2022-2023学年江苏省淮安市马坝高级中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省淮安市马坝高级中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由直线方程求直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系求倾斜角.

【详解】 即 ，

所以斜率为，

设直线的倾斜角为，则

又，

所以 ，

即 ．

故选：B.

2．双曲线的焦距等于（    ）

A．4 B．2 C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用双曲线方程求出半焦距作答.

【详解】双曲线的半焦距为c，则，解得，

所以双曲线的焦距等于.

故选：D

3．圆与圆的位置关系为（    ）

A．相交 B．内切 C．外切 D．相离

【答案】A

【分析】求出两圆圆心距，再判断两圆位置关系作答.

【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，

则，有，

所以圆与圆相交.

故选：A

4．已知是等差数列的前项和，若，则（    ）

A．250 B． C．180 D．

【答案】B

【分析】由已知，根据题意，将直接带入求和公式即可.

【详解】由已知，数列为等差数列， ，

所以.

故选：B.

5．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为(    )

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【分析】分为过原点和不过原点两种情况讨论，根据直线方程的截距式即可求得方程﹒

【详解】当截距都为0时，过点时直线为，

当截距不为零时，设直线为，代入点得

故选：D﹒

6．设等比数列的前项和为，若，则公比（    ）

A．4 B． C．2 D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，结合等比数列通项及前n项和的意义，列式计算作答.

【详解】等比数列的前项和为，由得：，

而，则有，解得，

所以.

故选：C

7．点是椭圆的一个焦点，点在椭圆上，线段的中点为，且（为坐标原点），则线段的长为（    ）

A．2 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【分析】结合三角形的中位线以及椭圆的定义求得正确答案.

【详解】不妨设为左焦点，为右焦点，

依题意，

由于线段的中点为，而是线段的中点，

所以,

根据椭圆的定义可知.

故选：D

8．若直线 ​与圆​相交于​两点， 且​(其中​为原点)， 则​的值为（    ）

A．​或​ B．​ C．​或​ D．​

【答案】A

【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.

【详解】由可知，圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式可得

故选：A

【点睛】

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．已知直线与直线垂直，则实数a的值是

B．直线必过定点

C．直线在y轴上的截距为

D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为

【答案】BC

【分析】根据直线垂直关系列方程求，判断选项A；将直线方程化为点斜式即可判断选项B；根据截距的定义判断选项C，根据条件求出满足要求的直线方程，判断选项D.

【详解】解：对A：因为直线与直线垂直，

则，解得或，A不正确；

对B：直线可变为，因此直线必过定点，即B正确；

对C：由直线方程取，得，

所以直线在y轴上的截距为，所以C正确．

对D：经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为或，所以D不正确；

故选：BC．

10．已知，则下述正确的是（    ）

A．圆C的半径 B．点在圆C的内部

C．直线与圆C相切 D．圆与圆C相交

【答案】ACD

【分析】先将圆方程化为标准方程，求出圆心和半径，然后逐个分析判断即可

【详解】由，得，则圆心，半径，

所以A正确，

对于B，因为点到圆心的距离为，所以点在圆C的外部，所以B错误，

对于C，因为圆心到直线的距离为，

所以直线与圆C相切，所以C正确，

对于D，圆的圆心为，半径，

因为，，

所以圆与圆C相交，所以D正确，

故选：ACD

11．已知等差数列的前项和为，公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是(    )

A． B．

C．有最大值 D．当时，的最大值为21

【答案】BC

【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式，列出关于和公差d的方程组，求得通项公式后逐项判断即可.

【详解】设公差为d，则由题可知，解得，，

故B正确；

，，故A错误；

∵，，故根据等差数列前n项和的性质可知有最大值，故C正确；

＞0，则，故的最大值为20，故D错误.

故选：BC.

12．已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则（    ）

A．

B．若，则M到x轴距离为3

C．若，则

D．的最小值为4

【答案】ABD

【分析】根据给定的条件，求出抛物线的方程，结合抛物线定义，逐项分析计算即可判断作答.

【详解】抛物线上的点A到抛物线焦点F距离的最小值为1，则有，解得，A正确；

抛物线的方程为，焦点，准线，设，

对于B，点，由抛物线的定义知，，

有，所以M到x轴距离，B正确；

对于C，，由得：，即，

又，即，则，解得，

于是得，C不正确；

对于D，抛物线中，当时，，因此点在抛物线上方，

过点P作于，交抛物线于点Q，连QF，过A作于，连AF，AP，，如图，

显然，当且仅当点A与Q重合时取等号，

所以，D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．点到直线的距离为___________.

【答案】

【分析】由点到直线的距离公式计算．

【详解】由已知所求距离为．

故答案为：．

14．数列的前项和为，且___________.

【答案】

【分析】根据给定的通项公式，利用并项求和法计算作答.

【详解】数列中，，则，

所以.

故答案为：

15．当圆C：截直线l：所得的弦长最短时，实数______

【答案】

【分析】根据直线方程，求其所过定点，整理圆的一般方程，明确圆心与半径，根据弦长公式，确定当弦长最短时，圆心到直线距离的取值，根据点到直线的距离公式，可得答案.

【详解】由直线l：，整理可得，令，解得，则直线过定点，

由圆C：，整理可得：，可知圆心，半径，

因为，故在圆内，

设圆心到直线的距离为，在弦长为，显然当取得最大值，弦长最短，

在时，，则弦长的最小值为，

此时，则，两边平方整理可得，解得，

故答案为：.

16．已知，是椭圆：（）的左，右焦点，A是椭圆的左顶点，点在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为______.

【答案】##0.5

【分析】结合图像，得到，再在中，求得，，从而得到，代入直线可得到，由此可求得椭圆的离心率.

【详解】由题意知，直线的方程为：，

由为等腰三角形，，得，

过作垂直于轴，如图，则在中，，

故，，

所以，即，

代入直线，得，即，

所以所求的椭圆离心率为.

故答案为：.

.

四、解答题

17．已知直线经过两直线和的交点.

(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；

(2)若直线与直线平行，求直线的方程.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）解方程组求出直线的交点，根据垂直条件设出直线l的方程求解作答.

（2）由（1）的交点坐标，再根据平行条件设出直线l的方程求解作答.

【详解】（1）由解得，即直线的交点为，

因直线与直线垂直，则设直线的方程为，有，解得，

所以直线方程为.

（2）由（1）知，直线的交点为，

因直线与直线平行，则设直线的方程为，有，解得，

所以直线的方程为.

18．（1）求焦点在轴上，且经过点与的双曲线的标准方程；

（2）已知抛物线的焦点是直线与坐标轴的一个交点，求抛物线的标准方程.

【答案】（1）；（2）或.

【分析】（1）根据给定条件，设出双曲线方程，利用待定系数法求解作答.

（2）求出直线与坐标轴的交点，再写出抛物线方程作答.

【详解】（1）设双曲线方程为：，因点、在双曲线上，

则有，解得，

所以双曲线的标准方程为：.

（2）直线交y轴于点，则以为焦点的抛物线的标准方程为，

直线交x轴于点，则以为焦点的抛物线的标准方程为.

所以抛物线的标准方程为或.

19．已知等差数列满足，前4项和．

(1)求的通项公式；

(2)设等比数列满足，，数列的通项公式．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件列关于和的方程组，解方程求得和的值，即可求解；

（2）等比数列的公比为，由等比数列的通项公式列方程组，解方程求得和的值，即可求解.

【详解】（1）设等差数列首项为，公差为d．

∵

∴

解得：

∴等差数列通项公式

（2）设等比数列首项为，公比为q

∵

∴

解得：

即或

∴等比数列通项公式或

20．已知圆经过和两点，且圆心在直线上．

(1)求圆的方程；

(2)从点向圆C作切线，求切线方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】(1)根据弦的中垂线过圆心,联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解;(2)根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解.

【详解】（1）由题可知,所以线段的中垂线的斜率等于1，

又因为的中点为，

所以线段的中垂线的直线方程为，

即，

联立 解得 ，所以圆心

又因为半径等于,所以圆的方程为.

（2）设圆的半径为，则，

若直线的斜率不存在，因为直线过点，

所以直线方程为，

此时圆心到直线的距离，满足题意;

若直线的斜率存在，设斜率为，

则切线方程为，即，

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，

解得，

所以切线方程为，即.

所以切线方程为或.

21．已知数列为公差不为零的等差数列, ,且,,成等比数列

（1）求数列的通项公式

（2）若数列满足,求数列的前项和.

【答案】（1）（2）.

【分析】（1）利用公式法求通项公式即可.

       （2）由已知得，为等差数列，为等比数列，求和时注意使用分项求和的方法来求和即可.

【详解】解：（1）设数列的公差为，因为，，成等比数列，

所以

即，将代入，解得或（舍），

所以.

（2）数列的前项和为.

又，所以数列为首项为，公比为的等比数列，

所以数列的前项和为.

所以数列的前项和为.

【点睛】本题考查数列的公式法求通项公式，以及等差数列和等比数列的求和，属于简单题

22．椭圆C：的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△ AOB面积的最大值．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程；

（2）由△ AOB面积公式的结构知只要最大即可，当时，用k去表示，再利用基本不等式求出最大值．

【详解】（1）解：设椭圆的半焦距为c，

依题意，

∴ 所求椭圆方程为．

（2）解：设，，

当时，设直线AB的方程为，

由已知，

得．

把代入椭圆方程，

整理得，

，

∴ ，．

∴ ，

，

，

，

，

，

．

当且仅当，

即时等号成立．

当时，，

综上所述：．

∴ 当最大时，△AOB面积取最大值．

【点睛】本题解题的关键是把正确的用k去表示，且计算量较大．注意点为要验算根的判别式及基本不等式取等的条件．