2024届黑龙江省肇东市第四中学高三上学期第一次月考数学试题含解析

这是一份2024届黑龙江省肇东市第四中学高三上学期第一次月考数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件结合一元二次不等式的解法求得集合，再由集合的交集运算即可求解.
【详解】因为，
所以.
故选：A.
2．若，则在复平面内所对应的点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据已知等量关系及复数的除法运算求复数，进而确定其对应的坐标即可.
【详解】由题设有，则，
所以在复平面内所对应的点的坐标为．
故选：B
3．对，不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【分析】对讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到的取值范围.
【详解】不等式对一切恒成立，
当，即时，恒成立，满足题意；
当时，要使不等式恒成立，
需，即有，
解得.
综上可得，的取值范围为.
故选：A.
4．若函数，它的最大值为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的对称性，得到且，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，函数表示开口向上，且对称轴为的抛物线，
要使得当，函数的最大值为，则满足且，
解得，所以实数的取值范围是.
故选D.
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
5．已知函数，则（ ）
A．B．C．6D．14
【答案】C
【分析】求导，代入，求得，然后将代入原函数求得函数值.
【详解】，则，
则，
故选：C
6．的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式计算可得结果.
【详解】.
故选：B.
7．函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，得到函数的函数值的正负，可排除A、C项；求得，得出函数的单调区间，可排除B项，即可求解.
【详解】由函数，令，即，解得或，
所以当或时，；当时，，可排除A、C项；
又由，令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
则可排除B项，选项D符合题意.
故选：D.
8．已知α∈(0，π)，且csα＝－，则sin·tanα＝（ ）
A．－B．－C． D．
【答案】C
【分析】根据平方关系式求出sinα＝，根据诱导公式和商数关系式化简sin·tanα可得结果.
【详解】∵ α∈(0，π)，且csα＝－，∴ sinα＝，
因此sin·tanα＝csα·＝sinα＝.
故选：C.
【点睛】本题考查了平方关系式，考查了诱导公式，考查了商数关系式，属于基础题.
9．已知，，则tan(π+2α)=（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【分析】根据诱导公式和同角公式求出，再根据诱导公式和二倍角的正切公式可求得结果.
【详解】∵α∈，sin，
∴cs α=，sin α=，tan α==.
∴tan(π+2α)=tan 2α=.
故选：A.
【点睛】本题考查了诱导公式、同角公式、二倍角的正切公式，属于基础题.
10．已知函数的图象关于原点对称，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求出参数的值，再判断函数的单调性，最后根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为函数的图象关于原点对称且定义域为，
所以，解得，经检验符合题意，
所以，又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，
所以在上单调递增，又，
由，即，所以，解得．
故选：B
二、多选题
11．下列计算正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据导数运算法则和常见函数的导数逐一计算,即可选择.
【详解】由导数的运算法则和常见函数的导数有
， ，，
所以正确的有ABD
故选：ABD
【点睛】本题考查导数运算法则和常见函数的导数，考查基本求解能力，属基础题.
12．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．时，取得最大值D．时，取得最小值
【答案】AB
【分析】由图象可确定的单调性，结合单调性依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】由图象可知：当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减；
对于A，，，A正确；
对于B，，，B正确；
对于C，由单调性知为极大值，当时，可能存在，C错误；
对于D，由单调性知，D错误.
故选：AB.
三、填空题
13．若函数在区间内存在极大值，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】求出函数f(x)的极大值点，该点在指定区间内即可得解.
【详解】依题意得：，由得x=0，x=2，
x<0或x>2时，， 0所以0是f(x)的极大值点，2是f(x)的极小值点，
因函数在区间内存在极大值，
所以，即.
故答案为：
14．当时，函数的值域为 .
【答案】
【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得.
【详解】因为，
令，由于，则，
则原函数可化为，，
当时，取最小值，当时，取最大值，
故，即.
故答案为：
15．已知，，则的值为 .
【答案】－.
【分析】将和分别平方计算可得.
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴ ，
∴,
故答案为：－.
【点晴】此题考同脚三角函数基本关系式的应用，属于简单题.
四、双空题
16．已知sincs＝，且0<α<，则sinα＝ ，csα＝ .
【答案】
【分析】根据诱导公式化简可得，再根据可得0【详解】sincs＝＝sinαcsα＝.
因为，所以0所以，，
所以，，
故答案为：；.
【点睛】本题了诱导公式，考查了同角公式，属于基础题.
五、解答题
17．化简：
(1)
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两角和（差）的正弦公式计算可得；
（2）利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系及诱导公式计算可得.
【详解】（1）
.
（2）
.
18．已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【详解】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.
详解：解：（1）因为，，所以．
因为，所以，
因此，．
（2）因为为锐角，所以．
又因为，所以，
因此．
因为，所以，
因此，．
点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
19．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求csβ的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 .
【分析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.
【详解】详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，
所以.
（Ⅱ）由角的终边过点得，
由得.
由得，
所以或.
点睛：三角函数求值的两种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
20．已知函数
(1)求这个函数的导数；
(2)求这个函数在处的切线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由，利用导数的性质和公式能求出这个函数的导数；
(2)由题意可知切点的横坐标为，故切点的坐标是，由此能求出切线方程.
【详解】（1）因为函数，
所以
（2）由题意可知切点的横坐标为1，
所以切线的斜率是，
切点纵坐标为，
故切点的坐标是，
所以切线方程为，
即.
21．已知函数,且．
（1）讨论函数的单调性；
（2）求函数在上的最大值和最小值．
【答案】（1）在上单调递增；在 上单调递减（2）
【详解】试题分析：(1)先求出，由求出 的值，再由得增区间，得减区间；（2）根据（1）的结论求出函数的极值，与端点处函数值进行比较即可结果.
试题解析：(1) 函数 ),.,解得.则 .,令，解得.由得或，此时函数单调递增，由得，此时函数单调递减，即函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）当时，函数与的变化如下表：
由表格可知：当时，函数取得极大值，，当时，函数取得极小值，，又，可知函数的最大值为，最小值为.
【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值及闭区间上的最值，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值得函数值与极值的大小
22．已知.
（1）若，，求α的值；
（2）若，，求f(x)的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）先化简函数并根据题意建立方程，再结合，求的值；
（2）先根据已知求出，再根据二倍角公式求，，最后代入求.
【详解】解：由题意有，
（1）因为，所以，则，
又因为，所以；
（2）因为，，所以，
所以，
所以，
【点睛】本题考查二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数关系化简求值，是基础题.
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增