黑龙江省大庆实验中学2023届高三下学期5月考前得分训练（二）数学试题（含解析）

黑龙江省大庆实验中学2023届高三下学期5月考前得分训练（二）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知为虚数单位，复数，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知集合，集合 ，则（    ）

A． B． C． D．

3．若非零向量，满足，，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

4．《九章算术》中关于“刍童”（上、下底面均为矩形的棱台）体积计算的注释：将上底面的长乘以二与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘以二与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．现有“刍童”，其上、下底面均为正方形，若，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为，则该“刍童”的体积为（    ）

A．224 B．448 C． D．147

5．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（    ）

A． B． C． D．

7．设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．已知，，，则下列排序正确的是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知空间中的平面，直线，，以及点，，，，则以下四个命题中，不正确的命题是（    ）

A．在空间中，四边形满足，则四边形是菱形.

B．若，，则.

C．若，，，，，，则.

D．若和是异面直线，和是平行直线，则和是异面直线.

10．已知函数，下列说法正确的有（    ）

A．的极大值为

B．的单调递减区间为

C．曲线在处的切线方程为

D．方程有两个不同的解

11．已知分别为椭圆和双曲线的公共左，右焦点，（在第一象限）为它们的一个交点，且，直线与双曲线交于另一点，若，则下列说法正确的是（    ）

A．的周长为 B．双曲线的离心率为

C．椭圆的离心率为 D．

12．已知奇函数的定义域为，，对于任意的正数，都有，且时，都有，则（    ）

A．

B．函数在内单调递增

C．对于任意都有

D．不等式的解集为

三、填空题

13．的展开式中除常数项外的各项系数和为______．

14．已知抛物线的焦点为F，点M在C上，点，若，则______．

15．古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中摄出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第n日布施了子安贝（其中，），数列的前n项和为．若关于n的不等式恒成立，则实数t的取值范围为____．

16．已知直线l与曲线相切，切点为P，直线l与x轴、y轴分别交于点A，B，O为坐标原点．若的面积为，则点P的个数是______．

四、解答题

17．记△的内角的对边分别为，已知．

(1)证明：；

(2)若，，求△ABC的面积．

18．已知数列的前项和为，且，（）求：

（1）数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

19．5G技术对社会和国家十分重要，从战略地位来看，业界一般将其定义为继蒸汽机革命、电气革命和计算机革命后的第四次工业革命．某科技公司生产一种5G手机的核心部件，下表统计了该公司2017－2021年在该部件上的研发投入x（单位：千万元）与收益y（单位：亿元）的数据，结果如下：

(1)求研发投入x与收益y的相关系数r（精确到0.01）；

(2)由表格可知y与x线性相关，试建立y关于x的线性回归方程，并估计当x为9千万元时，该公司生产这种5G手机的核心部件的收益为多少亿元；

(3)现从表格中的5组数据中随机抽取2组数据并结合公司的其他信息作进一步调研，记其中抽中研发投入超出4千万元的组数为X，求X的分布列及数学期望．

参考公式及数据：对于一组数据（i＝1，2，3，⋯，n），相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，．

20．已知三棱柱，，，，在平面ABC上的射影为B，二面角的大小为，

(1)求与BC所成角的余弦值；

(2)在棱上是否存在一点E，使得二面角为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

21．已知椭圆：的离心率为，其左、右焦点分别为、，上顶点为，且.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线：与椭圆交于两点，О为坐标原点.试求当为何值时，恒为定值，并求此时面积的最大值.

22．已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)若在上有一个零点，求a的取值范围．

参考答案：

1．D

【分析】利用复数的四则运算求解即可.

【详解】因为，

所以.

故选：D.

2．D

【分析】求出集合B，根据集合的交集运算即可求得答案.

【详解】由题意可得集合，或，

故，

故选：D.

3．C

【分析】由向量垂直转化为向量的数量积为0，利用向量的数量积运算化简即可得出结果.

【详解】因为，

所以，即，

即，又，

结合已知条件可知，

故.

故选：C.

4．B

【分析】根据题意结合图形得到是“刍童”其中一条侧棱与与底面所成角的平面角，从而求得该刍童的高，进而根据刍童的体积公式即可求得结果．

【详解】连接，交于点，连接，交于点，连接，过作，如图，

.

因为“刍童”上、下底面均为正方形，且每条侧棱与底面所成角的正切值均相等，

所以底面，又，所以底面，

所以是“刍童”其中一条侧棱与底面所成角的平面角，则，

因为，所以，

易知四边形是等腰梯形，则，

所以在中，，则，即“刍童”的高为，

则该刍童的体积.

故选：B．

5．B

【分析】根据线面垂直的判定及性质，结合充分条件、必要条件判断即可.

【详解】当，时，可推出，但是推不出，

当时，由可知，又，所以，

综上可知，“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

6．A

【分析】首先根据已知条件“定位”中间数字，其次在剩余的四个数字中任取两个数字，放置在首或末位，则其余数字排列方式唯一确定.最后由古典概型计算公式即可得解

【详解】由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共个，前3个数字保持递减，后3个数字保持递增，说明中间数字为1；

在剩余的四个数字中任取两个数字，按照递减顺序,仅有一种排列方式放置在首两位（或末两位），则剩余两位数字排列方式唯一确定，放置在最后两位（或首两位）.

因此“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”的五位数有个，

所以所求的概率．

故选：A．

7．C

【分析】根据为任意实数，转化为研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，求出函数在轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，根据相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，列式可求出结果.

【详解】因为为任意实数，故函数的图象可以任意平移，从而研究函数在区间上的零点问题，即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，

令，得，则它在轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，，，，，，

则它们相邻两个零点之间的距离分别为，，，，，

故相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，

所以要使函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，

即，解得.

故选：C

【点睛】关键点点睛：在求解复杂问题时，要善于将问题进行简单化，本题中的以及区间是干扰因素，所以排除干扰因素是解决问题的关键所在.

8．A

【分析】先直接计算得的值，构造函数，利用导数研究其单调性得到，再利用二项式定理求得的值，从而得解.

【详解】因为，，

令，则，

故在上单调递减，

所以，即，故，

因为

，

所以，即.

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是构造函数证得，再利用二项式定理求得，从而得解.

9．ABD

【分析】举特例即可说明A、D错误；根据直线与平面的位置关系可判断B；由已知结合基本事实2，即可判断C.

【详解】对于A项，正四面体的各条棱长均相等，四边形为空间四边形，不是菱形，故A项错误；

对于B项，若，则或与相交，所以或（此时为与的交点），故B项错误；

对于C项，由已知可得，，，即直线上有两个点在平面内，

根据基本事实2可知，故C项正确；

对于D项，如图正方体中，和异面（是异面直线），（），

但是（相交），故D项错误.

故选：ABD.

10．BC

【分析】利用导数，求的单调区间和极值，验证选项AB，由导数的几何意义求曲线在处的切线方程，判断选项C，数形结合求方程解的个数，判断选项D.

【详解】函数，定义域为，，

，解得，，解得，

在上单调递减，在上单调递增，B选项正确；

有极小值，无极大值，A选项错误；

由，，曲线在处的切点为，切线斜率为1，切线方程为，C选项正确；

，即，函数与的图像在上只有一个交点，所以方程有一个解，D选项错误.

故选：BC

11．BCD

【分析】设，则，由双曲线定义得，，再由余弦定理得，然后由椭圆定义得，利用余弦定理求得，再求三角形周长，求出椭圆、双曲线的离心率，从而判断各选项．

【详解】设，则，，，

中由余弦定理，得

，化简得，

，D正确；

又，所以，又，

的周长为，A错误；

中，，由余弦定理得，所以，

因此双曲线的离心率为，B正确；

椭圆的离心率为，C正确，

故选：BCD．

12．ACD

【分析】根据已知应用赋值法判断A选项，结合奇函数判断C选项，根据单调性定义判断B选项，结合单调性解不等式判断D选项.

【详解】已知,令可得,

令可得,得,,A选项正确;

奇函数的定义域为,，所以,又知,

所以函数在内不是单调递增,B选项错误;

对于任意的正数，都有，

对于任意都有,,,

又因为函数为奇函数，可得,C选项正确;

对于任意的正数，都有，

,又因为,所以,

所以,

又因为所以,所以,

所以函数在内是单调递增, 又因为函数为奇函数，所以函数在内是单调递增,

不等式,,

已知,

令, 因为可得，

函数在内是单调递增, 所以,

已知,令, 因为,

可得，同理，,

又因为函数为奇函数，,,

又因为函数在内是单调递增, 所以

不等式的解集为, D选项正确；

故选:ACD.

13．－5231

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后求出其常数项，再令求出展开式中各项系数和，从而可求出展开式中除常数项外的各项系数和.

【详解】展开式的通项公式为．

令，得，则展开式的常数项是．

令，得展开式中各项系数和为，

所以展开式中除常数项外的各项系数和为．

故答案为：－5231

14．

【分析】过点M作垂直于准线于点N，结合抛物线定义求出，可得，结合图形的几何性质可得，即得，再利用正弦定理以及同角的三角函数关系，即可求得答案.

【详解】由题意知点A为抛物线C的准线与x轴的交点，如图，

过点M作垂直于准线于点N，令．则，

由抛物线的定义可得，

所以在中，，

所以．

又，所以，所以，

在中，由正弦定理得，

所以，

所以，

故答案为：

15．

【分析】先求得数列的通项公式和前n项和，化简题给不等式为，求得的最小值，进而得到实数t的取值范围.

【详解】由题意可知，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

故．

所以．

由，得，

整理得对任意，且恒成立．

又，

当且仅当，即时等号成立，

所以t＜15，即实数t的取值范围是

故答案为：

16．3

【分析】设直线l与曲线相切于，根据导数的几何意义表示出切线方程，求得，从而可表示出的面积，即可将点P的个数问题转化为的解的个数问题，由此同构函数，利用导数判断其单调性，数形结合，即可判断出答案.

【详解】设直线l与曲线相切于，又，

所以直线l的斜率为，方程为，

令，则；令，则，即，

所以，

则有几个解，点P的个数即为几；

设，则，

由，解得或；，解得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

，，，，

且恒有成立．

如图，作出函数图象，与直线有3个交点．

即的解的个数为3，所以点P的个数为3，

故答案为：3

【点睛】方法点睛：根据导数的几何意义求得切线方程，即可求得三角形面积的表达式，由此将P点的个数问题转化为方程解的个数问题，由此可构造函数，利用导数判断其单调性，作出图象，数形结合，即可解决问题.

17．(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）利用三角函数恒等变换和正、余弦定理得，整理化简得到，即证；

（2）先利用余弦定理求出，即可求△的面积．

【详解】（1）由题意得，

即，

由正、余弦定理得：，

整理得：，即.

又，所以，所以．

（2）由（1）得，由得，

由余弦定理得，

即，所以，

所以△的面积．

18．（1）；（2）．

【分析】（1）由来求解；

（2）先求出数列，然后用错位相减法求得．

【详解】（1）∵，∴当时，，

当时，，（*）

显然，当时也满足（*）式

综上所述，

（2）由（1）可得，，其前项和 ①

则 ②

①-②得，

，

19．(1)0.89

(2)，5亿元

(3)分布列见解析，

【分析】（1）利用利用相关系数的公式结合表格数据直接求解；

（2）根据最小二乘法先求，再求，可得回归直线方程，从而可预测x为9千万元时，该公司生产这种5G手机的核心部件的收益；

（3）利用古典概型结合组合数计算概率，从而可得分布列和期望.

【详解】（1）由题可得，，

，

，

所以．

（2）因为，，

所以y关于x的线性回归方程为．

当x＝9时，，所以此时该公司生产这种5G手机的核心部件收益估计为5亿元．

（3）易知X的可能取值为0，1，2，

，，，

所以X的分布列为

所以．

20．(1)

(2)存在，

【分析】（1）根据已知结合几何知识得出与，即可得出为二面角的平面角，则，令，则，在中，得出，在中，根据，，，，列式求解即可得出，过B作，又因为平面ABC，所以BM、BC、两两垂直，即可以、、为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，得出，，即可根据直线间夹角的向量求法得出答案；

（2），所以，得出，则，根据平面的法向量的求法求出平面EBC与平面的法向量，即可根据二面角为，列式求解出，即可得出答案.

【详解】（1）连接，因为在平面ABC上的射影为B，

所以平面ABC，

取AC的中点F，由于，

所以，

连接，由三垂线定理可得，

则为二面角的平面角，即，则，

令，则，

则在中，，

所以，

在中，，，，，

所以，解得，

过B作，又因为平面ABC，

所以BM、BC、两两垂直，

以、、为x、y、z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，

可得，，，，

则，，

则，

则与BC所成角的余弦值为

（2）设，所以，可求得，则，

设平面EBC的法向量为，由，，

得，

解得，

因为是三棱柱，

所以，

设平面的法向量，

由，，

得，解得，

若二面角为，

则，即，解得，

所以的值为.

21．(1)

(2)，最大值1

【分析】（1）根据题意列出关于的方程，解方程求得其值，可得答案；

（2）设，，联立，可求得根与系数的关系式，从而求得的表达式，利用其恒为定值，求得参数k的值，进而求得面积的表达式，结合基本不等式即可求得最值.

【详解】（1）由已知，点，的坐标分别为，，

又点的坐标为，且，

于是，解得，，

所以，椭圆方程为.

（2）设，，联立，消元得，

当，即时，

则有，，

则

，

当为定值时，即与无关，故，得，

此时

，

又点到直线的距离，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

经检验，此时成立，所以面积的最大值为1.

【点睛】关键点点睛：解答时要保证恒为定值，在求出其表达式之后，关键是要明确当为定值时，即与无关，从而求得参数k的值.

22．(1)单调递减区间为，单调递增区间为

(2)或

【分析】（1）先求得的导函数，进而求得函数的单调区间；

（2）函数在上有一个零点等价于在上有一个零点，先求得，再按a分类讨论的单调性和极值情况，进而求得a的取值范围．

【详解】（1）函数的定义域为， ，

由，可得，

当时，，单调递减，

当时， ．单调递增，

故函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）由题设可知．

设，则函数在上有一个零点

等价于函数在上有一个零点．

，

若，则， 在上单调递增，又，

，，

故在上有一个零点，即在上有一个零点，满足题意；

若，，函数在上单调递增，

又，在上有一个零点，满足题意；

若，，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

则在处有最大值，最大值为．

①若，即时，在没有零点；

②若，即时，在只有一个零点；

③若，即，又，

，

故存在，使，则在上有一个零点，

则在上有一个零点；

下面证明在上有一个零点

因为，，，，

，

考查函数．则．

当x>1时，，在上单调递减，

又，故，即，

故存在，，在上有一个零点，

即在上有一个零点．

综上所述，若在只有一个零点，

a的值取值范围是或．