2022-2023学年福建省三明市沙县八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省三明市沙县八年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 估算的值在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

2. 下列不能准确表示地理位置的是(    )

A. 东经度，北纬度 B. 方向南偏东，距离公里
C. 距三明北动车站 D. 排号

3. 过点和作直线，则直线(    )

A. 与轴平行 B. 与轴平行
C. 与轴相交 D. 与轴，轴均相交

4. 下列四个二次根式中，最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 在下列四组数中，属于勾股数的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

6. 在实数，，，，，，相邻两个之间的个数逐次加中，无理数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7. 下列各曲线中表示是的函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 下列说法不正确的是(    )

A. 的平方根是 B. 一个负数的立方根是一个负数
C. 的立方根是 D. 的算术平方根是

9. 一次函数与正比例函数为常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 请用“、、符号比较大小： ______．
12. 如图，用表示点的位置，用表示点的位置，则点的位置可表示为______．

13. 已知点在轴上，那么点的坐标是______ ．
14. 如图，在中，，以为边向外作正方形，若图中阴影部分的面积为，，则______．

15. 如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为______．

16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，点为线段上一动点，将沿翻折，使点落到点处．当，两点之间距离最短时，点的坐标为______．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
18. 本小题分
    如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点，点在网格中的位置如图所示．
    请在方格纸中建立适当的平面直角坐标系，使点、点的坐标分别为、；
    点的坐标为，在平面直角坐标系中标出点的位置，连接，，，则的面积为______．
    在图中画出关于轴对称的图形，并写出各点坐标：______，______，______

19. 本小题分
    如图，，，一机器人在点处看见一球从点出发沿方向匀速滚向，机器人立即从点出发，沿直线匀速前进栏截球，在处截住球．球滚速与机器人行速相同，机器人行走的路程为多少？

20. 本小题分
    阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分．
    又例如：，即，的整数部分是，小数部分为．
    的整数部分是______，小数部分是______．
    的小数部分为，的整数部分为，则______．
    已知是的整数部分，是的小数部分，求．
21. 本小题分
    在如图所示的直角坐标系中画出一次函数的图象，并根据图象回答下列问题：
    图象与轴、轴的交点、的坐标是什么？
    当时，随的增大而怎样变化？
    计算图象与坐标轴围成的三角形的面积．

22. 本小题分
    由于大风，山坡上的一颗树甲被从点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一颗树乙的根部处，已知米，米，两棵树的水平距离为米，求这棵树原来的高度．
     
23. 本小题分
    杆秤是我国传统的计重工具，如图，称钩上所挂不同重量的物体使得秤砣到秤纽的水平距离不同，称重时，秤钩所挂物重为斤时，杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米，如表中为若干次称重时所记录的一些数据，且是的一次函数．

注：秤杆上秤砣在秤纽左侧时，水平距离厘米为正，在右侧时为负．
根据题意，完成表格中的空：______，______；
请求出与的关系式；
当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离左侧为厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？

24. 本小题分
    阅读材料：我们已经知道，形如的无理数的化简要借助平方差公式：
    例如：下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
    问题提出：该如何化简？
    建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数，，使，，这样，，
    那么便有：，
    问题解决：化简：，
    解：首先把化为，这里，，由于，，即，
    ．
    模型应用：利用上述解决问题的方法化简下列各式：
    ；
    ；
    模型应用：
    在中，，，，那么边的长为多少？结果化成最简．
25. 本小题分
    长方形中，，，点和点都是从点出发，点在这个长方形的边上顺时针运动，点在这个长方形的边上逆时针运动，它们的速度都是每秒个单位，设它们的运动时间是秒
    时，求线段的长；
    在、运动过程中，连接，设线段和点、所经过的路线所组成的封闭的图形面积是，求出与的函数关系式，并注明的取值范围；
    在上一问中，是否存在某个时刻，使得是长方形面积的一半？若存在，求出；若不存在，请说明理由．
    当点在上运动时不包括点，，存不存在某一时刻，使得是直角三角形吗？若存在，求出；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
的值在和之间．
故选：．

本题需先判断在哪两个平方数之间，再求出的范围．
本题主要考查了估算无理数的大小，运用夹逼法即可解决问题．
 

2.【答案】 

【解析】解：东经度，北纬度，能准确表示地理位置，不合题意；
B.方向南偏东，距离公里，能准确表示地理位置，不合题意；
C.距三明北动车站，不能准确表示地理位置，符合题意；
D.排号，能准确表示地理位置，不合题意；
故选：．
直接利用坐标确定位置需要两个量，进而判断得出答案．
此题主要考查了确定地理位置，解答此题的关键是熟知点的表示方法．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
直线为：，
直线与轴平行，
轴，
故选：．
根据、两点的横坐标相等，得出直线与轴平行．
本题考查了坐标与图形的性质，熟记与坐标轴平行的直线的特征是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，因此不符合题意；
符合最简二次根式的定义，因此符合题意；
的被开方数是小数，因此不是最简二次根式；
的被开方数是分数，因此不是最简二次根式；
故选：．
根据最简二次根式的意义逐个进行判断即可．
本题考查最简二次根式，掌握被开方数为整数，且不含有能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式是正确判断的前提．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，，都不是正整数，，，不是勾股数，不符合题意；
B、，，，是勾股数，符合题意；
C、，，都不是正整数，，，不是勾股数，不符合题意；
D、，，都不是正整数，，，不是勾股数，不符合题意．
故选：．
利用勾股数的定义进行分析即可．
此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
在实数，，，，，，相邻两个之间的个数逐次加中，无理数有，，相邻两个之间的个数逐次加中，共个．
故选：．
由于无理数就是无限不循环小数，由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
 

7.【答案】 

【解析】解：对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不是的函数，故A不符合题意；
B.对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不是的函数，故B不符合题意；
C.对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不是的函数，故C不符合题意；
D.对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故D符合题意．
故选：．
根据函数的概念，对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，即可解答．
本题考查了函数的概念，关键是对于函数概念的理解：有两个变量；一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
 

8.【答案】 

【解析】解：、的平方根是，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、一个负数的立方根是一个负数，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、的立方根是，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、的算术平方根是，原说法不正确，故此选项符合题意；
故选：．
直接利用算术平方根、平方根、立方根的定义分析得出答案．
此题主要考查了算术平方根、平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、平方根、立方根的定义是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据一次函数的图象分析可得：
A、由一次函数图象可知，，；正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误；
B、由一次函数图象可知，；即，与正比例函数的图象可知，一致，故此选项正确；
C、正比例函数的图象没有经过原点，故此选项错误；
D、由一次函数图象可知，；即，与正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误；
故选：．
根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案．
此题主要考查了一次函数图象，注意：一次函数的图象有四种情况：
当，，函数的图象经过第一、二、三象限；
当，，函数的图象经过第一、三、四象限；
当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；
当，时，函数的图象经过第二、三、四象．
 

10.【答案】 

【解析】解：设每个小直角三角形的面积为，则，，
，
，
即，
解得．
故选：．
设每个小直角三角形的面积为，则，，依据，可得，进而得出的值．
此题主要考查了勾股定理和正方形、全等三角形的性质的运用，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
先估算出的取值范围，进而可得出结论．
本题考查的是实数的大小比较，熟知正数比较大小的法则是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，点的位置可表示为．
故答案为．
根据点和点的坐标画出直角坐标系，然后写出点坐标即可．
本题考查了坐标确定位置：平面坐标系中的点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征．
 

13.【答案】 

【解析】解：点在轴上，
，
解得，
，
点．
故答案为：．
根据轴上点的纵坐标为列出方程求出的值，再求出横坐标即可得解．
本题考查了点的坐标，熟记轴上点的纵坐标为是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：正方形的面积为，
，
在中，由勾股定理得，
，
故答案为：．
根据正方形的面积得出，再根据勾股定理即可求解．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度．
圆柱底面的周长为，圆柱高为，
，，
，
．
这圈金属丝的周长最小为．
故答案为：．
要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
本题考查了平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
点，，的坐标分别为，，，
，，
，
，
当，，三点共线时，的值最小，
即当点在对角线上时，的值最小，
如图，将沿翻折，使点落到点处，
，，，
，，
，
，
解得：，
，
点的坐标为，
故答案为：．
如图，连接，根据勾股定理得到，推出当，，三点共线时，的值最小，即当点在对角线上时，的值最小，如图，根据折叠的性质得到，，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，轴对称的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；




． 

【解析】先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】  ，  ，  ， 

【解析】解：如图，平面直角坐标系如图所示；
如图，即为所求，；
故答案为：；

，，，
故答案为：，，，，，；
根据，两点坐标确定平面直角坐标系即可；
把三角形的面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可；
根据点的位置写出坐标即可；
本题考查作图轴对称变换，勾股定理轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，
，
设，
则，
在中，
，
，
解得．
机器人行走的路程为 

【解析】根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到，设，根据勾股定理求出的值即可．
本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
 

20.【答案】    

【解析】解：，
的整数部分是，小数部分是；
故答案为：，；
，
的整数部分是，小数部分是，
，
的整数部分，
．
故答案为：；
，
，
，，
．
估算得到所求整数部分与小数部分即可；
根据题意确定出与，代入原式计算即可得到结果；
根据题意确定出的取值：，得到和的值，从而得结论．
此题考查了估算无理数的大小，以及实数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

21.【答案】解：函数图象如图，

由图象可知，直线与轴的交点、与轴的交点为；

当时，随的增大而增大；

． 

【解析】描点、连线可得函数图象，由函数图象可得直线与两坐标轴的交点；
由图象在时，函数图象自左向右逐渐上升可得答案；
根据三角形的面积公式计算即可．
本题主要考查一次函数图象，熟练掌握一次函数图象与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图所示：延长，过点作交延长线于点，

由题意可得：，，
故BD，
，则，
即，
则，
，则，
故AC．
答：这棵树原来的高度是米． 

【解析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，得出的长是解题关键，属于中档题．
首先构造直角三角形，进而求出的长，进而求出的长，即可得出答案．
 

23.【答案】       

【解析】解：由表格中的数据可得，
每增加厘米，重物增加斤，
故当时，，
当时，，
故答案为：，；
设与的关系式为，
点，在该函数图象上，
，
解得，
即与的关系式为；
当时，，
解得，
即当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物重是斤．
根据表格中的数据，可以发现每增加厘米，重物增加斤，从而可以计算出当对应的的值和当时对应的的值；
根据题意和表格中的数据，可以求出与的关系式；
将代入中的关系式，即可得到当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物重是多少斤．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式．
 

24.【答案】解：这里，，由于，，
即，，
所以：


；
首先把化为，这里，，由于，，
即，，
所以




；
在中，由勾股定理得，，
所以，
所以，． 

【解析】先根据完全平方公式进行变形，再求出即可；
先根据完全平方公式进行变形，再求出即可；
根据勾股定理求出即可．
本题考查的是分母有理化，勾股定理和完全平方公式，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

25.【答案】解：当时，，，
在中，，
．

当时，．
当时，．

当时，点在上，显然不符合题意．
当时，，解得．
综上所述，满足条件的的值为．

存在．观察图象可知，，不可能是直角．
当时，，
由题意：，
，
，
，
解得．
满足条件的的值为． 

【解析】求出，，利用勾股定理求解即可．
分两种情形：当时，当时，分别求解即可．
根据方程解决问题即可．
观察图象可知，，不可能是直角．当时，根据，构建方程即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．