2022-2023学年江苏省徐州市第七中学高二上学期9月学情调研数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省徐州市第七中学高二上学期9月学情调研数学试题

一、单选题

1．经过两点，的直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求直线的斜率，再代入点斜式方程，即可得到答案；

【详解】，

直线的方程为，

故选：D

2．若图中的直线，，的斜率分别为，，，则有（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据图象得到直线，，的倾斜角满足，结合斜率与倾斜角的关系，即可求解.

【详解】设直线，，的倾斜角分别为，，，

由图可知，

根据直线的斜率和倾斜角的关系，可得．

故选：C.

3．椭圆的焦距为2，则m的值等于（    ）

A．5 B．3 C．5或3 D．8

【答案】C

【分析】根据椭圆方程的标准形式，求出a，b，c的值，即可列出方程，从而求得m的值．

【详解】由题意知椭圆焦距为2，即c＝1，

当焦点在x轴上时，则，，即，

当焦点在y轴上时，则，，即，

m的值为5或3.

故选：C.

【点睛】本题考查椭圆标准方程的理解，属于基础题.

4．经过点作圆的弦，使得点平分弦，则弦所在直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据圆的性质，得到过点且被点平分的弦所在的直线和圆心与的连线垂直，求得，进而求得所求直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.

【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为，

点在圆C内，则过点且被点平分的弦所在的直线和圆心与的连线垂直，

又由，所以所求直线的斜率为1，且过点，

可得所求直线方程为，即．

故选：A

5．直线y=x+b与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（    ）

A．b=± B．或

C．-1≤b≤1 D．以上都不对

【答案】B

【分析】画出曲线与直线的图象，结合两个图象有且仅有一个公共点来求得的取值范围.

【详解】由得，x2+y2=1（x≥0），该曲线表示的是圆x2+y2=1在y轴及右侧的部分，如图所示，

y=x+b表示斜率为1，在y轴上的截距为b的直线.

由直线与圆相切，得圆心到直线的距离d==1⇒b=±，

结合图形知b的取值范围是或.

故选：B.

6．若两条直线与相互垂直，则（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式，由此可求得实数的值.

【详解】因为，则，解得或.

故选：C.

7．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标

【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得：整理得：m-n+4=0 ①

AB的中点为（1，2）， AB的中垂线方程为，

即x-2y+3=0．联立 解得

∴△ABC的外心为（-1，1）．

则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8  ②

联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．

当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A

【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法： 先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．

8．已知圆，点，分别是圆，圆上的动点，为轴上的动点，则 的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先利用圆的方程求出圆心坐标和半径，利用对称性和三点共线求最值的方法即可得出结果.

【详解】解：由题意可知，圆的圆心，半径为，

圆的圆心，半径为，

要使得取最大值，需的值最大，的值最小.

其中的最大值为,的最小值为

则的最大值为

点关于轴的对称点，

，

所以的最大值为.

故选：C.

二、多选题

9．点在圆的内部，则的取值可能是（       ）

A．-2 B． C． D．2

【答案】BC

【分析】根据点圆的位置关系，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.

【详解】因为点在圆的内部，

所以，所以选项BC符合题意，

故选：BC

10．已知圆：和圆：则（    ）

A．两圆相交 B．公共弦长为

C．两圆相离 D．公切线长

【答案】AB

【分析】先将圆的一般方程化为标准，再计算圆心间距离判断两圆的位置关系，最后根据两圆的位置关系求解公共弦长或公切线长得出答案.

【详解】圆的标准方程为：，圆心为（5，5）半径为

圆 的标准方程为：，圆心为（3，-1）半径为

所以两圆心的距离：，

两圆相交，选项A正确，选项C错误；

设两圆公共弦长为L，则有：

，选项B正确，选项D错误.

故选：AB

11．已知圆：，下列说法正确的是（    ）

A．的取值范围是

B．若，过的直线与圆相交所得弦长为，方程为

C．若，圆与圆相交

D．若，，，直线恒过圆的圆心，则恒成立

【答案】ACD

【分析】根据圆的一般方程可判断A；利用点到直线的距离为可判断B；时很容易判断C；直线恒过圆的圆心，可得，利用基本不等式可判断D.

【详解】对于A，方程表示圆可得，解得，故A正确；

对于B，若，可得圆方程：，

过的直线与圆相交所得弦长为，

则圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，，满足条件，故B不正确；

对于C，，，圆心，半径为，故C正确；

对于D，直线恒过圆的圆心，

可得，，

当且仅当时取等号，故D正确.

故选：ACD.

12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（    ）

A．圆的方程是

B．过点向圆引切线，两条切线的夹角为

C．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2，该直线斜率为

D．在直线上存在异于，的两点，，使得

【答案】ABD

【解析】根据，，点满足，设点，求出其轨迹方程，然后再逐项运算验证.

【详解】因为，，点满足，

设点，则 ，

化简得：，即 ，故A正确；

因为，所以，则 ，解得 ，故B正确；

易知直线的斜率存在，设直线，因为圆上恰有三个点到直线距离为2，则圆心到直线的距离为： ，解得，故C错误；

假设存在异于，的两点，，则，

化简得：，因为点P的轨迹方程为：，所以解得或 （舍去），故存在 ，故D正确；

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：本题关键是根据求出点的轨迹方程，进而再根据直线与圆的位置关系求解.

三、填空题

13．若直线与直线垂直，直线的斜率为，则直线的倾斜角为______．

【答案】##

【分析】求出直线的斜率，结合倾斜角的取值范围可求得结果.

【详解】设直线的倾斜角为，

因为直线与直线垂直，直线的斜率为，则，

因为，因此，.

故答案为：.

14．如果椭圆上一点P到焦点的距离等于6，则点P到另一个焦点的距离为____

【答案】14

【分析】根据椭圆的定义及椭圆上一点P到焦点的距离等于6，可得的长.

【详解】解：根据椭圆的定义，

又椭圆上一点P到焦点的距离等于6，

，故，

故答案：.

【点睛】本题主要考查椭圆的定义及简单性质，相对简单.

15．已知a为实数，若三条直线，和不能围成三角形，则a的值为________．

【答案】或或

【分析】由三条直线不能围成三角形，则三条直线中至少有两条直线平行或三条直线交于同一点列式可得结果.

【详解】设，，

则 ∴与的交点为

∵三条直线不能围成三角形，

∴过与的交点或或，

∴①当过与的交点时，解得： ，

②当时， 解得： ，

③当时，解得：，

综述：或或.

故答案为：或或.

16．已知C为圆：上一动点，点坐标为，点坐标为，则的最小值为_________．

【答案】

【分析】设圆心为，由圆的方程得到圆心和半径，取，可证得，得到，可知，利用两点间距离公式可求得最小值.

【详解】设圆：的圆心为，则，半径，取，

，，，，

（当且仅当三点共线且在线段上时取等号），

，，

即的最小值为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查圆部分的最值问题的求解，解题关键是能够利用三角形相似将问题转化为三角形两边之和大于第三边的问题，由此确定三点共线时取得最小值.

四、解答题

17．已知的三个顶点是

（1）求边的高所在直线方程；

（2）的面积

【答案】（1）；（2）8.

【分析】（1）根据两点求斜率可得，进而得出高的斜率，由点斜式即可求解.

（2）求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出点到的距离，再利用两点间的距离公式求出，利用三角形的面积公式求解即可.

【详解】（1）设边的高所在直线为，

由题知 则，

又点在直线上所以直线的方程为

即

（2）所在直线方程为： 即

点到的距离

又

则

18．已知直线：，直线：.

（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；

（2）若，求直线的方程.

【答案】（1）或；（2）.

【解析】（1）分直线过原点和直线不过原点两种情况讨论，分别求解即可.

(2) 若，则解得或,再验证从而得出答案.

【详解】（1）①若直线过原点，则在坐标轴的截距都为，显然满足题意，

此时则，解得，

②若直线不过原点，则斜率为，解得.

因此所求直线的方程为或

（2）①若，则解得或.

当时，直线：，直线：，两直线重合，不满足，故舍去；

当时，直线：，直线：，满足题意；

因此所求直线：

【点睛】易错点睛：本题考查直线的截距概念和根据两直线的位置关系求参数，在解决这类问题时，直线在两坐标轴上的截距相等（或互为相反数）时，要注意直线过原点时也满足条件，这是在解题中容易漏掉的情况，在由直线平行求参数时，求出参数时要代回检验，对重合的情况要舍去，这个也是容易出错的地方，要注意，属于中档题.

19．已知圆与．

(1)过点作直线与圆相切，求的方程；

(2)若圆与圆相交于、两点，求的长．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据已知可得圆心与半径，再利用几何法可得切线方程；

（2）联立两圆方程可得公共弦方程，进而可得弦长.

【详解】（1）解：圆的方程可化为：，即：圆的圆心为，半径为．

若直线的斜率不存在，方程为：，与圆相切，满足条件．

若直线的斜率存在，设斜率为，方程为：，即：

由与圆相切可得：，解得：

所以的方程为：，即：

综上可得的方程为：或．

（2）联立两圆方程得：，

消去二次项得所在直线的方程：，

圆的圆心到的距离，

所以.

20．已知为直线上一动点，过点向圆作两切线，切点分别为．

(1)求四边形面积的最小值及此时点的坐标；

(2)求原点到直线距离的最大值．

【答案】(1)，

(2)1

【分析】（1）由题意，将求四边形面积最小，转化为求最小，求解即可得出结果；

（2）设，求出为直径的圆的方程，进而求出两个圆公共弦的方程，可求得直线过定点，由此即可得出答案．

【详解】（1）

圆的圆心，半径

由题意可得，≌，

则四边形的面积

要使四边形的面积最小，则最小

当时，最小

过点且与直线垂直的直线为，即

将其与联立，解得此时点的坐标为

则

故四边形面积的最小值为，此时点的坐标为.

（2）因为在直线上，设

则以为直径的圆的圆心为，半径为

则以为直径的圆的方程为

整理得

即以为直径的圆的方程为

又圆的方程为：

两圆方程相减，得两圆的公共弦的方程为

则，由，解得

即直线恒过定点，则

所以当时，原点到直线的距离取最大值，最大值为1．

21．已知直线与圆交于两点.

（1）求的斜率的取值范围；

（2）若为坐标原点，直线与的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）（2）是定值，详见解析

【分析】（1）变换得到，得到直线过点，设，利用直线和圆的位置关系得到，计算得到答案.

（2）联立，根据韦达定理得到，计算，化简计算得到答案.

【详解】（1）由，可得.

由，解得，所以恒过定点.

故可设的方程为，即.

由已知可得圆的标准方程为，圆心，半径，

则由直线与圆相交，可得.

解得，所以的斜率的取值范围为.

（2）是定值

联立，消去，整理得.

设，，由韦达定理得，

则

为定值.

【点睛】本题考查了斜率范围和定值问题，利用韦达定理求解是常用方法，需要熟练掌握，意在考查学生的计算能力.

22．已知圆C经过三点.

（1）求圆C的方程；

（2）设点A在圆C上运动，点，且点M满足，记点M的轨迹为.

①求的方程；

②试探究：在直线上是否存在定点T(异于原点O)，使得对于上任意一点P，都有为一常数，若存在，求出所有满足条件的点T的坐标，若不存在，说明理由.

【答案】（1）；（2）①；②存在，定点为．

【分析】（1）设圆标准方程，代入三点坐标，然后解方程组即可求得结果；

（2）①设，根据求得点坐标的表达式，再代入已知圆方程化简即可；②假设存在一点满足(其中为常数)，设，则：结合P在轨迹上，整理化简求得，即可得坐标．

【详解】（1）设圆C的方程为，将三点分别代入得

， 解得，

 所以圆C的方程为；

（2）①设，则：，

∴， ∴，

∵点A在圆C上运动，∴，

即：∴∴，

所以点M的轨迹方程为，

它是一个以为圆心，以1为半径的圆；

②假设存在一点满足(其中为常数)，

设，则：，

整理化简得：，

∵P在轨迹上，

∴，

化简得：，

所以，

整理得，

∴，

解得：；

∴存在满足题目条件．

【点睛】求动点轨迹方程常用方法：

(1)直接法；(2)定义法；(3)相关点法；

要根据已知条件选择适当方法求解．