2023届江苏省无锡市高三上学期期中数学试题含解析

2023届江苏省无锡市高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合或，集合，则集合（    ）

A． B．

C． D．或

【答案】D

【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得.

【详解】解：由，所以，解得，

所以，又或，

所以或.

故选：D．

2．复数的共轭复数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．

【详解】解：，共轭复数

故选：A．

3．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.8，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（）

A．1.6 B．1.2 C．0.8 D．0.6

【答案】D

【分析】根据给为表达式，代入，解得，根据指对互化，即可求解.

【详解】在中，，所以，即，解得，所以其视力的小数记录法的数据约为0.6，

故选：D

4．已知函数，，则图象为如图的函数可能是（    ）

A．  B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用图象的特殊值排除即可

【详解】，，由图得，时，排除BD；

，，由图得，时，排除A.

故选：C．

5．在中，角的对边分别为．若，，的面积为，则在方向上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用边角互化求出，三角形面积公式求出，最后根据投影向量公式计算即可.

【详解】，由正弦定理得：，即，是三角形内角，则，于是，又得，，故，，∴，则在方向上的投影向量为：.

故选：B

6．已知两个等差数列2，6，10，…，198及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（    ）

A．1460 B．1472

C．1666 D．1678

【答案】C

【分析】根据题意求出两个数列，相同的项组成的数列，求出项数，然后求出它们的和即可.

【详解】有两个等差数列2，6，10，…，198及2，8，14，…，200，

由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，2，14，26，38，50，…，182，194是两个数列的相同项.

共有个，也是等差数列，

它们的和为，

这个新数列的各项之和为1666.

故选：C.

7．已知，，则的值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题知，进而得，，，再根据，并结合齐次式求解即可.

【详解】解：因为，，所以，

因为，所以

所以，，

，，

所以，

.

故选：A．

8．定义在上的奇函数f（x）满足：f（2＋x）－f（2－x）＝（x＋2）f（2），且f（x）在区间[0，1]上单调递增，则下列说法错误的是（    ）

A．当n∈Z时，f（2n＋1）≠0

B．若f（x）＝0，则x＝2n（n∈Z）

C．若x1，x2∈[－1，1]，且x1＋x2＞0，则f（x1）＋f（x2）＞0

D．当x∈[3，5]时，不等式（2x－9）f（x－4）＞0的解集为

【答案】B

【分析】首先根据题设递推公式及奇函数可得的周期为并关于直线对称，然后结合函数的周期性、奇偶性、对称轴，根据各选项的描述判断正误即可.

【详解】时，，

∴，

∴，

∴，

是周期为8的周期函数

关于直线对称，且为奇函数，在上单调递增，所以在上单调递增，

对于C，，

∴，得，即，C对；

由于关于对称，且在上单调递增，

则在上单调递减，，

由，得或，

即或，

∴或，D对；

在单调递增，，则，，

∴，，A对，选B．

故选：B

二、多选题

9．，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据题干条件，得到，选项A中与1的大小不确定，不能判断；选项B是基本不等式；选项C是作差法比大小；选项D可以举反例证明不正确即可

【详解】解：因为，∴，；选项A中，与1无法知大小关系，所以不能判断，选项A错误；

选项B中，根据基本不等式得：（无法取等），选项B正确；

选项C中，，∴，选项C正确；

选项D中，取，，，选项D错，

故选：BC．

10．已知集合M，N为R的非空子集，且M≠N，则下列结论中命题p是命题q的充分条件的是（    ）

A．p：，q：

B．p：，q：

C．p：，q：

D．p：，q：

【答案】AC

【分析】结合集合的运算，根据充分条件的定义判断即可.

【详解】因为由可推出，所以p是q的充分条件，A对．

因为不能推出，所以p不是q的充分条件，B错．

若，则，则，∴p是q的充分条件，C对．

若，则，∴，∴p不是q的充分条件，D错．

故选：AC.

11．设等比数列{an}的前n项积为Tn，并满足条件a1＞1，T10＝T20，下列结论正确的是（    ）

A．a2021＜a2022 B．a10a20－1＞0

C．当n＝15时，Tn取到最大值 D．当n≥31时，Tn＜1

【答案】BCD

【分析】由已知条件，结合等比数列的性质分别检验各选项即可判断.

【详解】因为，∴，∴，，

∴，，单调减数列，，故A错．

，故B对．

时，，时，，∴时，取最大值，故C对．

，时，，故D对，

故选：BCD．

12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．是以为周期的周期函数

B．在上单调递减

C．的值域为

D．存在两个不同的实数，使得为偶函数

【答案】BD

【分析】A选项，验证，得到A错误

B选项，根据时，，得到，换元后得到，利用复合函数单调性求出答案；

C选项，令，此时得到，换元后得到，由求出值域；

D选项，由得到只需且，从而得到且，结合，解不等式，得到相应的：且，且，验证后得到答案.

【详解】

，所以函数的周期不为，故选项A错误；

时，，

故，令，

则，

因为，所以，故，

且t在单调递减，

又，故，开口向下，对称轴为，

故在单调递增，

由复合函数满足同增异减可知：在单调递减，B正确；

令，

若，，即，时，

，

两边平方得：，

故，

若，，即，时，

此时，

两边平方得：

此时，

综上：对于，均有，

所以变形为，

因为，所以当时，取得最大值，最大值为1，

其中，，

因为，故最小值为，

综上：的值域为，C错；

，

则，

假设为偶函数，则，

即，

只需且，

由可得：，①，或②，

其中由①得：，，不能对所有恒成立，舍去；

由②得：，

由可得：③，

由③得：，

故需要保证与同时成立，

令，解得：且，

令，解得：且，故，

取，此时，此时令，解得：，符合要求，

取，此时，此时令，解得：，舍去，

取，此时，此时令，解得：，符合要求，

综上：存在两个不同的实数，使得为偶函数，

，就是这两个实数，D正确．

故选：BD．

【点睛】三者的关系如下：

，，

，

当题目中同时出现三者或三者中的两者时，通常用换元思想来解决.

三、填空题

13．已知等比数列{an}中，，，则a4＝_________．

【答案】或

【分析】根据，列方程，解方程即可求.

【详解】解：，

∴，

∴或，

所以或．

故答案为：或.

14．在△ABC中，点D是线段BC的中点，点E在线段AD上，且满足AE＝2ED，若，则λ＋μ＝_________．

【答案】

【分析】根据共线向量的推论，结合向量的加减法，可得答案.

【详解】由题意，可作图如下：

解：

，

∴．

故答案为：.

15．已知函数f（x）＝sin（2x＋φ），其中φ为实数，若对x∈R恒成立，且，要得到函数y＝cos2x的图象，需将函数y＝f（x）的图象沿x轴平行，则最短的平移距离为_________个单位．

【答案】

【分析】先根据题意得出函数的对称轴，再利用函数的周期求出参数，最后再根据图象的平移求出结果即可.

【详解】由可得为函数的一条对称轴，

则函数的周期为，所以，，

所以也是函数的一条对称轴，

，，∴处取最大值

，∴，

向右平移个单位变为．此时平移距离最小.

故答案为：.

16．已知为函数（）的导函数，且有两个不同的零点，，设，则的极值为_________．

【答案】3

【分析】根据有两个不同的零点，得到，，，利用韦达定理和得到，然后求导，根据单调性求极值即可.

【详解】由题意可知，有两个不同的零点，，所以可得，，或

，，

令，解得，令，解得或，

所以在上单调递减，上单调递增，上单调递减；

∴．

四、解答题

17．已知函数，．

(1)解不等式；

(2)若在上恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题目条件可求出题干中参数的值，进行对数加法运算后直接根据对数函数的增减性解不等式即可；（2）分离参数，求新函数的最值从而确定实数m的取值范围

【详解】（1）由题得：，∵，

∴，

由或

所以原不等式的解集为．

（2）由得：，令，，所以

∴，当且仅当 时等号成立，∴．

18．已知向量，满足，，．

(1)求向量和的夹角；

(2)设向量，，是否存在正实数t和k，使得？如果存在，求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，．

【分析】（1）用计算，求向量夹角公式为，代入计算即可.

（2）由整理的关系式，由得t的取值范围.

【详解】（1），

∴，

设向量和的夹角为，

，

∴与夹角为．

（2）假设存在正实数t和k，使得，则，

∴

∵，∴，

∴，，

故 或 ，解得

即存在且t的取值范围为．

19．已知数列的首项为2，前n项和为，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)在与之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为的等差数列，若数列满足，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由与的关系化简得，再由等比数列通项公式求解，

（2）由题意求，再由裂项相消法求解，

【详解】（1）当时，，，

∴

且时，，∴也满足上式

∴．

（2）

∴

∴的前n项和．

20．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m，转盘直径为90m，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，转一周需要30min．

(1)求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；

(2)若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值．

【答案】(1)，.

(2)

【分析】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心Q为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，座舱转动的角速度约为，计算得到答案.

（2）计算，，相减得到

，计算最值得到答案.

【详解】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心Q为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，

设时，游客甲位于点，以OP为终边的角为；

根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约为，

由题意可得，.

（2）如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则.

经过后甲距离地面的高度为，

点B相对于点A始终落后，

此时乙距离地面的高度为.

则甲、乙距离地面的高度差，

利用，

可得，.

当或，

即或（舍去）时，h的最大值为

所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为

21．如图，在平面四边形中，．

(1)判断的形状并证明；

(2)若，，，求四边形的对角线的最大值．

【答案】(1)直角三角形，证明见解析

(2)9

【分析】（1）首先在中，运用正弦定理，将条件中的转化为，然后通过三角函数恒等变换化简求出，即可判断的形状.

（2）首先在BC上方作Rt△BCM使，且，然后利用相似三角形求得与的长度，然后利用即可求出的最大值.

【详解】（1）已知，由正弦定理可得：，

即

得，

，，

故，即为直角三角形．

（2）如图，在BC上方作Rt△BCM使，且，

∴，

∴且

∴，由，，得，

在中，，

由，，得.

由，得，

∴，当M在AC上时等号成立，

∴．

22．已知函数．

(1)求的最小值；

(2)设点，证明：当时，过点可以作曲线的两条切线．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据导数研究函数单调性，再根据单调性求解最值即可；

（2）设过点且与相切的直线与的切点为，进而根据导数几何意义将问题转化为在上有两个零点问题，进而利用导数研究函数零点即可.

【详解】（1）解：，令，解得，

所以，当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以，．

（2）证明：设过点且与相切的直线与的切点为，

所以，切线的斜率为

所以，切线方程为

因为点在切线上，

所以，，即，

所以，

因为，所以，

令，，解得，

所以，当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以，在上至多两个零点，

因为，，，

所以，在上有一个零点，

下面证明在有一个零点.

令，则，

所以，当时，，单调递增；

      当时，，单调递减；

所以，，即，，

当时，，

令，则

所以，，

所以，在上有一个零点

所以，当时，过点可以作曲线的两条切线．

【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于结合导数的几何意义，将问题转化为在上有两个零点问题，进而研究函数的单调性易得在上有一个零点，再通过不等式放缩得即可证明在上有一个零点，进而综合证明结论.