2023-2024学年江苏省常州市金坛区九年级（上）数学期中数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省常州市金坛区九年级（上）数学期中数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解方程，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．方程的一个根是1，则a的值是（ ）
A．2B．1C．D．
2．用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2022B．﹣2022C．﹣2024D．2024
5．如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（ ）

A．B．C．D．
6．如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，，则的度数是（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
7．如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（ ）
A． AE⊥DE B． AE//OD C． DE=OD D．∠BOD=50°
8．如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数（，）的图像上，为轴上的一点，的面积为6，则k的值是（ ）．
A．6B．12C．24D．36
二、填空题（每小题2分，共20分）
9．方程的解是 ．
10．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m＝ ．
11．若关于x的方程的一个根是，另一个根是，则 ．
12．某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为 ．
13．一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为 ．
14．如图，⊙的半径为2，点A，B，C都在⊙上，若．则的长为 （结果用含有的式子表示）
15．如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为

16．如图，在中，．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边所在的直线相切时，r的值为 ．

17．如图，是的切线，B为切点，连接交于点C，延长交于点D，连接．若，且，则的长度是 ．

18．定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫做三角形的“等弦圆”．如图，中，，，当的等弦圆最大时，这个圆的半径为 ．
三、解方程（每小题16分，共16分）
19．解下列一元二次方程
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
四、解答题（第20、23题每小题8分，第21、22题每小题8分，第24、25题每小题10分）
20．已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
21．如图，在长、宽的矩形地面内，修筑三条同样宽且垂直于矩形的边的道路，余下的部分铺上草坪（即阴影部分）．要使草坪的面积达到，道路的宽应为多少？

22．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降元，商场平均每天可多售出件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利元，那么衬衫的单价降了多少元？
23．如图，是的直径，点C是上一点，．
(1)求的度数；
(2)过点D作，垂足为E，的延长线交于点F．若，求的长．
24．如图，在中，，是上的一点，且．
(1)用直尺和圆规在图中作，使得点O在上，且经过C，两点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，解答下列问题：
①判断直线与的位置关系，并说明理由；
②若的半径是3，，求的长．
25．在平面直角坐标系xOy中，过⊙T（半径为r）外一点P引它的一条切线，切点为Q，若0＜PQ≤2r，则称点P为⊙T的伴随点．
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点A(4，0)，B(0，)，C(1，)中，⊙O的伴随点是 ；
②点D在直线y＝x+3上，且点D是⊙O的伴随点，求点D的横坐标d的取值范围；
（2）⊙M的圆心为M(m，0)，半径为2，直线y＝2x﹣2与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点，直接写出m的取值范围．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入原方程，可得出，解之即可得出a的值，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
【详解】解：将代入原方程得：，
解得：，
∴a的值为2．
故选：A．
2．C
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
3．D
【分析】求出每个方程的根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可解答．掌握判别式的正负情况与一元二次方程根的情况的关系是解题的关键．
【详解】解：A．，故方程有两个不相等实数根，不合题意；
B．，故方程有两个不相等的实数根，不合题意；
C．，方程有两个相等的实数根，不符合题意；
D．，方程没有实数根，符合题意．
故选：D．
4．B
【分析】根据根与系数的关系得，然后利用整体代入的方法计算即可．掌握根与系数的关于以及整体思想是解题的关键．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，
∴．
故选：B．
5．A
【分析】连接，如图所示，根据圆周角定理，找到各个角之间的关系即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：

点在上，为的中点，
，
，
，
根据圆周角定理可知，
，
故选：A．
【点睛】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理，找准各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键．
6．C
【分析】因为为⊙的直径，可得，，根据圆内接四边形的对角互补可得的度数，即可选出答案．
【详解】∵为⊙的直径，
∴，
又∵，
∴，
又∵四边形内接于⊙，
∴，
∴，
故答案选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握半圆（或直径）所对圆周角是直角，是解答本题的关键．
7．C
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD∥AE，根据平行线的性质以及角平分线的性质逐一判断即可．
【详解】解：∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OD∥AE，
∴AE⊥DE．故选项A、B都正确；
∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∠EAD=25°，
∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°，故选项D正确；
∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，
∴DE=DF故选：C．
【点睛】本题考查的是切线的性质，角平分线的性质定理，平行线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
8．C
【分析】根据平行线间高相等可得，进而得到，然后根据k值的几何意义即可解答．掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，，设的高为h
∵与x轴相切于点B，为的直径，
∴，,
∴、的高为，
∴,
∵，
∴，
∴,
∵，且反比例函数图像在一象限，
∴．
故选：C．
9．
【分析】方程两边直接开平方即可求得答案．
【详解】解：∵
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了用直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是理解平方根的定义．
10．##
【分析】根据方程有两个相等的实数根得出列方程求出m的值即可．掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解题的关键．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，解得：．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系．把代入，可解得n的值，然后用根与系数的关系求解即可．掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，以及根与系数的关系，是解题的关键．
【详解】解：把代入，得．
∴，
∴方程为，
∴
故答案为：．
12．20%
【分析】根据该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，结合5月、7月营业额即可得出关于x的一元二次方程，解此方程即可得解．
【详解】解：设该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，根据题意得，

解得，（舍去）
所以，增长率为20%
故答案为：20%
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
13．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【详解】解：该圆锥的侧面积＝×2π×2×3＝6π．
故答案为6π．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14．##
【分析】利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得到，再利用弧长公式求解即可．
【详解】，，
，
⊙的半径为2，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理和弧长公式，即，熟练掌握知识点是解题的关键．
15．4
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是：根据垂径定理的推论得，再根据勾股定理得，即可求出答案．
【详解】解：，
，
在中，，
，
．
故答案为：4．
16．
【分析】根据勾股定理，得，根据切线的性质，得到圆的半径等于边上的高，根据直角三角形的面积不变性计算即可．
【详解】∵，
∴，
根据切线的性质，得到圆的半径等于边上的高，
∴,
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，切线的性质，熟练掌握勾股定理，切线的性质是解题的关键．
17．
【分析】连接，根据等腰三角形的性质及切线的性质得出，，再利用，即可求解．
【详解】解：连接，

∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】此题考查了切线的性质定理、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质等知识，求出是解决此题的关键．
18．##
【分析】先根据圆周角定理说明当过C时，且在等腰直角三角形的三边上截得的弦相等，此时最大，再过点O分别作弦的垂线，垂足分别为P、N、M，
，进而得到，然后利用直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式进行计算即可．掌握圆周角定理、垂径定理以及正确做出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图所示：
∵圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等，
∴圆心O就是三角形的内心，
∴当过C时，且在等腰直角三角形的三边上截得的弦相等，此时最大，
过点O分别作弦的垂线，垂足分别为P、N、M，
∵，
∴，
∵，，
∴,
∵，
∴
设，则，
∴，解得，即，
在中， ．
故答案为：．
19．(1)
(2)，
(3)
(4)，
【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关解法是解题的关键．
（1）先移项、再直接运用开平方法求解即可；掌握运用直接开平方法解一元二次方程是解题的关键；
（2）先配方、再运用开平方法求解即可；掌握配方法是解题的关键；
（3）直接运用因式分解法求解即可；掌握运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键；
（4）先把方程整理成一般形式，再利用因式分解法求解即可；掌握运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：，
，
，
∴．
（2）解：；
，
，即，
∴，
∴，．
（3）解：，
，
∴或，
∴．
（4）解：，
，
，
∴或，
∴，．
20．(1)k；
(2)k=3
【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值．
【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根．
∴∆0，即32-4（k-2）0，
解得k
（2）∵方程的两个实数根分别为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得k=3．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．
21．
【分析】设道路宽为x，则种草坪部分的长为，宽为，根据面积公式列出方程即可．
【详解】设道路宽为x，则种草坪部分的长为，宽为，
根据题意，得，
整理，得，
解得（舍去）．
答：道路的宽为2m．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程的应用是解题的关键．
22．衬衫的单价降了15元．
【分析】设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润=1250，根据等量关系列出方程即可．
【详解】设衬衫的单价降了x元．根据题意，得
（20+2x）（40﹣x）=1250，
解得：x1=x2=15，
答：衬衫的单价降了15元．
23．(1)
(2)
【分析】（1）连接，根据是的直径可得，进而求得的度数；
（2）根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边的一半可得的长，再根据垂径定理和特殊角三角函数值可得的值，进而可得的长．
【详解】（1）解：如图：连接，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形、垂径定理、直角三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)①直线与相切，理由见解析；②
【分析】（1）根据垂直平分线的性质确定圆心O的位置，然后画圆即可；
（2）①如图1，连接，则，由，可得，进而可得直线与相切；
②由题意知，，由勾股定理得，，证明，则 ，即，计算求解即可．
【详解】（1）解：作的垂直平分线交于O，以O为圆心，长为半径画圆，如图1，即为所求；

（2）①解：直线与相切，理由如下：
如图1，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又为的半径，
∴直线与相切；
②解：∵的半径是3，，
∴，，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴ ，即，解得，，
∴的长为．
【点睛】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
25．（1）①B，C；②；（2）或．
【分析】（1）①画出图形，利用勾股定理、圆的切线的性质求出切线长，再根据⊙O的伴随点的定义判断即可；
②如图2中，设点D的坐标为，先求出当切线长为时，OD的长，再利用两点之间的距离公式可求出d的值，由此即可得出答案；
（2）求出临界位置时m的值即可判断：①如图3-1中，设FT是⊙M的切线，当时，求出此时m的值，再根据伴随点的定义，结合图象即可得；②如图3-2中，设ET是⊙M的切线，连接MT，则，求出此时临界位置m的值，再根据伴随点的定义，如图3-3中，当⊙M在直线EF的左侧与EF相切时，设切点为T，连接MT，求出临界位置m的值，然后结合图象即可得．
【详解】（1）①如图1，为⊙O的三条切线
⊙O的半径为1
则切线AG的长为
切线BN的长为
切线CM的长为
由⊙O的伴随点的定义得：点B，C是⊙O的伴随点
故答案为：B，C；
②如图2中，设点D的坐标为
当过点D的切线长为时，
由两点之间的距离公式得：
解得
结合图象可知，点D的横坐标d的取值范围是；
（2）对于
当时，，解得，则点E的坐标为
当时，，则点F的坐标为
⊙M的半径为2，⊙M的圆心为
，
由题意，由以下两种情况：
如图3-1中，点M在点E的右侧
设FT是⊙M的切线
则有两个临界位置：和点E对应的切线长为0
当时，则
当点E对应的切线长为0，即
解得
结合图象得，当时，线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点
②如图3-2和3-3中，点M在点E的左侧
则有如下两个临界位置：
如图3-2，设ET是⊙M的切线，连接MT，则
当时，
此时
解得
如图3-3，当⊙M在直线EF的左侧与EF相切时，设切点为T，连接MT
∵
∴
∴
∵EF是切线
∴
∴
∵
∴
∴，即
解得，即
解得
结合图象得，当时，线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点
综上，m的取值范围是或．

【点睛】本题考查了圆的切线的性质、两点之间的距离公式等知识点，较难的是题（2），正确找出临界位置，并求出m的值是解题关键．