山东省济宁市嘉祥县第四中学2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份山东省济宁市嘉祥县第四中学2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)，共27页。试卷主要包含了抛物线y＝﹣5x2可由y＝﹣5，已知关于x的一元二次方程，点A，下列关于二次函数y＝3等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年度第一学期期中学业水平测试
一．选择题（共11小题）
1．方程ax2+ax+a＝0为一元二次方程，则a的值一定满足（　　）
A．a≠0 B．a≠1 C．a＝1 D．任意实数
2．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＞2 D．x＜2
4．肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染（225人可以理解为三轮感染的总人数），若设1人平均感染x人，依题意可列方程（　　）
A．1+x＝225 B．1+x2＝225
C．（1+x）2＝225 D．1+（1+x2）＝225
5．抛物线y＝﹣5x2可由y＝﹣5（x+2）2﹣6如何平移得到（　　）
A．先向右平移2个单位，再向下平移6个单位
B．先向左平移2个单位，再向上平移6个单位
C．先向左平移2个单位，再向下平移6个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移6个单位
6．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≥ B．m≥且m≠1 C．m＜ D．m＞且m≠1
7．点A（4，3）经过某种图形变化后得到点B（﹣3，4），这种图形变化可以是（　　）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．绕原点逆时针旋转90° D．绕原点顺时针旋转90
8．AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，∠P＝40°，D为圆上一点，则∠D的度数为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．40°
9．下列关于二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象和性质的叙述中，正确的是（　　）
A．点（0，2）在函数图象上 B．开口方向向上
C．对称轴是直线x＝1 D．与直线y＝3x有两个交点
10．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二． 填空题（共5小题）
11．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是　 　．
12．已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m2﹣n+2022的值是 .
13．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，PO与AB交于点C．若∠APB＝60°，OC＝1，则△PAB的周长为　 　．


14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为 　 　．

15．如图，“心”形是由抛物线y＝﹣x2+6和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C的对应点为D，点A，B是两条抛物线的两个交点，点E，F，G是抛物线与坐标轴的交点，则AB＝　 　．

三．解答题（共7小题）
16.（1）解方程：；x2﹣6x﹣4＝0．
（2）解方程：x（x﹣2）＝x﹣2
17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点均在网格的格点上．
（1）作出△ABC向右平移5个单位长度后对应的图形△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）观察发现，△A1B1C1与△A2B2C2成 　 　对称（填“中心”或“轴”），在图中画出它们的对称轴或者对称中心．

18．18．如图是2022年3月份的日历．任意选择图中的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9×11﹣3×17＝48，13×15﹣7×21＝48．不难发现，结果都是48.
2022年3月

（1）请证明发现的规律；
（2）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120，请判断他的说法是否正确．
19．如图，已知⊙O的直径AB＝12，弦AC＝10，D是的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求AE的长．

20．某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？

21．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）求出表中a，b的值，其中a＝　 　，b＝　 　．
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y＝
…
﹣
﹣
a
﹣
﹣3
0
3

b


…
（2）根据表中的数据，在图中补全该函数图象；
3）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确,正确的在答题卡上相应的括号内打”√” ,错误的在答题卡上相应的括号内打”×’’;
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x＝1时，函数取得最大值3；当x＝﹣1时，函数取得最小值﹣3；
③当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小．
（4）已知函数y＝2x﹣1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式＞2x﹣1的解集．（保留1位小数，误差不超过0.2）

22．已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；
（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标．

2022-2023学年度第一学期期中学业水平测试
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题,每题3分）
1．方程ax2+ax+a＝0为一元二次方程，则a的值一定满足（　　）
A．a≠0 B．a≠1 C．a＝1 D．任意实数
【分析】任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成ax2+bx+c＝0（a≠0），这种形式叫一元二次方程的一般形式．利用一元二次方程的一般形式进行判断，即可求出a的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程ax2+ax+a＝0是一元二次方程，
∴a满足的条件是a≠0．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解本题的关键．
2．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】此题考查中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
3．已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＞2 D．x＜2
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴及开口方向求解．
【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴x＞1时，y随x增大而增大，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
4．肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染（225人可以理解为三轮感染的总人数），若设1人平均感染x人，依题意可列方程（　　）
A．1+x＝225 B．1+x2＝225
C．（1+x）2＝225 D．1+（1+x2）＝225
【分析】此题可设1人平均感染x人，则第一轮共感染（x+1）人，第二轮共感染x（x+1）+x+1＝（x+1）（x+1）人，根据题意列方程即可．
【解答】解：设1人平均感染x人，
依题意可列方程：1+x+（1+x）x＝225，
即（1+x）2＝225
故选：C．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的解，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
5．抛物线y＝﹣5x2可由y＝﹣5（x+2）2﹣6如何平移得到（　　）
A．先向右平移2个单位，再向下平移6个单位
B．先向左平移2个单位，再向上平移6个单位
C．先向左平移2个单位，再向下平移6个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移6个单位
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
【解答】解：将抛物线y＝﹣5（x+2）2﹣6先向右平移2个单位，再向上平移6个单位即可得到抛物线y＝﹣5x2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
6．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≥ B．m≥且m≠1 C．m＜ D．m＞且m≠1
【分析】利用一元二次方程有实数根的条件得到关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，
∴，
解得：m≥且m≠1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，利用已知条件得到关于m的不等式组是解题的关键．
7．点A（4，3）经过某种图形变化后得到点B（﹣3，4），这种图形变化可以是（　　）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．绕原点逆时针旋转90° D．绕原点顺时针旋转90
【分析】利用图象法解决问题即可．
【解答】解：如图，观察图形可知，点A绕点O逆时针旋转90°得到点B．

故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是正确画出图形，利用图象法解决问题．
8．AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，∠P＝40°，D为圆上一点，则∠D的度数为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．40°
【分析】连接OC，根据切线的性质得到∠OCP＝90°，证明∠OCA＝∠OAC＝∠COP，再根据圆周角定理得出答案．
【解答】证明：连接OC，
∵PC为⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°，即∠COP+∠P＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠COP＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝∠COP＝25°，
∴∠D＝∠CAO＝25°，
故选：B．

【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理，掌握切线的性质定理是解题的关键．
9．下列关于二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象和性质的叙述中，正确的是（　　）
A．点（0，2）在函数图象上 B．开口方向向上
C．对称轴是直线x＝1 D．与直线y＝3x有两个交点
【分析】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函数值再与点的纵坐标进行比较；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，根据a的取值判断开口方向；
C、根据对称轴公式计算；
D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．
【解答】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），
得y＝6≠2，
∴A错误；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，
∵a＝﹣3＜0，
∴二次函数的图象开口方向向下，
∴B错误；
C、∵二次函数对称轴是直线x＝﹣
＝，
∴C错误；
D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，
∴﹣3x2+3x+6＝3x，
∴﹣3x2+6＝0，
∵b2﹣4ac＝72＞0，
∴二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象与直线y＝3x有两个交点，
∴D正确；
故选：D．
【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质，掌握这几个知识点的应用，其中函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键．
10．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用三角形内心的性质得到∠BAD＝∠CAD，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明∠DEB＝∠DBE得到DB＝DE，则可对④进行判断．
【解答】解：∵E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，故①正确；
如图，连接BE，CE，

∵E是△ABC的内心，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝ACB，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°，故②正确；

∵∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴OD⊥BC，
∵点G为BC的中点，
∴G一定在OD上，
∴∠BGD＝90°，故③正确；
如图，连接BE，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，
∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，故④正确．
∴一定正确的①②③④，共4个．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的内心与外心．
三． 填空题（共5小题,每题3分）
11． 在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是　（﹣2，3） 　．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．
【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标是（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．

12．已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m2﹣n+2022的值是 2026 .
【分析】先根据一元二次方程的解得的定义得到m2＝﹣m+3，则m2﹣n+2022可化为﹣（m+n）+2025，再根据根与系数的关系得到m+n＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是方程x2+x﹣3＝0的实数根，
∴m2+m﹣3＝0，
∴m2＝﹣m+3，
∴m2﹣n+2022＝﹣m+3﹣n+2022＝﹣（m+n）+2025，
∵m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
∴m2﹣n+2022＝﹣（﹣1）+2025＝2026．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，x1+x2＝﹣，x1x2＝．

13．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，PO与AB交于点C．若∠APB＝60°，OC＝1，则△PAB的周长为　6　．

【分析】根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA＝PB，推出△PAB是等边三角形，根据直角三角形的性质求出AC，由AB＝2AC，于是得到结论．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA＝PB，
∵∠APB＝60°，
∴△PAB是等边三角形，AB＝2AC，PO⊥AB，
∴∠PAB＝60°，
∴∠OAC＝∠PAO﹣∠PAB＝90°﹣60°＝30°，
∴AO＝2OC，
∵OC＝1，
∴AO＝2，
∴AC＝，
∴AB＝2AC＝2，
∴△PAB的周长＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，三角形的周长的计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键．

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为 　x＝1或x＝3　．

【分析】根据抛物线的轴对称性质得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，由此求得关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为x＝1或x＝3，
故答案为：x＝1或x＝3．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是求得抛物线与x轴的两个交点坐标．

15．如图，“心”形是由抛物线y＝﹣x2+6和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C的对应点为D，点A，B是两条抛物线的两个交点，点E，F，G是抛物线与坐标轴的交点，则AB＝　6　．

【分析】如图1，连接OD，过点B作BH⊥OC于点H，设BH＝a，则OB＝2a，可得B（a，a），再求出直线AB解析式，联立直线和抛物线y＝﹣x2+6，求出点A的坐标，可求得AB．
【解答】解：如图1，连接OD，过点B作BH⊥OC于点H，
∵抛物线y＝﹣x2+6和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形交于A、B两点，
∴∠COD＝60°，C、D关于直线OB对称，
∴∠COB＝∠BOD＝30°，
∵∠OHB＝90°，
∴OB＝2BH，设BH＝a，则OB＝2a，
∴OH＝＝＝a，
∴B（a，a），
∵抛物线y＝﹣x2+6经过点B，
∴a＝﹣a2+6，
解得：a＝或﹣2 ，
∴B（ ，3），B（﹣2 ，﹣6）（舍去）
∴直线AB的解析式为：y＝x，
联立，
解得：xA＝﹣2，xB＝，
∴A点坐标是：（﹣2，﹣6）
∴AB＝＝6 ．
故答案为：6．

【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，旋转的性质，两点之间距离公式，直角三角形性质，解题关键是理解题意，运用数形结合思想和方程思想．
三．解答题（共7小题）
16．（1）解方程：；x2﹣6x﹣4＝0．
（2）解方程：x（x﹣2）＝x﹣2
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣6x﹣4＝0，
x2﹣6x＝4，
∴x2﹣6x+9＝4+9，
∴（x﹣3）2=13,
∴x﹣3=±13，
∴x1＝3+13，x2＝3﹣13．
（2）x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝2，x2＝1；
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法和配方法：因式分解法和配方法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点均在网格的格点上．
（1）作出△ABC向右平移5个单位长度后对应的图形△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）观察发现，△A1B1C1与△A2B2C2成 　中心　对称（填“中心”或“轴”），在图中画出它们的对称轴或者对称中心．

【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（3）根据中心对称的定义判断即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）观察发现，△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称（填“中心”或“轴”），点T即为对称中心．

故答案为：中心．
【点评】本题考查作图旋转变换，平移变换，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
18．如图是2022年3月份的日历．任意选择图中的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9×11﹣3×17＝48，13×15﹣7×21＝48．不难发现，结果都是48.
2022年3月

（1）请证明发现的规律；
（2）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120，请判断他的说法是否正确．
【分析】（1）设中间的数为a，则另外4个数分别为（a﹣7），（a﹣1），（a+1），（a+7），利用相对的两对数分别相乘再相减，可证出规律成立；
（2）设这5个数中最大数为x，则最小数为（x﹣14），根据最小数与最大数的积是120，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，由该值在第一列可知不符合题意，进而可得出小明的说法不正确．
【解答】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a﹣7），（a﹣1），（a+1），（a+7），
∴（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣7）（a+7）＝a2﹣1﹣（a2﹣49）＝48．
（2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为（x﹣14），
依题意，得：x（x﹣14）＝120，
解得：x1＝20，x2＝﹣6（不合题意，舍去）．
∵20在第一列，
∴不符合题意，
∴小明的说法不正确．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．如图，已知⊙O的直径AB＝12，弦AC＝10，D是的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求AE的长．

【分析】（1）连接OD，由D为弧BC的中点，得到两条弧相等，进而得到两个同位角相等，确定出OD与AE平行，利用两直线平行同旁内角互补得到OD与DE垂直，即可得证；
（2）过O作OF垂直于AC，利用垂径定理得到F为AC中点，再由四边形OFED为矩形，求出FE的长，由AF+EF求出AE的长即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵D为的中点，
∴＝，
∴∠BOD＝∠BAE，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
则DE为圆O的切线；

（2）解：过点O作OF⊥AC，
∵AC＝10，
∴AF＝CF＝AC＝5，
∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，
∴四边形OFED为矩形，
∴FE＝OD＝AB，
∵AB＝12，
∴FE＝6，
则AE＝AF+FE＝5+6＝11．

【点评】此题考查了切线的性质与判定，勾股定理，以及垂径定理，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键．
20．某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【分析】（1）由月销售量＝500﹣（销售单价﹣50）×10，可求解；
（2）设每千克水果售价为x元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可列方程，即可求解；
（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可得y与x的关系式，由二次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果＝500﹣10×（55﹣50）＝450千克；
（2）设每千克水果售价为x元，
由题意可得：8750＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]，
解得：x1＝65，x2＝75，
答：每千克水果售价为65元或75元；
（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，
由题意可得：y＝（m﹣40）[500﹣10（m﹣50）]＝﹣10（m﹣70）2+9000，
∴当m＝70时，y有最大值为9000元，
答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握销售问题中关于销售总利润的相等关系，并据此列出函数解析式及熟练掌握二次函数的性质．
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21．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）求出表中a，b的值，其中a＝　﹣　，b＝　　．
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y＝
…
﹣
﹣
a
﹣
﹣3
0
3

b


…
（2）根据表中的数据，在图中补全该函数图象；
（3）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确,正确的在答题卡上相应的括号内打”√” ,错误的在答题卡上相应的括号内打”×’’;
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x＝1时，函数取得最大值3；当x＝﹣1时，函数取得最小值﹣3；
③当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小．
（4）已知函数y＝2x﹣1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式＞2x﹣1的解集．（保留1位小数，误差不超过0.2）

【分析】（1）将x＝﹣3，3分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象；
（2）描点、连线，画出函数图象即可；
（3）结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断；
（4）根据图象求得即可．
【解答】解：（1）当x＝﹣3时，y＝＝﹣；当x＝3时，y＝＝，
∴a＝﹣，b＝，
故答案为﹣，，
（2）画出函数的图象如图：
；
（3）根据函数图象：
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴，说法错误；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x＝1时，函数取得最大值3；当x＝﹣1时，函数取得最小值﹣3，说法正确
③当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小，说法正确；
故答案为：①．
（4）由图象可知：不等式＞2x﹣1的解集为x＜﹣1或﹣1＜x＜1.8．
【点评】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．
22．已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；
（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标．
【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线x＝3，解出a的值，即可求得抛物线解析式，再令其y值为零，解一元二次方程即可求出A和B的坐标；
（2）易求点C的坐标为（0，4），设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（8，0），C（0，4）代入y＝kx+b，解出k和b的值，即得直线BC的解析式；设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），利用关系式S四边形PBOC＝S△BOC+S△PBC得出关于x的二次函数，从而求得其最值；
（3）设点M的坐标为（m，﹣++4）则点N的坐标为（m，﹣），MN＝|﹣++4﹣（﹣）|＝|﹣+2m|，分当0＜m＜8时，或当m＜0或m＞8时来化简绝对值，从而求解．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝3，
∴﹣＝3，解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4．
当y＝0时，﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝8，
∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．
答：抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．
（2）当x＝0时，y＝﹣x2+x+4＝4，
∴点C的坐标为（0，4）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（8，0），C（0，4）代入y＝kx+b得
，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．
假设存在点P，使四边形PBOC的面积最大，
设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），如图1所示，过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），
则PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，
∴S四边形PBOC＝S△BOC+S△PBC
＝×8×4+PD•OB
＝16+×8（﹣x2+2x）
＝﹣x2+8x+16
＝﹣（x﹣4）2+32
∴当x＝4时，四边形PBOC的面积最大，最大值是32
∵0＜x＜8，
∴存在点P（4，6），使得四边形PBOC的面积最大．
答：存在点P，使四边形PBOC的面积最大；点P的坐标为（4，6），四边形PBOC面积的最大值为32．


（3）设点M的坐标为（m，﹣++4）则点N的坐标为（m，﹣），
∴MN＝|﹣++4﹣（﹣）|＝|﹣+2m|，
又∵MN＝3，
∴|﹣+2m|＝3，
当0＜m＜8时，﹣+2m﹣3＝0，解得m1＝2，m2＝6，
∴点M的坐标为（2，6）或（6，4）；
当m＜0或m＞8时，﹣+2m+3＝0，解得m3＝4﹣2，m4＝4+2，
∴点M的坐标为（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．

答：点M的坐标为（2，6）、（6，4）、（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．
【点评】本题属于二次函数压轴题，综合考查了待定系数法求解析式，解析法求面积及点的坐标的存在性，最大值等问题，难度较大．
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