2023届江苏省淮安市马坝高级中学高三上学期9月质量检测数学试题含解析

2023届江苏省淮安市马坝高级中学高三上学期9月质量检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用指数函数的单调性求出指数函数的值域进而得出集合，根据二次根式的意义求出集合，利用并集的定义和运算直接计算即可.

【详解】.

.

因此.

故选：D

2．在复平面内，复数，则的虚部是（    ）

A． B．1 C．2 D．

【答案】A

【分析】利用复数的除法解题即可.

【详解】由题，所以的虚部为，

故选：A

3．已知等差数列的公差为1，为其前项和，若，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】D

【分析】先求得，然后求得.

【详解】依题意.

故选：D

4．高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）.

A．16种 B．18种 C．37种 D．48种

【答案】C

【分析】按照去工厂甲的班级数进行分类讨论，由此计算出总的分配方案.

【详解】三个班有一个班去甲，方法数有；三个班有两个班去甲，方法数有；三个班都去甲，方法数有，故总的方法数为种，故选C.

【点睛】本小题主要考查分类加法计数原理，考查组合数的计算，属于基础题.

5．函数的部分图象大致形状是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，分析可得函数为奇函数，且在上，，据此排除分析可得答案．

【详解】解：根据题意，，其定义域为，

则有，即函数为奇函数，排除、；

又由当上时，，，，则有，排除；

故选：．

6．已知定义在上的函数满足，①，② 为奇函数，③当时，恒成立.则、、的大小关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据单调性的定义可得在上单调递增，根据已知条件可得是周期为的奇函数，根据周期性和单调性即可求解.

【详解】由可得的周期为，

因为为奇函数，所以为奇函数，

因为时，，所以在上单调递增，

因为为奇函数，所以在上单调递增，

所以在上单调递增，

因为，，

，

所以，即.

故选：C.

7．中，，D为AB的中点，，则（    ）

A．0 B．2 C．-2 D．-4

【答案】A

【分析】取为基底，表示出即可求解.

【详解】在中，D为AB的中点，，取为基底，

所以,

.

所以.

因为，，所以.

即.

故选：A

8．已知定义在上的函数的导函数为，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】易判断，构造函数可得在上单调递增，∴，即.

【详解】∵，∴在上单调递减

∴，

构造函数，则

∴在上单调递增，∴

即.

故选：C.

9．已知向量，，，，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则有最小值

B．若，则有最小值

C．若，则的值为

D．若，则的值为1

【答案】A

【分析】根据向量的坐标运算，求得，结合向量平行和垂直的坐标运算以及基本不等式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】∵，，∴．

对A：若，则，

当且仅当，即，，取得等号，故选项A正确；

对B：若，则，

当且仅当，，取得等号，故选项B错误；

对C：若，则，即，

则，故选项C错误；

对D：因为,

所以，，则D不正确.

故选：A．

二、多选题

10．下面命题正确的是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．命题“若，则”的否定是“存在，则”

C．设，则“且”是“”的必要不充分条件

D．设，则“”是“”的必要不充分条件

【答案】AD

【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，由，可得，所以充分性成立；

反之：当时，可得或，所以必要性不成立，

所以 “”是“”的充分不必要条件，所以A正确；

对于B中，命题“若，则”的否定是“存在，则”，所以不正确；

对于C中，设，由且，可得成，即充分性成立，

反之：由成立时，可能且，即必要性不成立，

所以“且”是“”的充分不必要条件，所以C不正确；

对于D中，设，当时，可得，即充分性不成立，

反之：由，可得成立，即必要性成立，

所以“”是“”的必要不充分条件，所以D正确.

故选：AD.

11．函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（   ）

A．图像的一条对称轴可能为直线

B．函数的解折式可以为

C．的图像关于点对称

D．在区间上单调递增

【答案】BC

【分析】先根图象求出函数解析式，然后逐个分析判断即可

【详解】由图象可知，得，

所以，所以，

因为函数图象过点，

所以，所以，

得，

因为，所以，

所以，

对于A，因为，所以不是图象的一条对称轴，所以A错误，

对于B，，所以B正确，

对于C，因为，所以的图象关于点对称，所以C正确，

对于D，由，得，当时，，当时，，可知函数在，上递增，所以函数在上递减，所以D错误，

故选：BC

12．某校团委组织“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”学生书画作品比赛，经评审，评出一、二、三等奖作品若干（一、二等奖作品数相等），其中男生作品分别占，，，现从获奖作品中任取一件，记“取出一等奖作品”为事件，“取出男生作品”为事件，若，则（    ）

A． B．一等奖与三等奖的作品数之比为

C． D．

【答案】ABD

【分析】依题意设一、二等奖作品有件，三等奖作品有件，即可表示男、女生获一、二、三等奖的作品数，再根据求出与的关系，从而一一判断即可.

【详解】解：设一、二等奖作品有件，三等奖作品有件，

则男生获一、二、三等奖的作品数为、、，

女生获一、二、三等奖的作品数为、、，

因为，所以，

所以，故A正确；

，故C错误；

一等奖与三等奖的作品数之比为，故B正确；

，故D正确；

故选：ABD

三、填空题

13．若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率是________．

【答案】2

【分析】取双曲线得一条渐近线，根据右焦点到一条渐近线的距离为，可求得，即可求出双曲线的离心率.

【详解】解：不妨取双曲线的一条渐近线，

即，

则右焦点渐近线的距离，

所以，则，

所以双曲线的离心率.

故答案为：2.

14．若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是_________．

【答案】180

【分析】写出二项展开式通项公式，由只有第六项二项式系数最大求得，再确定常数项．

【详解】，

由题意，此不等式组只有一解，因此（）．

，，

所以常数项为．

故答案为：180．

15．如图，在中，是的中点，若，则实数的值是__________.

【答案】

【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件将用表示即可求出的值

【详解】因为，所以为的中点，

因为是的中点，

所以，

所以,

因为，

所以，

故答案为：

四、双空题

16．设函数已知不等式的解集为，则______，若方程有3个不同的解，则m的取值范围是________．

【答案】     0    

【分析】（1）先对函数求导，判断其单调性和极值，在同一直角坐标系中，作出函数与的大致图象，结合图象，由不等式的解集，即可求出的取值；根据方程有3个不同的解，等价于函数与直线有三个不同的交点，利用数形结合的方法，即可求出结果.

【详解】由，得；

由得或；由得；

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

因此，当时，函数取得极大值；当时，函数取得极小值；

由可得或；

在同一直角坐标系中，作出函数与的大致图象如下，

由图象可得，当时，；

因为，为使不等式的解集为，

结合图象可知，只有；

所以

因为方程有3个不同的解，等价于函数与直线有三个不同的交点，

作出函数的大致图象如下：

由图象可得，；

故答案为：；.

五、解答题

17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求A；

(2)若，，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理，角化边，得到，利用余弦定理，求得答案；

（2）利用余弦定理结合求得，利用三角形面积公式，求得答案.

【详解】(1)因为，

在中，由正弦定理可得，化简得，

所以.

又因为，所以.

(2)由余弦定理，得

因为，所以将代入上式，解得，

所以的面积.

18．已知函数，其中.若函数的图象在点处的切线与直线平行.

（1）求的值；

（2）求函数的极值.

【答案】（1）；（2）极大值，极小值.

【分析】（1）由导数的几何意义求解即可；

（2）由导数研究函数的单调性，进而求得极值即可.

【详解】（1）由已知，可得.

函数的图象在点处的切线与直线平行，

，解得.

经验证，符合题意.

（2）由（1）得，求导.

令，得或

当变化时，与的变化情况如下表：

当时，取得极大值，且；

当时，取得极小值，且.

【点睛】方法点睛：本题主要考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性与极值，求切线常见考法：

(1)已知切点求斜率k，即求该点处的导数值：．

(2)已知斜率k，求切点，即解方程.

(3)若求过点的切线方程，可设切点为，由，求解即可．

19．已知函数．

(1)若且，求的值；

(2)记函数在上的最大值为b，且函数在上单调递增，求实数a的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)化简f(x)解析式，根据求值即可；

(2)求出f(x)的最大值b，求出f(x)的单调递增区间，求出与已知区间对应的增区间A，则是区间A的子集.

【详解】(1)，

∵，∴，

∵，∴，

∴，

∴；

(2)当时，，，∴，

由，，

得，，

又∵函数在上单调递增，

∴，∴，

∴，∴实数a的最小值是.

20．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，平面，且．点在棱上，点为中点．

(1)证明：若，则直线平面；

(2)求平面与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取，利用平行线分线段成比例和平行四边形的性质，结合线面平行的判定可证得平面，平面，由面面平行的判定与性质可证得结论；

（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得所求角的余弦值，由余弦值可求得正弦值.

【详解】(1)在上取一点，使得，连接，

，，又平面，平面，

平面；

，，，

，，四边形为平行四边形，，

又平面，平面，平面；

，平面，平面平面，

平面，平面.

(2)由题意知：以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，

，，，平面与平面所成

设平面的法向量，

则，令，解得：，，；

设平面的法向量，

则，令，解得：，，；

，

平面与平面所成角的正弦值为.

21．随着原材料供应价格的上涨，某型防护口罩售价逐月上升． 1至5月，其售价（元/只）如下表所示：

(1)请根据参考公式和数据计算相关系数（精确到0.01）说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求y关于x的线性回归方程；

(2)某人计划在六月购进一批防护口罩， 经咨询届时将有两种促销方案：

方案一：线下促销优惠．采用到店手工“摸球促销”的方式．其规则为：袋子里有颜色为红、黄、蓝的三个完全相同的小球，有放回的摸三次．若三次摸的是相同颜色的享受七折优惠，三次摸的仅有两次相同颜色的享受八折优惠，其余的均九折优惠．

请用（1）中方程对六月售价进行预估，用X表示据预估数据促销后的售价，求两种方案下X的分布列和数学期望，并根据计算结果进行判断，选择哪种方案更实惠．

参考公式：，，其中，．

参考数据：，，，．

【答案】(1)相关系数；

(2)6月预计售价为4元/只；方案一分布列见解析；期望为；方案二分布列见解析；期望为；应选择方案一

【分析】（1）依据题中所给数据，计算出的值，带入参考公式计算即可.

（2）根据（1）中线性回归方程，求得X可取的值，依次计算概率，列出分布列，求解数学期望，利用数学期望比较两种方案.

【详解】(1)相关系数

，

由于0.98接近1，说明y与x之间有较强的线性相关关系．

，，

所以．

(2)由（1）可知，，当时，，即6月预计售价为4元/只．

X可取的值为2.8，3.2，3.6．

若选优惠方案一，

；

；

；

此时.

若选优惠方案二，

客户每次和机器人比赛时，胜出的概率为，则不胜的概率为．

；

；

；

此时.

，说明为使花费的期望值最小，应选择方案一．

22．已知．

（1）讨论的单调性；

（2）已知函数有两个极值点，求证：．

【答案】（1）当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．（2）见解析.

【解析】（1）先对函数求导，令，求出解为，从而可探究、随自变量的变化，结合导数与单调性的关系即可求解；

（2）由（1）可知，记，结合基本不等式可证明，从而可知在上单调递增，则可知，结合 的单调性可证明.

【详解】解：（1），记，则．

由， ，解得．

当时，，函数即单调递减；

当时，，函数即单调递增．

（2）由题意知有两个零点，为，不妨设，

由（1）可知，．所以.

记

，则，因为，

由均值不等式可得，

当且仅当，即时，等号成立．所以在上单调递增．

由，可得，即，

因为为函数的两个零点，所以，所以，

又，所以，又函数在上单调递减，

所以，即．

【点睛】本题考查了运用导数求解函数的单调性，考查了基本不等式，考查了运用导数证明不等式成立.本题的难点在于第二问中，自行构造出.