2023届上海市市西中学高三上学期期中数学试题（解析版）

2023届上海市市西中学高三上学期期中数学试题

一、填空题

1．已知集合，，则______．

【答案】

【分析】利用交集定义直接求解．

【详解】解：集合，，

．

故答案为：．

2．复数z满足（为虚数单位），则________．

【答案】

【分析】根据复数的乘法、除法运算，求得复数z，代入求模公式，即可得答案.

【详解】由题意得，

所以，

故答案为：

3．函数的值域为______.

【答案】

【分析】先得，再由基本不等式解决即可.

【详解】由题知，，

所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以函数的值域为.

故答案为：

4．已知，若幂函数为奇函数，且在上是严格减函数，则取值的集合是______．

【答案】

【分析】由幂函数为奇函数，且在上递减，得到是奇数，且，由此能求出的值．

【详解】∵，

幂函数为奇函数，且在上递减，

∴是奇数，且，∴．

故答案为：

5．若不等式|x-4|-|x-3|≤a对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是_____.

【答案】

【分析】根据题意，只需a大于等于f(x)的最大值，利用绝对值三角不等式求出f(x)的最大值即可.

【详解】设f(x)=|x-4|-|x-3|，

则f(x)≤a对一切x∈R恒成立,

即a大于等于f(x)的最大值.

∵|x-4|-|x-3|≤|(x-4)-(x-3)|=1，

即f(x)max=1，∴a≥1.

故答案为：

6．已知数列的前项和为，满足对任意的，均有，则______.

【答案】

【分析】根据递推公式得到，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，利用等比数列的通项即可求解.

【详解】因为对任意的，均有，则有，

当时，，所以；

当时，，也即，

因为，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，

所以，则，

故答案为：.

7．已知函数是定义在上且周期为的偶函数,当时，则的值为__________.

【答案】

【详解】由题意知，，又，所以，故填.

8．已知向量，则函数的单调递增区间为__________.

【答案】

【分析】根据数量积的坐标公式，结合三角恒等变换公式化简可得，再求解单调递减区间，结合求解即可

【详解】由题意，，故 的单调递增区间：，即，故在的单调递增区间为

故答案为：

9．已知数列满足，，其中是等差数列，且，则________．

【答案】2018

【分析】数列{an}、{bn}满足bn＝lnan，n∈N*，其中{bn}是等差数列，可得bn+1﹣bn＝lnan+1﹣lnan＝ln常数t．常数et＝q＞0，因此数列{an}为等比数列．由，

可得a1a1009＝a2a1008．再利用对数运算性质即可得出．

【详解】解：数列{an}、{bn}满足bn＝lnan，n∈N*，其中{bn}是等差数列，

∴bn+1﹣bn＝lnan+1﹣lnan＝ln常数t．

∴常数et＝q＞0，

因此数列{an}为等比数列．

且，

∴a1a1009＝a2a1008．

则b1+b2+…+b1009＝ln（a1a2…a1009）lne2018＝2018．

故答案为：2018．

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与性质、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

10．设命题：函数的定义域是R；命题：不等式对一切正实数均成立.如果命题和有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】函数的定义域为R，则真数大于0对一切的R恒成立，求出的范围，命题也用恒成立问题，求出的范围，最后根据命题的真假性，求实数的范围.

【详解】若命题为真，

因为函数的定义域为R，

所以对一切的R恒成立，

所以，即，所以，故，

若命题为真，

令，则，

因为，所以，

由题知对一切正实数均成立，

所以

因为和有且只有一个是真命题，即与一真一假，

若真 假，，无解，若假真，，所以，

综上所述：实数的取值范围是

故答案为：.

【点睛】恒成立问题与有解问题要注意进行区别，若在恒成立，则；若在有解，则.

11．已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．

【答案】2

【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.

【详解】由图可知，即，所以；

由五点法可得，即；

所以.

因为，；

所以由可得或；

因为，所以，

方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，

解得，令，可得，

可得的最小正整数为2.

方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.

故答案为：2.

【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.

12．如图，将自然数按如下规则“放置”在平面直角坐标系中，使其满足条件：（1）每个自然数“放置”在一个“整点”（横纵坐标均为整数的点）上；（2）0在原点，1在点，2在点，3在点，4在点，5在点，…，即所有自然数按顺时针“缠绕”在以“0”为中心的“桩”上，则放置数字的整点坐标是_________．

【答案】

【详解】试题分析：按顺序填入自然数，此图在第二象限的转弯处（角处）所填数是奇数的平方，在第四象限的转弯处（角处）所填数是偶数的平方，所在坐标为．

【解析】归纳推理．

【名师点睛】归纳推理是通过观察个别情况，发现某些相同的本质，从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性的命题．其中数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相减的知识，如等差数列、等比数列等；形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．本题观察发现在二、四象限转角处的数字含有一般性的规律：自然数的平方．从而完成解题．

二、单选题

13．在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据余弦函数的定义进行求解即可.

【详解】设点，因为，所以.

故选：C.

14．如果，那么下列不等式成立的是

A． B． C． D．.

【答案】B

【详解】试题分析：对于选择题，可举例说明命题是错误的，如当，满足，但此时均不正确，由排除法只能选B.事实上由，正确.

【解析】不等式的基本性质.

15．设等差数列的公差为，若，则“”是“为递减数列”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用指数函数的单调性、数列增减性的定义以及等差数列的定义判断即可.

【详解】充分性：若，则，即，，即，

所以，数列为递减数列，充分性成立；

必要性：若为递减数列，则，即，，则，

必要性成立.

因此，“”是“为递减数列”的充要条件.

故选：C.

【点睛】本题考查充要条件的判断，同时也考查了数列单调性定义的应用，考查推理能力，属于中等题.

16．设，其中常数，.若函数的图象如图所示，则数组的一组值可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】利用取极限的思想，，当足够大时，总有，由图像可知，此时与无关，故当时，得，即可判断.

【详解】由于，当足够大时，

总有，

由图像可知，此时与无关，

故当时，得，

由此排除B，C，D；

对于A：，

，

符合图象，

故选：A.

【点睛】关键点睛：利用取极限的思想，分析出，当足够大时，由图象可知，此时函数的变化与无关，是解决本题的关键.

三、解答题

17．如图，已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，是弧的中点．

(1)求该圆柱的表面积和体积；

(2)求异面直线与所成角的大小．

【答案】(1)表面积为，体积为.

(2)

【分析】（1）根据圆柱的表面积公式和体积公式可求出结果；

（2）根据，得到或其补角是直线与所成角，取弧的中点，连接、、，求出，进一步可得.

【详解】（1）由已知可得圆柱的底面半径，高，

，

（2），

∴或其补角是直线与所成角，

取弧的中点，连接、、，

，

在中，，

∴.

所以异面直线与所成角的大小为.

18．在等差数列中，为其前n项和．若．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程组，可得首项和公差，即可得到所求通项；

（2）求得，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，即可得到所求和．

【详解】解：（1）设数列的首项为，公差为，

由题意得，

解得，

故数列的通项公式；

（2）由（1）得，

即有前项和

．

19．某公园要建造如图所示的绿地，、为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏与的总长度为米，且．设（）．

(1)当，时，求的长；（结果精确到米）

(2)当时，求面积的最大值及此时的值．

【答案】(1)米

(2)当时，养殖场最大的面积为平方米

【分析】（1）在中，根据余弦定理求解即可；

（2）当时，可得，再化简可得，再根据正弦函数的最值分析即可

【详解】（1）在中，，，，由余弦定理，得，故．

因此的长约为米．

（2）连接．由题意，，，

在△中，由正弦定理，得．

于是，．当，即时，取到最大值，最大值为．因此，当时，养殖场最大的面积为平方米

20．已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，求函数的单调区间；

(3)当时，恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2)的单增区间为，单减区间为；

(3)

【分析】（1）直接计算，求导计算，写出切线方程即可；

（2）直接求导确定导数的正负，写出单调区间即可；

（3）先根据必要性得到，再证明当时，，结合（2）中单调性证得，即满足充分性，即可求解.

【详解】（1），当时，，，，，

故曲线在点处的切线方程为，即；

（2）易得定义域为，当时，，令，或，

当或时，单调递减；当或时，单调递增；

故的单增区间为，单减区间为；

（3）“，即”是“当时，恒成立”的必要条件.

当，时，，令，

由（2）知，在单调递减，在单调递增，故，

即，所以的取值范围是.

21．已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意，都有，则称函数具有性质．

(1)若函数具有性质，求的值

(2)设，若，求证：存在常数，使得具有性质

(3)若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数在上存在零点．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）对任意，都有，代入和即可得出答案；（2）设，利用零点存在性定理即可证得结论；（3）先转化为，然后令得，，分情况利用零点存在性定理证得结论.

【详解】（1）函数具有性质，

所以对任意，都有，

令，得，

令，得，

所以．

（2）证明：函数具有性质的充要条件为

存在，使得，即，  

设，

因为，，

所以在区间上函数存在零点，       

取，则，

得函数具有性质．

（3）设，因为，

所以，

令得，，                

①若，则函数存在零点

若，当时，，

所以此时函数在区间上存在零点      

②因为

所以                          

若，当时，，

所以此时函数在区间上存在零点．

综上，函数在上存在零点．