吉林省实验中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试题

这是一份吉林省实验中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试题，共21页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，如图，在△ABC中，，下列判断错误的是，如图，因式分解等内容，欢迎下载使用。

绝密★启用前
2021-2022学年度???学校7月月考卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分




注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
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评卷人
得分



一、单选题
1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义逐个判断即可.
【详解】
A、是整式的乘法，故此选项不符合题意；
B、不属于因式分解，故此选项不符合题意；
C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项不符合题意；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项符合题意；
故选：D.
【点睛】
本题考查了因式分解的意义，解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别.
2．下列多项式不能用公式法因式分解的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
A、B选项考虑利用完全平方公式分解，C、D选项考虑利用平方差公式分解．
【详解】
解：A.a2-8a+16=（a-4）2，故选项A不符合题意；
B. ，故选项B不符合题意；
C. -a2-9不是平方差的形式，不能运用公式法因式分解，故选项C符合题意；
D. ，故选项D不符合题意；
故选C
【点睛】
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法是解决本题的关键．
3．如图，∠ABD＝∠CBD，现添加以下条件不能判定△ABD≌△CBD的是（　　）

A．∠A＝∠C B．∠BDA＝∠BDC C．AB＝CB D．AD＝CD
【答案】D
【解析】
【分析】
利用三角形全等的判定方法对各选项进行判断即可．
【详解】
解：∵∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，
∴当添加∠A＝∠C时，可根据“AAS”判断△ABD≌△CBD；
当添加∠BDA＝∠BDC时，可根据“ASA”判断△ABD≌△CBD；
当添加AB＝CB时，可根据“SAS”判断△ABD≌△CBD；
当添加AD＝CD时，不能判断△ABD≌△CBD；
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键．
4．如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）

A．1.5 B．1.4 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
图中正方形的边长为1，则可根据勾股定理求出正方形对角线的长度．以数轴的原点为圆心，以正方形对角线长度为半径画弧，则OA的长度等于正方形对角线的长度．
【详解】
由勾股定理可知，
∵OA=，
∴点A表示的数是．
故选C．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的知识，还要了解数轴上的点表示数的方法．解题关键是利用勾股定理求出正方形的对角线长度．
5．如图，在△ABC中，．用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到点A、点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
点P到点A、点B的距离相等知点P在线段AB的垂直平分线上，据此可得答案．
【详解】
解：∵点P到点A、点B的距离相等，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质与尺规作图．
6．下列判断错误的是（　　）
A．等腰三角形是轴对称图形
B．有两条边相等的三角形是等腰三角形
C．等腰三角形的两个底角相等
D．等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合
【答案】D
【解析】
【分析】
根据轴对称的定义以及等腰三角形的性质判断即可.
【详解】
解：A、等腰三角形是轴对称图形，正确；
B、两条边相等的三角形叫做等腰三角形，正确；
C、等腰三角形的两腰相等，两个底角相等，正确；
D、等腰三角形顶角的角平分线与底边上的中线、底边上的高线互相重合，故本选项错误；
故选D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形性质与轴对称的定义是本题的关键．
7．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（       ）
A．三内角之比为1：2：3 B．三内角之比为3：4：5
C．三边长之比为3：4：5 D．三边长分别为1、、2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据勾股定理逆定理和三角形内角和为180°进行判断能否构成直角三角形即可．
【详解】
解：A、根据三角形内角和公式，求得各角分别为30°，60°，90°，所以此三角形是直角三角形；
B、180°×=75°，不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、设三边长分别为3x，4x，5x，则有，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D、12+（）2=22，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法．在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
8．如图．已知圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为3dm．在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（       ）


A． B． C．10dm D．
【答案】C
【解析】
【分析】
要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【详解】
解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．

∵圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为3dm，
∴AB=3dm，BC=BC′=4dm，
∴AC2=32+42=25，
∴AC=5（dm）．
∴这圈金属丝的周长最小为2AC=10（dm）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键．
第II卷（非选择题）
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评卷人
得分



二、填空题
9．因式分解：______．
【答案】ab（3a-b）
【解析】
【分析】
直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案．
【详解】
解：3a2b−ab2=ab（3a-b）．
故答案为：ab（3a-b）．
【点睛】
本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
10．如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，∠A=40°，则∠CBD的度数为______．

【答案】20°
【解析】
【分析】
直接利用等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=70°，进而利用三角形内角和定理得出答案．
【详解】
∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=70°，
∵BD⊥AC于点D，
∴∠CBD的度数为：90°-70°=20°．
故答案为20°．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质，正确得出∠C的度数是解题关键．
11．已知直角三角形两条直角边的长分别为8，15，则斜边上的高为______．
【答案】
【解析】
【分析】
设斜边上的高为h，先根据勾股定理求出斜边的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】
解：设斜边上的高为h，
∵直角三角形两条直角边的长分别为8，15，
∴斜边的长==17，
∴×8×15=×17h，
解得h=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了利用勾股定理及利用面积法求直角三角形的高，是解此类题目常用的方法．
12．如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则______．

【答案】45°
【解析】
【分析】
利用勾股定理可求出AB2，AC2，BC2的长，进而可得出AB2=AC2+BC2，AC=BC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质，可得出∠ABC=45°．
【详解】
解：连接AC，

根据题意，可知：BC2=12+22=5，AC2=12+22=5，AB2=12+32=10．
∴AB2=AC2+BC2，AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°．
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，利用勾股定理的逆定理及AC=BC，找出△ABC为等腰直角三角形是解题的关键．
13．如图，在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则_______．

【答案】4
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质可得，再根据勾股定理、等量代换可得，同理可得其他正方形的对应等式，然后代入求和即可得．
【详解】
解：设正放置的四个正方形的边长分别为，，，，
则
如图，由正方形的性质得：，
，
，即
在和中，


，，
在中，，即
同理可得：

故答案为：4．

【点睛】
本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是根据三角形全等的判定方法找出全等三角形．
14．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点处，则AE的长为___．

【答案】
【解析】
【详解】
∵AB=12，BC=5，
∴AD=5，
∴，
根据折叠可得：AD=A′D=5，
∴A′B=13－5=8，
设AE=x，则A′E=x，BE=12－x，
在Rt△A′EB中：，解得：，
故答案为：．
评卷人
得分



三、解答题
15．因式分解：
（1）       
（2）
【答案】（1）-( m-1)2；（2）x(x+7)(x-7)．
【解析】
【分析】
（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可；
（2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可．
【详解】
解：（1）−m2+2m−1
=-( m2-2m+1)
=-( m-1)2；
（2）x3−49x
=x( x2-49)
=x(x+7)(x-7)．
【点睛】
本题主要考查了综合运用提公因式法、公式法进行因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法是解决本题的关键．
16．已知，，求的值．
【答案】．
【解析】
【分析】
对所求的式子提公因式后再利用完全平方公式分解，然后整体代入即可求解．
【详解】
解：

，
∵，，
∴原式．
【点睛】
本题考查了综合提公因式和公式法因式分解，整式的混合运算与求值等知识点，能正确根据整式的运算法则和完全平方公式进行化简是解此题的关键．
17．图1、图2、均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．
（1）在图1中的线段AB上找一点D，连接CD，使；
（2）在图2中的线段AC上找一点E，连接BE，使；

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）在边长上取一点D，使得BC=BD=3，连接CD；
（2）线段AB的垂直平分线与AC的交点E即为所求．
【详解】
解：（1）如图1中，点D即为所求；
（2）如图2中，点E即为所求．
．
【点睛】
本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
18．求代数式的最大值或最小值．
解：∵（______）（______），
又∵，∴，
∴当______时，即______时，
代数式有最______值是______．
【答案】x2+2x+1，x+1，0，-1，小，2
【解析】
【分析】
利用利用完全平方公式以及平方的非负性即可求解．
【详解】
解：∵x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2，
又∵(x+1)2≥0，
∴(x+1)2+2≥2，
∴当x+1=0时，即x=-1时，
代数式x2+2x+3有最小值是2．
故答案为：x2+2x+1，x+1，0，-1，小，2．
【点睛】
本题考查了完全平方公式以及平方的非负性求最值，正确运用完全平方公式是求解本题的关键．
19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD=DF．
（1）求证：CF=EB；
（2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）AB＝AF＋2BE
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的性质得到DC＝DE，证明Rt△FCD≌Rt△BED，根据全等三角形的性质证明；
（2）证明Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形的性质证明．
【详解】
（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90，
∴DC＝DE，
在Rt△FCD和Rt△BED中，
，
∴Rt△FCD≌Rt△BED（HL），
∴CF＝EB；
（2）解：在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
∴AB＝AE＋BE
＝AF＋FC＋BE
＝AF＋2BE．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
20．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变．回答下列问题：


(1)根据题意可知：AC______BC＋CE（填“>”、“<”、“＝”）．
(2)若CF＝5米，AF＝12米，AB＝9米，求小男孩需向右移动的距离．（结果保留根号）
【答案】(1)=
(2)小男孩需向右移动的距离为米
【解析】
【分析】
(1)根据绳长始终保持不变即可解答；
(2)首先理解题意，明确小男孩需向右移动的距离是哪条线段的长，然后利用勾股定理即可求解．
(1)
∵AC的长度是男孩未拽之前的绳子长，（BC＋CE）的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，
∴AC＝BC＋CE，
故答案为：＝；
(2)
∵CF＝5米，AF＝12米，
∴在Rt△CFA中，由勾股定理得：（米），
∵BF＝AF－AB＝12－9＝3（米），
∴在Rt△CFB中，由勾股定理得：（米），
由（1）得：AC＝BC＋CE，
∴（米），
∴小男孩需向右移动的距离为米．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题的关键．
21．如图所示，点是等边三角形内的一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到．

（1）求的长；
（2）的度数．
【答案】（1）6；（2）
【解析】
【分析】
（1）连结PP′，由旋转性质可知BP′＝PC＝10，AP′＝AP，∠PAC＝∠P′AB，根据∠PAC+∠BAP=∠P′AB+∠BAP=60°可得△APP′为等边三角形，即可证明PP′=AP=6；
（2）利用勾股定理的逆定理可得△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，由（1）得∠APP′=60°，即可得答案．
【详解】
解：（1）连结，如图．
∵为等边三角形，
∴，，
∵绕点逆时针能转后，得到，
∵∠PAC+∠BAP=∠P′AB+∠BAP=60°，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，．
（2）在中，
∵，，，
在△BPP′中，
∴，
∴为直角三角形，，
∴．

【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．
22．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且．
（1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______．
（2）若图中阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米，求图中空白部分的面积．

【答案】（1）（a+2b）（2a+b）；（2）15平方厘米
【解析】
【分析】
（1）根据图形观察可得因式分解结果．
（2）整个图形面积减阴影部分面积即可．
【详解】
解：（1）观察图形，可得：2a2+5ab+2b2
=（a+2b）（2a+b）．
故答案为：（a+2b）（2a+b）．
（2）∵图中阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米．
∴2a2+2b2=20，2（a+2b+2a+b）=24．
∴a2+b2=10，a+b=4．
∵（a+b）2=a2+b2+2ab．
∴16=10+2ab．
∴ab=3．
2a2+5ab+2b2=2×10+5×3=35（平方厘米）．
空白部分面积为：35-20=15（平方厘米）．
【点睛】
本题考查因式分解的应用，仔细观察图形，找到面积关系是求解本题的关键．
23．如图，AE//BC，∠A=90°，BC=AC=6 cm，EA上取点D．使得∠1=∠2．
（1）求证： BD=DC；
（2）若点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C点运动，设点P运动的时间为t秒：
①当______时，PD平分∠BDC；
②若点Q以3cm/s的速度由C→A→E运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动，______时，△PCQ是等腰三角形．

【答案】（1）见解析；（2）①3s；②1.5s或s
【解析】
【分析】
（1）由平行线的性质，即可得到∠DBC=∠DCB，进而得出DB=DC；
（2）①依据△DCB是等腰三角形，可得当点P是BC的中点时，DP平分∠BDC，即可得到BP=BC，可得t=×6=3（s）；
②分两种情况讨论：①当点Q在AC上，PC=QC时，②当点Q在AE上，且QP=QC时，依据等腰三角形的性质，即可得到t的值．
【详解】
解：（1）∵AE∥BC，
∴∠1=∠DBC，∠2=∠DCB，
又∵∠1=∠2，
∴∠DBC=∠DCB，
∴DB=DC；
（2）①由（1）知△DCB是等腰三角形，
∴当点P是BC的中点时，DP平分∠BDC，
∴BP=BC，
即t=×6=3（s）；
故答案为：3s；
②分两种情况讨论：
当点Q在AC上，PC=QC时，

则6-t=3t，
解得t=1.5；
当点Q在AE上，且QP=QC时，AQ=PC，

即3t-6=（6-t），
解得t=；
综上所述，t为1.5s或s时，△PCQ是等腰三角形．
故答案为：1.5s或s．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质的运用，解题时注意：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
24．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由；
(2)性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点，．试证明：；
(3)解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、．已知，，求的长．
【答案】(1) 四边形是垂美四边形，理由见解析；(2)证明见解析；(3) .
【解析】
【分析】
（1）根据垂直平分线的判定定理，可证直线是线段的垂直平分线，结合“垂美四边形”的定义证明即可；
（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）连接、，先证明，得到，可证，即，从而四边形是垂美四边形，根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可．
【详解】
(1)四边形是垂美四边形．
证明：连接AC，BD，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，即四边形是垂美四边形；

(2)猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．
如图2，已知四边形中，，垂足为，
求证：
证明：∵，
∴，
由勾股定理得，，
，
∴；
故答案为．
(3)连接、，
∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，又，
∴，即，
∴四边形是垂美四边形，
由(2)得，，
∵，，
∴，，，
∴，
∴．

【点睛】
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．