2023届江苏省徐州市第七中学高三上学期9月摸底考试数学试题含解析

2023届江苏省徐州市第七中学高三上学期9月摸底考试数学试题

一、单选题

1．若集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据二次不等式与根式不等式求解集合再取交集即可.

【详解】由，解得，故；又，解得，故，所以.

故选：B

2．的展开式中的常数项为（    ）

A． B．60 C．64 D．120

【答案】B

【分析】根据二项式定理，直接计算即可.

【详解】展开式的通项为，令解得，所以常数项.

故选：B.

3．若“，使成立”是假命题，则实数λ的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先将条件转化为，使成立，再参变分离构造函数，转化为最值问题即可求解.

【详解】若“，使成立”是假命题,则，使成立是真命题，即，，

令，则，则在上单调递增，，则.

故选:C.

4．已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长4，高为3，则其表面积为（    ）

A．36 B．

C． D．48

【答案】B

【分析】先求出侧面上的斜高，再求出正四棱台的上、下底面的面积和侧面积，由表面积公式即可得出答案.

【详解】设正四棱台上、下底面的中心为，为侧面上的斜高，

过作交边于点，

所以，

所以，

所以正四棱台的上、下底面的面积为：，

正四棱台的侧面积为：，

则其表面积为：.

故选：B.

5．已知函数，记，则的大小关系为（    ）

A．  B．

C． D．

【答案】A

【分析】判断函数的奇偶性和时的单调性，结合，从而比较的大小，根据函数的单调性即可得答案.

【详解】函数定义域为,满足，

故为偶函数，

当时，，故此时递增，

，

而，故，

故，

故选：A.

6．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知，客运车票增加了62种，则现在车站的个数为（    ）

A．15 B．16 C．17 D．18

【答案】C

【分析】由题意得，化简计算可得，由于，，可得，从而可求出，经验证可得答案

【详解】原来个车站有种车票，新增了个车站，有种车票，

由题意得，即，

整理得，∴，

∵，，∴，∴，解得，即.

当时，均不为整数，只有当时，符合题意，

∴，故现在有17个车站.

故选：C.

7．高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法.定义：，（从右往左计算）.已知可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据：）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据高德纳箭头表示法即可求解，进而根据对数的运算与指数的互化即可求解.

【详解】因为，故，取对数得，故，故最接近的是，

故选：C

8．已知函数的定义域为，且，为偶函数，若，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分析可知函数为周期函数，且周期为，求得，，结合可求得的值.

【详解】对任意的，由可得，

所以，，则，

所以，函数为周期函数，且周期为，

因为为偶函数，所以，

所以，函数的图象关于直线对称，则，

因为，则，

因为且，则，所以，，

因为，且，

因为，故.

故选：D.

二、多选题

9．已知函数，则（    ）

A．有一个极值点

B．没有零点

C．直线是曲线的切线

D．曲线关于直线对称

【答案】AD

【分析】求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间与极值点，即可判断A、B，再设切点为，利用导数的几何意义退出矛盾即可判断C，最后根据即可判断D.

【详解】解：因为，由，解得，即函数的定义域为，

所以，

令，解得，

故当时，，在时，，

故函数在上单调递增，上单调递减，所以在处取得极大值，故A正确；

又，，

即在中存在一个零点，故B错误，

令切点为，则，即，解得或（舍去），

此时，

故不是曲线的切线，即C错误；

函数，所以函数的图象关于对称，故D正确；

故选：AD．

10．若实数，满足，以下选项中正确的有（    ）

A．的最大值为.

B．的最小值为

C．的最小值为

D．的最小值为5

【答案】AC

【分析】直接利用均值不等式判断A；根据“1”的代换的方法判断B；整理为 ，对作平方处理，结合均值不等式判断C，

利用“1”的代换的方法判断D；

【详解】实数，，，

整理得，当且仅当时取“”，故选项A正确；

(，

当且仅当时取“”，故选项B错误；

，

，

，当且仅当时取“”，故选项C正确，

，，

，当且仅当时取“”，

但已知,故不等式中的等号取不到，

，故选项D错误；

故选：AC

11．如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面，O，P分别是的中点，M是棱SD上的动点，则下列选项正确的是（    ）

A．

B．存在点M，使平面SBC

C．存在点M，使直线OM与AB所成的角为30°

D．点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值

【答案】ABD

【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法判断ACD，根据线面平行的判定定理判断B

【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系（如图），

设，

则，

由M是棱SD上的动点，设，

，

，

，故A正确；

当为的中点时，是的中位线，

所以，

又平面，平面，

所以平面，故B正确；

，

若存在点M，使直线OM与AB所成的角为30°，

则，

化简得，方程无解，故C错误；

点M到平面ABCD的距离，

点M与平面SAB的距离，

所以点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为，是定值，故D正确；

故选：ABD

12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，则关于狄利克雷函数，则正确的是（    ）

A．函数的值域是；

B．任意一个非零有理数都是的周期；

C．函数是偶函数；

D．存在三个点，使得为等边三角形.

【答案】BCD

【分析】根据函数解析式，可求得函数值域，判断A；根据函数解析式结合函数周期性定义可判断B;根据偶函数定义判断C;取特殊值，确定，可得为等边三角形，判断D.

【详解】的值域为，故A错误；

对于任意一个非零有理数，若x是有理数，则也是有理数，则，

若x是无理数，则也是无理数，则，

任意一个非零有理数都是的周期，B正确；

若x是有理数，则是有理数，则，

若x是无理数，则是无理数，则，

故对任意 ,都有 ，故函数是偶函数，C正确；

取 ，则，

故，则 ,

故为等边三角形，故D正确，

故选:BCD.

三、填空题

13．数据：1，2，2，3，4，5，6，6，7，8，其中位数为，60百分位数为，则__________．

【答案】10

【分析】由中位数和60百分位数的求法计算即可.

【详解】中位数，

因为，所以60百分位数，所以.

故答案为：10.

14．已知函数则函数的所有零点之和为___________.

【答案】

【分析】利用分段函数，分类讨论，即可求出函数的所有零点，从而得解．

【详解】解：时，，，由，可得或，或；

时，，，由，可得或，或；

函数的所有零点为，，，，所以所有零点的和为

故答案为：．

15．已知为自然对数底数，函数的值域为，请给出函数的一个定义域__________．

【答案】 答案不唯一

【分析】换元，令，得，先研究函数的值域为，对应的的取值范围，然后再把转换成，得到答案.

【详解】令，则，其图像如图所示，

因为，

由解得，所以在是增函数，

由解得，所以在是减函数，

所以当时，取得最小值，

令，整理得，解得或，

所以函数的值域为时，

可取，

代入，并解得，即，

故答案为： 答案不唯一.

16．已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正三棱锥体积的最大值为___________.

【答案】

【分析】由外接球表面积求出半径，设球心到底面距离为，由三角函数关系解出底面三角形面积，由此可确定正三棱锥体积关于的函数关系.

【详解】因为，所以正三棱锥外接球半径，

正三棱锥如图所示，设外接球圆心为，过向底面作垂线垂足为，

因为是正三棱锥，所以是的中心，

所以，,

又因为，所以

，

所以，

令，

解得

所以在递增，在递减，

故当时，取最大值，.

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合，．

(1)若，求；

(2)若存在正实数，使得“”是“”成立的          ，求正实数的取值范围．

从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）分别求解两个集合，再求并集；

（2）若选①，则是的真子集．若选②，则是的真子集,根据集合的包含关系，列不等式，即可求解的取值范围.

【详解】（1）

因，则．

当时，，所以．

（2）选①  因“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集．

所以．经检验“=”满足．

所以实数的取值范围是．

选②  因为“”是“”成立的必要不充分条件

所以是的真子集．

所以，经检验“=”满足．

所以实数的取值范围是．

18．甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为．比赛采用“三局两胜”制，先胜二局者获胜．商定每局比赛（决胜局第三局除外）胜者得3分，败者得1分；决胜局胜者得2分，败者得0分．已知各局比赛相互独立．

(1)求比赛结束，甲得6分的概率；

(2)设比赛结束，乙得分，求随机变量的概率分布列与数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）“比赛结束，甲得6分”等价于“乙以败给甲或乙以败给甲”，由此即可求出其概率；

（2）由题意知：打2局，乙输；打3局，乙输，打2或3局，乙赢，分别求出其概率，则可写出分布列，计算出数学期望.

【详解】（1）记事件：“比赛结束，甲得6分”，

则事件即为乙以败给甲或乙以败给甲，

所以．

（2）由题意得，可取，

 则，

，

，

即的分布列为

的数学期望为．

19．如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．

（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；

（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；

（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．

【答案】(Ⅰ)见解析；

(Ⅱ) ；

(Ⅲ)见解析.

【分析】(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；

(Ⅱ)建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；

(Ⅲ)首先求得点G的坐标，然后结合平面的法向量和直线AG的方向向量可判断直线是否在平面内.

【详解】(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，则PA⊥CD，

由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，

由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.

(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

易知：，

由可得点F的坐标为，

由可得，

设平面AEF的法向量为：，则

，

据此可得平面AEF的一个法向量为：，

很明显平面AEP的一个法向量为，

，

二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为.

(Ⅲ)易知，由可得，

则，

注意到平面AEF的一个法向量为：，

其且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.

20．已知函数（常数．

（1）若，且，求x的值；

（2）若，求证函数在上是增函数；

（3）当为奇函数时，存在使得不等式成立，求实数m的取值范围．

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．

【分析】（1）直接求解方程即可；

（2）利用单调性的定义即可判断；

（3）令，可将不等式转化为，求出的最小值即可.

【详解】（1）若，且，则，

即，解得，

，，则；

（2）任取，

则

，

，，即，

，，，

，

故在上是增函数；

（3）若为奇函数，则，解得，

经检验，时，为奇函数，，

在单调递增，，

令，

则转化为存在，使得不等式成立，即，

可知在单调递增，则，故.

21．已知双曲线：的右焦点为，左顶点为A，且，到C的渐近线的距离为1，过点的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点.

(1)求双曲线C的标准方程.

(2)若直线MB，NB的斜率分别为，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】(1)

(2)是定值，

【分析】（1）由题意可得，，再结合可求出，从而可求出双曲线方程，

（2）设直线：，，，，将直线方程代入双曲线方程消去，利用根与系数的关系，表示出直线的方程，可表示出点的坐标，同理可表示出点的坐标，从而可表示，，然后计算化简即可

【详解】（1）由题意得，，渐近线方程为，

则到渐近线的距离为，

又因为，

所以，，，

故双曲线的标准方程为.

（2）设直线：，，，，

联立方程组得，

所以，.

因为直线的方程为，

所以的坐标为，同理可得的坐标为.

因为，，

所以

，

即为定值.

22．设函数和都是定义在集合上的函数，对于任意的，都有成立，则称函数与在上互为“函数”．

(1)函数与在上互为“函数”，求集合；

(2)若函数且与在集合上互为“函数”，求证：；

(3)函数与在集合且上互为“函数”，当时，，求函数在上的解析式．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）解：由，得到，即可求解.

（2）由题意得到，得到，根据，即可求解．

（3）当时，，根据题意得到恒成立，转化为对恒成立，得到，进而得到时，，进而得到答案.

【详解】（1）解：由题意，函数与在上互为“函数”，

可得，即，所以，

可得或，解得或，

即集合．

（2）解：由函数且与在集合上互为“函数”，

可得，所以，

因为且，所以，

因为，所以，解得．

（3）解：当时，，

由于与函数在集合上“互为函数”，

所以当，恒成立，

即对于任意的恒成立，

即，所以，

即，所以，

当时，，，

所以当时，，

所以当时，．