2022-2023学年江苏省常州市钟楼区北郊初级中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省常州市钟楼区北郊初级中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    一元二次方程化为一般式后的二次项系数、一次项系数、常数项分别为(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

2.    如图是一个圆锥形冰淇淋外壳不计厚度，已知其母线长为，圆锥口圆面半径为，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于．(    )

A.
B.
C.
D.

3.    用配方法解方程时，配方后正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    平面内，的半径为，若直线与相离，圆心到直线的距离可能为(    )

A.  B.  C.  D.

5.    某种商品原来每件售价为元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.    如图，正五边形内接于，点为上一点，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.    定义新运算：对于任意实数，满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如若为实数是关于的方程，则它的根的情况是(    )

A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根

8.    如图，已知，点为边上一点，，作线段的垂直平分线，交于点，再以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，连接，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.    方程的根是______．
10. 一个扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的弧长为______结果保留
11. 关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______．
12. 一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的半径为          ．

13. 已知的半径长，为线段的中点，若点在上，则的长是______．
14. 若是一元二次方程的一个根，则的值是______．
15. 将一个容积为的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中满足的一元二次方程：______不必化简．

16. 如图，和分别是的直径和半径，，点是直径上的一个动点，射线与相交于点，若是等腰三角形，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解方程：
    ；
    ；
    ；
    ．
18. 本小题分
    如图，是的内接三角形．请用无刻度的直尺按要求画图．
    
    如图，请在图中画出弦，使得；
    如图，是的直径，是的切线，点，，在同一条直线上．在图中画出的边上的中线．
19. 本小题分
    已知关于的一元二次方程．
    求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
    若已知方程的一个根为，求方程的另一个根以及的值．
20. 本小题分
    贵州六盘水牂牁江“余月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，如图是月亮洞的截面示意图．
    科考队测量出月亮洞的洞宽约是，洞高约是，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径的长结果精确到．
    若，点在弧上，则______

21. 本小题分
    已知：如图所示．在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的面积等于？

22. 本小题分
    如图，已知四边形中，，、与过、、三点的相切于点、．
    求的度数；
    若的半径长为，求图中阴影部分的面积．

23. 本小题分
    如图，为的内接三角形，为的直径，点为上一点，且，过点作交的延长线于点．
    求证：为的切线；
    若，，求的半径．

24. 本小题分
    直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为元件的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，那么每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．
    若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
    小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过中所求的售价，则该商品至少需打______折销售．
25. 本小题分
    阅读理解：如图，直线与相离，为直线上一动点，过点作的切线，切点为，连接、，当最小时，称线段为直线与的“极短切线”．
    【理解】
    如图，的半径为，，分别过轴上、、三点作的切线、、，切点分别是、、，则这三条切线中______是轴与的“极短切线”，该“极短切线”的长度为______．
    【应用】
    如图，的半径为，，直线：与的“极短切线”的长度
    为，求的值．
    保持中求得的直线不动，将沿着轴向下平移，若直线与的“极短切线”的长度小于，求点的纵坐标的取值范围．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
所以一元二次方程化为一般式后的二次项系数一次项系数、常数项分别为，，，
故选：．
先化成一元二次方程的一般形式，再求出答案即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是、、为常数，．
 

2.【答案】 

【解析】解：底面圆的半径为，
底面圆的周长为，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为，
这个冰淇淋外壳的侧面积
故选：．
根据圆的周长公式求出圆锥底面圆的周长，得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，根据扇形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，即．
故选：．
方程左右两边都加上，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：的半径为，若直线与相离，
圆心到直线的距离，
故选：．
根据直线与相离得到直线与圆心的距离大于半径，于是得到结论．
本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握当直线与圆心的距离小于半径，直线与圆相交；当直线与圆心的距离大于半径，直线与圆相离，当直线与圆心的距离等于半径，直线与圆相切是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：第一次降价后的价格为，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低，为，
则列出的方程是．
故选：．
可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格降低的百分率，把相应数值代入即可求解．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
 

6.【答案】 

【解析】解：正五边形内接于，
，
四边形是外接四边形，
，
，
故选D．
先由正多边形内角和定理求出，再根据圆内接四边形的性质即可求出．
本题主要考查了正多边形和圆，圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题中的新定义化简得：，
整理得：，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
已知等式利用题中的新定义化简，计算出根的判别式的值，判断即可．
此题考查了根的判别式，方程的定义，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得，为圆的直径，
则，
，
，
，
，
故选：．
根据圆周角定理求出，再根据勾股定理计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、圆周角定理，根据圆周角定理求出是解题的关键．
 

9.【答案】， 

【解析】解：，
，
或，
，．
故答案为，．
先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得，方程就可转化为两个一元一次方程或，然后解一元一次方程即可．
本题考查了利用因式分解法解一元二次方程的方法：先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，最后解一元一次方程即可．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据弧长的公式，
得到：，
故答案是：．
根据弧长的公式进行计算即可．
本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
先计算“”的值．再根的判别式求解．
本题考查了根的判别式，正确计算是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，

，且是圆周角，
是圆形镜面的直径，
由勾股定理得：，
所以圆形镜面的半径为，
故答案为：．
连接，根据得出是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出即可．
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出是圆形镜面的直径是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据点和圆的位置关系，得，
再根据线段的中点的概念，得．
故答案为：．
根据点与圆的位置关系和中点定义进行解答即可．
本题考查了点与圆的位置关系，中点定义，熟知点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：是一元二次方程的一个根，
，
即，



．
故答案为：．
根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可得：长方体的长为：，宽为：，
则根据题意，列出关于的方程为：．
故答案为：．
根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可．
此题主要考查了有实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出长方体的棱长是解题关键．
 

16.【答案】或或 

【解析】解：当时，点在上时，

，
设，
，
，
，
，
解得，
，
；
当时，点在上时，

，
设，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
；
当时，

，
，
设，
，
，
，
解得，
即，
；
当，
点是直径上的一个动点，
当时，点，重合，
此情况不存在．
综上所述，若是等腰三角形，则或或．
若是等腰三角形，分，，三种情况进行分类讨论解答即可．
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质．有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等．
 

17.【答案】解：，
，
，
解得，；
，
，，，
，
，
解得，；
，
，
或，
解得，；
，
，
，
，
，
或，
解得，． 

【解析】方程利用直接开平方法求解即可；
方程利用公式法求解即可；
方程利用因式分解法求解即可；
方程利用因式分解法求解即可．
本题考查了解一元二次方程，掌握提公因式法因式分解以及求根公式是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：如图所示，即为所求；

如图：即为所求． 

【解析】利用连接并延长交圆于点，连接，则即为所求作的图形；
连接交于点，连接并延长交于点，则就是边上的中线．即为所求作的图形．
本题考查了复杂作图、线段的垂直平分线，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，再逐步操作．
 

19.【答案】证明：


，
无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
解：设方程的另外一根为，
根据题意，得：，
解得：，
所以方程的另一根为，的值为． 

【解析】由可得答案；
设方程的另外一根为，根据根与系数的关系得出，解之即可得出答案．
题主要考查根与系数关系、根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．，是方程的两根时，，，反过来可得，．
 

20.【答案】 

【解析】解：设，
，
，
在中，，
，
，
．
补全，在的下方取一点，连接，，，，
，
，
．
故答案为：．
设，利用勾股定理求出即可；
补全，在的下方取一点，连接，，，，利用圆周角定理，圆内接四边形的性质求解即可．
本题考查垂径定理的应用，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：设经过秒以后，面积为，
由题意得，点从到所用时间为，
，
此时，，，
由得，
整理得：，
解得：或舍；
答：秒后的面积等于． 

【解析】经过秒钟，的面积等于，根据点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，表示出和的长可列方程求解．
此题主要考查了一元二次方程的应用以及直角三角形面积的应用，找到关键描述语“的面积等于”得出等量关系是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：如图，连接，，，

、与过、、三点的相切于点、．
，
，
，
，
；
，，，
在和中，
，
≌，
，
，
阴影部分的面积的面积扇形的面积


，
阴影部分的面积为 

【解析】连接，，，利用切线的性质可得，然后根据圆周角定理即可解决问题；
利用的结论可证≌，从而利用全等三角形的性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据阴影部分的面积的面积扇形的面积，进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】证明：连接，如图．
为的直径，点在上，
，
，
．
，，
，
，
，
，
，
即，
是的半径，
为的切线；
解：过点作于点，如图，
，
四边形为矩形，
，．
设的半径为，则，．
在中，，
即，
解得，
即的半径为． 

【解析】连接，如图．根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到根据平行线的判定定理得到，得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
过点作于点，如图，根据矩形的性质得到，设的半径为，则，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
 

24.【答案】八 

【解析】解：设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又商家想尽快销售完该款商品，
．
答：每件售价应定为元．
设该商品打折销售，
依题意得：，
解得：，
该商品至少需打八折销售．
故答案为：八．
设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，利用总利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
设该商品打折销售，利用售价原价折扣率，结合售价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】  

【解析】解：如图，是的切线，
，
的半径是定值，，
最小时，最小，此时，
在图中，轴，
是轴与的“极短切线”，
，
故答案为：，；
当时，设直线交、轴于、，是直线与的“极短切线”，如图：

在中，令得，
，，
，
是直线与的“极短切线”，且，的半径为，
，
，
由知是直线与的“极短切线”时，直线，即，
，
在中，，
，
，
将代入得：
，
解得；
当时，同理可得，
的值为或；
当在轴上方时，由知，的纵坐标为时，直线与的“极短切线”的长度等于，
当沿着轴向下平移，如图：

当与直线相切时，，
，此时的纵坐标是，
与直线相离，
点的纵坐标满足；
当在轴下方时，如图：

若与直线相切，，
，此时的纵坐标，
若直线与的“极短切线”的长度等于，即，
则，
，此时，
点的纵坐标满足；
综上所述，直线与的“极短切线”的长度小于，或．
图中，由是的切线，可得，即知最小时，最小，此时，即知图中是轴与的“极短切线”，；
当时，设直线交、轴于、，是直线与的“极短切线”，由得，，，根据是直线与的“极短切线”，且，的半径为，可得，从而，即得，，将代入可得；当时，同理可得；当在轴上方时，的纵坐标为，直线与的“极短切线”的长度等于，当沿着轴向下平移，当与直线相切时，此时的纵坐标是，可知点的纵坐标满足；当在轴下方时，同理可得点的纵坐标满足．
本题考查圆的综合应用，主要考查了切线的性质，勾股定理，锐角三角函数，新定义，解本题的关键是判断出时，过的切线是的“极短切线”．