高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式教学设计

第二章  直线和圆的方程

2.3.4  （微专题）直线系方程及其应用

（一）创设情景，揭示课题

【情景】经过已知两条直线与的交点的直线又多少条？如何有效的描述？

【问题】你能找出具有共同特征的直线吗？

【发现】

（1）同时与一条直线平行的直线

（2）同时与一条直线垂直的直线

（二）阅读精要，研讨新知

（一）与直线（不同时为）平行的直线系方程

     结论：可以设为

【典例1】（1）已知点是直线外一点，

则方程表示（   ）

A．过点且与垂直的直线  B．过点且与平行的直线

C．不过点且与垂直的直线   D．不过点且与平行的直线

解：因为点不在直线上，所以

所以不经过点，且与直线平行，故选D

【典例1】（2）直线与的正中平行直线方程为_________.

解：直线的方程化为. 设正中平行直线的方程为，

则，即，解得.

所以，所求正中平行直线方程为.

答案：

（二）与直线（不同时为）垂直的直线系方程

     结论：可以设为

【典例2】求经过点，且与直线垂直的直线的方程_____________．

解：设与直线垂直的直线系方程为，

因为经过点，所以，

所以，所求直线方程为．

答案：

（三）过定点的直线系方程

结论：可以设为（不同时为）

【典例3】不论为何实数，直线恒过一个定点，则定点的坐标是______．

解：由已知，变形得，

    即，所以直线过定点

答案：

【问题】上述方法对于变形的“配凑”要求较高，是唯一的方法吗？

（四）过直线（不同时为）与（不同时为）

交点的直线系方程

结论：可以设为：（为参数且）.

【发现】对于【典例3】的另一个解法：

解：由已知得对任意成立

 所以，解得，因此直线过定点

【典例4】（1）设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，

则直线l的方程_____________．

解：设所求的直线方程为

整理得

令，则，令，则，

依题意，即，解得或．

所以，所求的直线方程为或．

答案：或

【典例4】（2）求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程_____________．

解：由已知，设，即

     依题意，得，解得

     所以，所求直线为

答案：

【典例4】（3）已知直线 ，则直线必经过（   ）

A. 第一象限         B. 第二象限        C. 第三象限        D. 第四象限

解：利用过两直线交点的直线系方程，将方程整理为.

由，解得，显然点(,)在第一象限，故选A

（三）探索与发现、思考与感悟

1. 求证：直线与点的距离不等于3.

证明：方法一：由点线距离公式，

    =.

假设，即，

整理得.

因为，

所以方程无实根.

所以，即直线与点的距离不等于3.

【感悟】利用反证法的思路运用. 通过方程无解来进行证明.

方法二：把直线化为.

由，解得.

所以直线恒过定点.

    点到直线取最大距离时, ，即最大距离是=

因为， 

所以直线与点的距离不等于3.

【感悟】利用直线系恒过与的交点， 由运动与变化观点，当直线时，点线距离为最大.