专题3-2 圆锥曲线中的三角形面积-(人教A版2019选择性必修第一册) (学生版+教师版)

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圆锥曲线中的三角形面积圆锥曲线中三角形面积的求法① 焦点三角形面积椭圆的焦点三角形面积，双曲线的焦点三角形面积 (其中点在椭圆或双曲线上).② 直线与圆锥曲线中的三角形面积(以下以椭圆为例) ，适合一切题型，属于通法，但计算量会大些，如图， (其中底为弦长，高为点到直线的距离) ，适合边角已知的题型；拆补法，适合三角形某一顶点在坐标轴上的题型；情况1如图，点在轴上，直线交轴于点，当是在轴异侧时，当是在轴同侧时，注:不管在轴同侧还是异侧，公式依然成立.若点在轴类似可得.情况2 如图，点在轴上，直线的倾斜角为，当是在轴异侧时，.当是在轴同侧时，.注:不管在轴同侧还是异侧，公式依然成立.(点在轴类似) 【典题1】设双曲线：的左、右焦点分别为是上一点，且．若的面积为，则离心率      .【解析】方法一 由题意可知，设，可得  的面积为 (遇到焦点三角形，想到定义和解三角形的内容)    .方法二 由双曲线焦点三角形面积公式，(椭圆焦点三角形面积公式)由题意可知，又，， . 【典题2】已知直线与双曲线:的两条渐近线分别交于两点，且，若且的面积为则的离心率为    . 【解析】，故∠又直线方程为即，.【点拨】本题对“”的处理是用数量积的定义得到，而比较合理. 【典题3】已知双曲线的离心率为焦点到渐近线的距离等于过右焦点的直线交双曲线于两点为左焦点． 求双曲线的方程； 若的面积等于求直线的方程．【解析】过程略，. 方法一 设当直线的斜率不存在，则直线的方程，此时易得，故可设直线的方程为，由得，有两个交点且，到直线的距离，的面积，(利用三角形面积公式)解得所以直线的方程为．方法二 设同方法一可得：且，的面积，(由于点在轴，利用)化简得解之得，得直线的方程为.【点拨】① 注意分类讨论直线的斜率是否存在；② 因为直线过双曲线内的点，故不要看判别式是否大于0，但要注意；③ 第二问方法一是利用三角形面积公式，得，其中以弦长为底，点到直线的距离为高；方法二利用分拆三角形的方法得，此时要理解“不管是在轴同侧还是异侧，公式依然成立”.   【典题4】过抛物线：的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，交其准线于点，且．求抛物线的方程；直线交抛物线于两点，且这两点位于轴两侧，与轴交于点若•求的最小值．【解析】(1)过点作抛物线准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为，设准线与轴交于点，如图所示，，，又点为的中点，，，，所以抛物线的方程为．(注意抛物线定义和平几知识的运用)(2)设 设，：，(这样设方程计算简便些)联立得方程组 得 ，，，(曲线代换：利用抛物线方程消“”)(舍去)或，即，，(当且仅当即时，取到等号)的最小值为．【点拨】在抛物线上设直线方程为：较为常见，同时也配合上三角形面积. 【典题5】 已知是椭圆的左，右顶点，，过椭圆的右焦点的直线交椭圆于点，交直线于点，且直线的斜率成等差数列，和是椭圆上的两动点，和的横坐标之和为的中垂线交轴于点求椭圆的方程；求的面积的最大值.【解析】由题意知，设，依题意可知，解得，椭圆的方程.设，和的横坐标之和为，  ，、均在椭圆上，①②  (点差法)①②得 ，设，由中垂线性质得，即，化简得，，    即.设，直线与椭圆联立可得，，(因为直线过椭圆内一点，故可取全体实数，不需要考虑判别式)，令，(使用换元法降次，化难为简，函数思想注意自变量的取值范围)则在是递增的，，(由对勾函数图像易得，由于不能用基本不等式)，即，故.【点拨】① “和的横坐标之和为”这条件可想到“中点弦问题”的点差法，避免设直线方程导致计算量增大；② 本题最重要的想法是求的面积，用到了公式，同时设直线方程为，联立方程时消得到的一元二次方程较易得到的表达式，大大减少了计算量，也避免直线斜率是否存在的分类讨论；④ 求函数形如最值问题，其中涉及对勾函数或基本不等式、换元法等内容，同时要注意自变量的取值范围，这是常考的题型. 巩固练习1(★★) 设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积等于       . 【答案】    【解析】由，且， 在中，∠ 2(★★)  过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线的渐近线于点为坐标原点，则的面积为       .【答案】      【解析】不妨设点在第一象限，点在第四象限，因为∠双曲线的渐近线方程：，所以∠，所以，所以，所以．又，则，所以所以，从而的面积为：．故选：C．3 (★★) 抛物线：的焦点为为准线上一点，为轴上一点，且，若线段的中点在抛物线上，则的面积为       .【答案】    【解析】由抛物线：可得焦点，准线方程为由题意设设的中点，因为在抛物线上，所以，所以①因为：，又，所以，即②，①     代入②可得所以 4 (★★) 已知双曲线的离心率为虚轴长为．(1)求双曲线的标准方程；(2)过点倾斜角为的直线与双曲线相交于两点为坐标原点，求的面积．【答案】 (1) (2)     【解析】(Ⅰ)依题意可得 ，解得双曲线的标准方程为．(Ⅱ)直线的方程为设由可得，由韦达定理可得即 原点到直线的距离为 于是的面积为.5 (★★) 椭圆过点离心率为左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点．(1)求椭圆的方程；(2)当的面积为时，求直线的方程．【答案】 (1) (2)或    【解析】(1)椭圆过点①，又离心率为②，联立①②得．椭圆的方程为：(2)①当直线的倾斜角为时，取．|不适合题意．②当直线的倾斜角不为时，设直线方程，代入得：设，则．点到直线的距离化为，解得，直线方程为：或．6 (★★★) 如图，设椭圆的中心为原点长轴在轴上，上顶点为左、右焦点分别为线段的中点分别为且是面积为的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过作直线交椭圆于两点，使求的面积．【答案】 (1) (2)      【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为是的直角三角形，，为直角，从而，即 在中， 椭圆标准方程为；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，由题意，直线的倾斜角不为，故可设直线的方程为代入椭圆方程，消元可得①设 当时，①可化为， 的面积．       7 (★★★) 已知椭圆：的离心率为是椭圆的焦点，点直线的斜率为为坐标原点．(1)求椭圆的方程；(2)设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程． 【答案】(1) (2)【解析】(1)设，由题意又离心率，，椭圆的方程为； (2)由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为，方程，联立直线与椭圆方程：化简得：，由设，则 坐标原点到直线的距离为 令，则 当且仅当即时等号成立，，故当，即时，的面积最大， 此时直线的方程为：．8(★★★★) 已知双曲线的一个焦点为且过点．如图为双曲线的左、右焦点，动点在的右支上，且的平分线与轴轴分别交于点()、，设过点的直线与交于两点．(1) 求的标准方程；(2) 求的面积最大值．【答案】 (1)  (2)【解析】(Ⅰ)知双曲线的左、右焦点分别为又双曲线过点解得则双曲线的标准方程为；(Ⅱ)由 为 的左右焦点，，直线方程为，直线方程为，即直线方程为，直线方程为由点在的平分线上，则点到直线与到直线的距离相等，故由，以及，解得，解得即，直线的方程为：，令，得故点)，由消去得设则的面积设，则的面积时，即为时，的面积最大值为．