

于是得在处取得极大值，A正确；

显然，即函数在上有1个零点，而时，恒成立，

即函数在无零点，因此，函数在定义域上只有1个零点，B不正确；

，，令，，

当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减，

因此，当时，，所以，C正确；

因函数在上单调递增，而，则，

又，则，即，D正确.

故选：ACD

【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.

三、填空题

13．已知点是角终边上一点， ，则__________．

【答案】

【分析】根据任意角的三角函数的定义列方程求解即可.

【详解】因为是角终边上一点， ，

所以，

解得（舍去），或，

故答案为：

14．若直线是曲线的切线，则________．

【答案】2

【分析】设切点，根据导数的几何意义列式求解即可.

【详解】对函数求导得，设直线与曲线相切于点，则，由点在切线上得，即，所以，解得，．

故答案为：2

15．已知函数定义城为，恒有，时；若函数有4个零点，则t的取值范围为______．

【答案】

【分析】先化简函数的解析式，再转化为两函数图象的交点去判断函数有4个零点时t的取值范围.

【详解】设，则，则，

设，则，

则

，

则，则，

函数图象如下：

由，可得，或，

由，可得，或，或，

则仅有一根，又，，

则，解之得，

故答案为：.

四、双空题

16．中，角的对边分别为，已知，则角______，的面积是__________.

【答案】         

【解析】由正弦定理求得，得到，进而得出，结合三角形的面积公式，即可求解.

【详解】由正弦定理得，则，

又因为，所以，所以，则，

则的面积为.

故答案为：；.

【点睛】本题主要考查了正弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

五、解答题

17．化简求值：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将看作是的和差，再利用正余弦的和差公式化简分子分母，从而求得结果；

（2）先利用三角函数的商数关系、辅助角公式、倍角公式、诱导公式化简与，再代入化简，即可求得结果.

【详解】(1)因为，

，

所以.

(2)因为

，

，

所以.

18．已知函数（为常数，）

(1)讨论函数的奇偶性；

(2)当，若方程在上有实根，求实数的取值范围．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）直接使用奇偶性的定义进行求解；

（2）在函数为偶函数的条件下，确定函数的解析式，并通过函数零点和方程根的关系，求解实数的取值范围．

【详解】(1)函数的定义域为，

又

①当时，即时，可得

即当时，函数为偶函数；

②当时，即时，可得

即当时，函数为奇函数；

③当时，函数为非奇非偶函数．

(2)由（1）可得，当函数为偶函数时，，

即时，

由题可得，

令，则有

，

又，当且仅当时，等号成立

根据对勾函数的性质可知，，即

①化简得，解得

化简得，解得

此时的取值不存在；

②化简得，解得

化简得，解得

此时，可得的取值为

综上可得

19．已知函数.

(1)求的最小正周期和对称轴方程；

(2)若函数在存在零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为

(2)

【分析】（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解；

（2）根据题意转化为在上有解，根据时，得到，即可求解.

【详解】(1)解：对于函数

，

所以函数的最小正周期为，

令，解得，

所以函数的对称轴的方程为.

(2)解：因为函数在存在零点，

即方程在上有解，

当时，可得，可得，

所以，解得，

所以实数的取值范围.

20．已知函数.

(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)若a＝e，证明：当x>0时，.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）求出导函数，由在上恒成立，分离参数化为，再求出新函数的最大值即得；

（2）不等式变形为，然后由导数求出不等式左右两边两个函数的最值，从而证得不等式成立．

【详解】(1)由题意知，.

因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当x>0时，，即恒成立．

令（），则，时，，时，，

g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则g(x)max＝g(1)＝1，

所以，即.

故实数a的取值范围是；.

(2)证明：若a＝e，要证，

只需证，即.

令（x>0），则，

易知h(x)在上单调递减，在上单调递增，则，

所以.

再令（），则，时，，时，，

易知φ(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，

则，所以.

因为h(x)与φ(x)不同时为0，所以，故原不等式成立．

【点睛】方法点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，证明不等式．函数在某个区间上单调，转化为导函数不小于0（或不大于0）恒成立，再用分离参数转化为求函数的最值，从而得参数范围．本题不等式的证明方法是把不等式变形，然后分别求出不等式两边两个函数的最值，由最值关系得证不等式成立．对学生的逻辑思维能力要求较高，属于难题．

21．在①，②，请在这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成解答.

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设为的面积，满足______________(填写序号即可)．

(1)求角C的大小；

(2)若，求周长的最大值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）若选①，由面积公式及余弦定理得到，即可求出，从而得解；若选②，利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；

（2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解.

【详解】(1)解：若选①，因为，

所以，

所以，

所以，

因为，

所以  

若选②，因为，

由正弦定理得，

所以，即，

，，，

又，.

(2)解：由余弦定理得，

因此，

，当且仅当时等号成立，

 所以的周长

因此的周长的最大值为.

22．已知函数．

(1)当时，求的单调区间；

(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)的递增区间为，无递减区间；

(2)

【分析】(1)对求导，得，令，对求导，利用 的正负确定的单调性及最小值，从而确实的正负及的单调区间；

(2)由(1)可得，然后分a≤2和a＞2两种情况讨论的单调性及最值，即可得答案.

【详解】(1)解：当时，，

求导，

设，

则，

令 ，解得： ；，，

∴ 在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，

则，

∴在（0，+∞）上恒成立，

∴的递增区间为（0，+∞），无递减区间；

(2)解：，

由（1）知：＝，

又因为在（1，+∞）单调递增，

则g（x）≥g（1）＝2，

①当a≤2时，，在[1，+∞）单调递增，

∴，满足题意．

②当a＞2时，设，则，

当时，，

∴在[1，+∞）递增， ，，

∴∃，使，

∵在[1，+∞）单调递增，

∴当时，＜0，即＜0，所以在上单调递减，

又，

∴当时，，不满足题意．

∴的取值范围为，

综上可知：实数的取值范围（﹣ ，2]．