山东省淄博市张店区2022-2023学年七年级上学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份山东省淄博市张店区2022-2023学年七年级上学期期中考试数学试题（含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省淄博市张店区七年级第一学期期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上）
1．没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形，展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中不是轴对称图形的是（　　）
A．笛卡尔心形线 B．三叶玫瑰形曲线
C．太极曲线 D．蝴蝶形曲线
2．已知在△ABC中，∠C＝∠A+∠B，则△ABC的形状是（　　）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
3．有下列说法，其中正确的有（　　）
①只有两个三角形才能完全重合；
②如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同；
③两个正方形一定是全等图形；
④面积相等的两个图形一定是全等图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　）
A．2cm，3cm，4cm B．3cm，6cm，6cm
C．2cm，4cm，6cm D．5cm，6cm，7cm
5．如图，若△ABC≌△DEF，∠A＝45°，∠F＝35°，则∠B等于（　　）

A．35° B．45° C．60° D．100°
6．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（　　）

A．5m B．12m C．13m D．18m
7．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．BF＝EC
8．如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，∠ACB＝70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（　　）

A．∠BAQ＝40° B．DE＝BD C．AF＝AC D．∠EQF＝25°
9．如图，△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD为△ABC的角平分线，则△ABD的面积为（　　）

A． B．3 C． D．4
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BCD与△BC′D关于直线BD轴对称，BC＝6，CD＝4，点C与点C′对应，BC′交AD于点E，则线段DE的长为（　　）

A．5 B． C．4 D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．自行车的车架做成三角形的形状，该设计是利用三角形的 　 　．
12．如图，线段AC，AB的垂直平分线分别过点B，C，则∠A＝　 　度．

13．如图，已知BD＝CE，∠B＝∠C，若AB＝5，AD＝2，则DC＝　 　．

14．如图，由36个完全相同的小正方形组成的网格中，点A，B在格点上，在网格的格点上找到点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点C共有 　 　个．

15．勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成，可以用其面积关系验证勾股定理，将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为 　 　．

三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上)
16．如图，在△ABC中，AC＝BC＝17，AB＝16，求△ABC的面积．

17．如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝36°，AD＝AC．
（1）求∠C的度数；
（2）若AB＝5，求BC的长．

18．已知线段a和∠α，尺规作图：
（1）作一个△ABC，使AB＝3a，BC＝4a，AC＝5a；
（2）作一个△ABC，使BC＝a，AC＝2a，∠BCA＝∠α．

19．为了测量一个池塘旁两棵树A，B之间的距离（如图），小刚利用数学课中学到的知识进行了如下的测量：先站在B树处，正面对准A树；然后向右转90°，并向正前方走了6米，标上记号C后，继续向前又走了6米到点D，再向右转90°又向前走，当又走了15米时，发现所处的位置E与A，C在一条直线上．
（1）画出小刚所走路线的示意图，并用字母标出小刚行走过程中的关键位置；
（2）树A与树B之间的距离是多少？并请说明理由．

20．如图，每一个小正方形的边长为m．
（1）画出格点△ABC关于直线DE的对称的△A′B′C′；
（2）在DE上画出点P，使PA+PC最小；
（3）在DE上画出点Q，使|OA﹣OB|最大；
（4）求点B到AC所在直线的距离．

21．我们知道能完全重合的图形叫做全等图形，因此，如果两个四边形能完全重合，那么这两个四边形全等，也就是说，当两个四边形的四个内角、四条边都分别对应相等时，这两个四边形全等．请借助三角形全等的知识，解决有关四边形全等的问题．
如图，已知，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，现在只需补充一个条件，就可得四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．
下列四个条件：①∠A＝∠A′；②∠D＝∠D′；③AD＝A′D′；④CD＝C′D′
（1）其中，符合要求的条件是　 　．（直接写出编号）
（2）选择（1）中的一个条件，证明四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．

22．如图，是小明家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个长度可以伸缩变化的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上时，梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB，且此时PN＝PM．

（1）当小明在甲房间时，梯子靠在对而墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若∠AMP＝30°，MP＝2米，则甲房间的宽度AB＝　 　米．
（2）当他在乙房间时，测得NB＝1米，梯子长度MP＝2.6米，且∠MPN＝90°，求乙房间的宽AB．
（3）当他在丙房间时，测得MA＝2.9米，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°．
①求∠MPN的度数；
②求丙房间的宽AB．

23．（1）如图1：已知△ABC中，以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，连接BE，CD，则BE与CD的数量关系为：　 　；（直接填写结果，不需要说明理由）
（2）如图2，已知△ABC，以AB，AC为边向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接BE，CD，试判断BE与CD有什么数量关系？并说明理由；
（3）如图3，要测量池塘两岸相对的两点D，C之间的距离，已经测得∠ADB＝60°，∠ACB＝30°，BC＝300米，AC＝400米，且AD＝BD，求DC的长．




参考答案
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上）
1．没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形，展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中不是轴对称图形的是（　　）
A．笛卡尔心形线 B．三叶玫瑰形曲线
C．太极曲线 D．蝴蝶形曲线
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进行判断即可．
解：A，B，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2．已知在△ABC中，∠C＝∠A+∠B，则△ABC的形状是（　　）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【分析】根据在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°可求出∠C的度数，进而得出结论．
解：∵在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，解得∠C＝90°，、
∴△ABC是直角三角形．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
3．有下列说法，其中正确的有（　　）
①只有两个三角形才能完全重合；
②如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同；
③两个正方形一定是全等图形；
④面积相等的两个图形一定是全等图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】要根据全等形的概念进行判定，与之相符合的是正确的，反之，是错误的，如②是正确的，①③④是错误的．
解：①只有两个三角形才能完全重合，错误，不是三角形的图形也能全等；
②如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，正确，两个图形全等，它们一定重合，所以它们的形状和大小一定都相同；
③两个正方形一定是全等图形，错误，边长不同的正方形不全等；
④错误，面积相等的两个图形不一定是全等图形．
综上可得①③④错误．
故选：A．
【点评】本题考查了全等形的概念和特点，属于基础题，解答本题的关键是掌握全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形，难度一般．
4．在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　）
A．2cm，3cm，4cm B．3cm，6cm，6cm
C．2cm，4cm，6cm D．5cm，6cm，7cm
【分析】利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边进行分析即可．
解：A、2+3＞4，能构成三角形，故此选项不符合题意；
B、3+6＞6，能构成三角形，故此选项不符合题意；
C、2+4＝6，不能构成三角形，故此选项符合题意；
D、5+6＞7，能构成三角形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
5．如图，若△ABC≌△DEF，∠A＝45°，∠F＝35°，则∠B等于（　　）

A．35° B．45° C．60° D．100°
【分析】要求∠B的大小，先要求出△ABC中∠C的度数，根据全等三角形的性质可知∠C＝∠F＝35°，然后利用三角形的内角和可得答案．
解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝45°，∠F＝35°
∴∠C＝∠F＝35°
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣45°﹣35°＝100°．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找准对应角，利用数形结合的思想解答．
6．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（　　）

A．5m B．12m C．13m D．18m
【分析】图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可．
解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12m，旗杆离地面5m折断，且旗杆与地面是垂直的，
所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，折断的旗杆为＝13m，
所以旗杆折断之前高度为13m+5m＝18m．
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理的正确应用，找出可以运用勾股定理的直角三角形是关键．
7．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．BF＝EC
【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．
解：选项A、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项C、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；
选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．
8．如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，∠ACB＝70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（　　）

A．∠BAQ＝40° B．DE＝BD C．AF＝AC D．∠EQF＝25°
【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可．
解：A．由作图可知，AQ平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠CAP＝∠BAC＝40°，
故选项A正确，不符合题意；
B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线，
∴∠DEB＝90°，
∵∠B＝30°，
∴DE＝BD，
故选项B正确，不符合题意；
C．∵∠B＝30°，∠BAP＝40°，
∴∠AFC＝70°，
∵∠C＝70°，
∴AF＝AC，
故选项C正确，不符合题意；
D．∵∠EFQ＝∠AFC＝70°，∠QEF＝90°，
∴∠EQF＝20°；
故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．
9．如图，△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD为△ABC的角平分线，则△ABD的面积为（　　）

A． B．3 C． D．4
【分析】如图，过点D作DE⊥AB于点E．根据勾股定理，由AC＝4，BC＝3，AB＝5，得AC2+BC2＝AB2，那么△ABC是Rt△ABC且∠C＝90°．再根据直角三角形全等的判定，得Rt△ACD≌Rt△AED（HL），从而推断出AE＝AC＝4，得BE＝AB﹣AE＝5﹣4＝1．设BD＝x，则DE＝CD＝BC﹣BD＝3﹣x，根据勾股定理，得BE2+DE2＝BD2，即12+（3﹣x）2＝x2，求得x＝，从而求得＝．
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E．

∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是Rt△ABC且∠C＝90°．
∵DE⊥AB于E，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD和Rt△ADE中，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．
∴AE＝AC＝4．
∴BE＝AB﹣AE＝5﹣4＝1．
设BD＝x，则DE＝CD＝BC﹣BD＝3﹣x．
在Rt△BDE中，BE2+DE2＝BD2．
∴12+（3﹣x）2＝x2．
∴x＝．
∴＝．
∴△ABD的面积为．
故选：C．
【点评】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握角平分线的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理是解决本题的关键．
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BCD与△BC′D关于直线BD轴对称，BC＝6，CD＝4，点C与点C′对应，BC′交AD于点E，则线段DE的长为（　　）

A．5 B． C．4 D．
【分析】首先根据题意得到BE＝DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题．
解：设ED＝x，则AE＝6﹣x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC；
由题意得：∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴EB＝ED＝x；
由勾股定理得：
BE2＝AB2+AE2，
即x2＝16+（6﹣x）2，
解得：x＝，
∴ED＝
故选：B．
【点评】本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．自行车的车架做成三角形的形状，该设计是利用三角形的 　稳定性　．
【分析】利用三角形的稳定性解答即可．
解：自行车的车架做成三角形的形状，该设计是利用三角形的稳定性．
故答案为：稳定性．
【点评】此题考查的是三角形具有稳定性这一性质，应注意对基础知识的掌握和理解．
12．如图，线段AC，AB的垂直平分线分别过点B，C，则∠A＝　60　度．

【分析】连接BC，根据线段垂直平分线的性质得到CA＝CB，AB＝CB，证明△ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可．
解：连接BC，
∵线段AC，AB的垂直平分线分别过点B，C，
∴CA＝CB，AB＝CB，
∴AB＝CA＝CB，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
故答案为：60．

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13．如图，已知BD＝CE，∠B＝∠C，若AB＝5，AD＝2，则DC＝　3　．

【分析】由AAS证明△ABD≌△ACE，得AC＝AB＝5，从而得出答案．
解：在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AC＝AB＝5，
∴CD＝AC﹣AD＝AB﹣AD＝5﹣2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明△ABD≌△ACE是解题的关键．
14．如图，由36个完全相同的小正方形组成的网格中，点A，B在格点上，在网格的格点上找到点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点C共有 　10　个．

【分析】首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从BA＝BC，AB＝AC，CA＝CB去分析求解即可求得答案．
解：∵AB＝＝2，如图所示：

∴①若BA＝BC，则符合要求的有：C1，C2共2个点；
②若AB＝AC，则符合要求的有：C3，C4共2个点；
③若CA＝CB，则符合要求的有：C5，C6，C7，C8，C9，C10共6个点．
∴这样的C点有10个．
故答案为：10．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，解题关键是分类的数学思想．
15．勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成，可以用其面积关系验证勾股定理，将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为 　110　．

【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
解：延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，如图所示：

则四边形OALP是矩形，
∵∠CBF＝90°，
∴∠ABC+∠OBF＝90°，
又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠OBF＝∠ACB，
在△OBF和△ACB中，
，
∴△OBF≌△ACB（AAS），
∴AC＝OB，
同理：△ACB≌△PGC，
∴PC＝AB，
∴OA＝AP，
∴矩形AOLP是正方形，边长AO＝AB+AC＝3+4＝7，
∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，
∴长方形KLMJ的面积为10×11＝110，
故答案为：110．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，矩形的性质，正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；通过作出辅助线证明三角形全等得出正方形是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上)
16．如图，在△ABC中，AC＝BC＝17，AB＝16，求△ABC的面积．

【分析】过C作CD⊥AB于D，根据等腰三角形的性质和勾股定理，以及三角形的面积公式即可得到结论．
解：过C作CD⊥AB于D，
∵AC＝BC＝17，AB＝16，
∴AD＝BD＝AB＝8，
∵AD2+CD2＝AC2，
∴CD＝＝＝15，
∴S△ABC＝AB•CD＝＝120．

【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
17．如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝36°，AD＝AC．
（1）求∠C的度数；
（2）若AB＝5，求BC的长．

【分析】（1）依据三角形外角性质，即可得到∠ADC的度数，由AD＝AC得∠ADC＝∠C即可求解；
（2）根据三角形内角和定理求出∠CAD＝36°，则∠BAC＝∠1+∠CAD＝72°，可发现∠C＝∠BAC，因此BC＝AB．
解：（1）由三角形外角性质得∠ADC＝∠1+∠2，
∵∠1＝∠2＝36°，
∴∠ADC＝72°，
∵AD＝AC，
∴△ADC是等腰三角形，
∴∠ADC＝∠C，
∴∠C＝72°，
（2）∵∠ADC＝∠C＝72°，
∴∠CAD＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝180°﹣72°×2＝36°，
∴∠BAC＝∠1+∠CAD＝36°+36°＝72°，
∴∠BAC＝∠C，
∴BC＝AB＝5．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的综合应用，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
18．已知线段a和∠α，尺规作图：
（1）作一个△ABC，使AB＝3a，BC＝4a，AC＝5a；
（2）作一个△ABC，使BC＝a，AC＝2a，∠BCA＝∠α．

【分析】（1）先作出BC＝4a，然后分别以点B、C为圆心，3a和5a为半径画弧，两弧相交于点A，则连接AB、AC，△ABC为所作；
（2）先利用基本作图（作一个角等于已知角）作∠MCN＝∠α，再在∠MCN的两边分别截取CA＝2a，CB＝a，然后连接BA、BC即可．
解：（1）如图1，△ABC为所作；

（2）如图2，△ABC为所作；

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
19．为了测量一个池塘旁两棵树A，B之间的距离（如图），小刚利用数学课中学到的知识进行了如下的测量：先站在B树处，正面对准A树；然后向右转90°，并向正前方走了6米，标上记号C后，继续向前又走了6米到点D，再向右转90°又向前走，当又走了15米时，发现所处的位置E与A，C在一条直线上．
（1）画出小刚所走路线的示意图，并用字母标出小刚行走过程中的关键位置；
（2）树A与树B之间的距离是多少？并请说明理由．

【分析】（1）根据题意画出图形；
（2）根据题意可得∠ABC＝90°，∠CDE＝90°，BC＝CD＝6步，DE＝15步，然后利用ASA定理证明△ABC≌△EDC，再根据全等三角形的性质可得AB＝DE＝15步．
解：（1）如图所示：

（2）根据题意可得：∠ABC＝90°，∠CDE＝90°，BC＝CD＝6步，DE＝15步，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝DE＝15（步）．

【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确利用ASA定理判定△ABC≌△EDC．
20．如图，每一个小正方形的边长为m．
（1）画出格点△ABC关于直线DE的对称的△A′B′C′；
（2）在DE上画出点P，使PA+PC最小；
（3）在DE上画出点Q，使|OA﹣OB|最大；
（4）求点B到AC所在直线的距离．

【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）连接AC′交DE于点P，连接PC，点P即为所求；
（3）延长AB交DE于点Q，点Q即为所求；
（4）利用面积法求解即可．
解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；
（2）如图，点P即为所求；
（3）如图，点Q即为所求；
（4）作BM⊥AC于点M．
∵AC＝＝5，
∴×5×BM＝3×5﹣×3×4﹣×1×2﹣×1×5，
∴BM＝．
∴点B到AC的距离为．

【点评】本题考查作图＝轴对称变换，三角形的面积，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
21．我们知道能完全重合的图形叫做全等图形，因此，如果两个四边形能完全重合，那么这两个四边形全等，也就是说，当两个四边形的四个内角、四条边都分别对应相等时，这两个四边形全等．请借助三角形全等的知识，解决有关四边形全等的问题．
如图，已知，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，现在只需补充一个条件，就可得四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．
下列四个条件：①∠A＝∠A′；②∠D＝∠D′；③AD＝A′D′；④CD＝C′D′
（1）其中，符合要求的条件是　①②④　．（直接写出编号）
（2）选择（1）中的一个条件，证明四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．

【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）连接AC、A′C′，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
解：（1）符合要求的条件是①②④，
故答案为：①②④；
（2）选④，
证明：连接AC、A′C′，
在△ABC与△A′B′C′中，，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS），
∴AC＝A′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，
∵∠BCD＝∠B′C′D′，
∴∠BCD﹣∠ACB＝∠B′C′D′﹣∠A′C′B′，
∴∠ACD＝∠A′C′D′，
在△ACD和△A′C′D中，
，
∴△ACD≌△A′C′D′（SAS），
∴∠D＝∠D，∠DAC＝∠D′A′C′，DA＝D′A′，
∴∠BAC+∠DAC＝∠B′A′C′+∠D′A′C′，
即∠BAD＝∠B′A′D′，
∴四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，
AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD＝A′D′，DC＝D′C′，
∠B＝∠B′，∠BCD＝∠B′C′D′，∠D＝∠D′，∠BAD＝∠B′A′D′，
∴四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
22．如图，是小明家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个长度可以伸缩变化的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上时，梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB，且此时PN＝PM．

（1）当小明在甲房间时，梯子靠在对而墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若∠AMP＝30°，MP＝2米，则甲房间的宽度AB＝　3　米．
（2）当他在乙房间时，测得NB＝1米，梯子长度MP＝2.6米，且∠MPN＝90°，求乙房间的宽AB．
（3）当他在丙房间时，测得MA＝2.9米，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°．
①求∠MPN的度数；
②求丙房间的宽AB．

【分析】（1）根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到结论；
（2）证明△AMP≌△BPN，从而得到AP＝NB＝1米，PN＝MP＝2.6米，根据勾股定理求出PB，即可求出AB＝AP+PB；
（3）①根据平角的定义即可求出∠MPN＝60°；
②根据PM＝PN以及∠MPN的度数可得到△PMN为等边三角形．利用相应的三角函数表示出MN，MP的长，可得到房间宽AB和AM长相等．
解：（1）在Rt△AMP中，∵∠A＝90°，∠AMP＝30°，MP＝2米，
∴AP＝MP＝1米，
∵PB＝MP＝2米，
∴甲房间的宽度AB＝AP+PB＝1+2＝3（米）；
故答案为：3；
（2）∵∠MPN＝90°，
∴∠APM+∠BPN＝90°，
∵∠APM+∠AMP＝90°，
∴∠AMP＝∠BPN．
在△AMP与△BPN中，
，
∴△AMP≌△BPN（AAS），
∴AP＝NB＝1米，PN＝MP＝2.6米，
∵PB＝＝＝2.4（米），
∴AB＝AP+PB＝1+2.4＝3.4（米）；
∴乙房间的宽AB是3.4米；
（3）①∠MPN＝180°﹣∠APM﹣∠BPN＝60°；
②如图，过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．

设AB＝x，且AB＝ND＝x，
∵梯子的倾斜角∠BPN为45°，
∴△BNP为等腰直角三角形，△PNM为等边三角形（180°﹣45°﹣75°＝60°，梯子长度相同），∠MND＝15°．
∵∠APM＝75°，
∴∠AMP＝15°．
∴∠DNM＝∠AMP，
∵△PNM为等边三角形，
∴NM＝PM．
∴△AMP≌△DNM（AAS），
∴AM＝DN，
∴AB＝DN＝AM＝2.8米，
即丙房间的宽AB是2.8米．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，全等三角形的应用，解直角三角形的应用，根据PM＝PN以及∠MPN的度数得到△PMN为等边三角形是解题的关键．
23．（1）如图1：已知△ABC中，以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，连接BE，CD，则BE与CD的数量关系为：　BE＝CD　；（直接填写结果，不需要说明理由）
（2）如图2，已知△ABC，以AB，AC为边向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接BE，CD，试判断BE与CD有什么数量关系？并说明理由；
（3）如图3，要测量池塘两岸相对的两点D，C之间的距离，已经测得∠ADB＝60°，∠ACB＝30°，BC＝300米，AC＝400米，且AD＝BD，求DC的长．


【分析】（1）根据全等三角形的判定方法得出△CAD≌△EAB（SAS），根据全等三角形的性质即可得出BE＝CD；
（2）根据△ABD和△ACE都是等边三角形，可通过SAS证明△ADC≌△ABE，得CD＝BE；
（2）如图3中，在AC的上方作等边△ACE，连接BE，AB．证明CD＝BE，利用勾股定理求出BE，可得结论．
解：（1）∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，
∴AB＝AD，AE＝AC，
∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAB，
在△EAB和△CAD中，
，
∴△EAB≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD．
故答案为：BE＝CD；

（2）结论：BE＝CD．
理由：∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AB＝AD，AE＝AC，
∵∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAB，
在△EAB和△CAD中，
，
∴△EAB≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD；

（3）如图3中，在AC的上方作等边△ACE，连接BE，AB．

∵AD＝DB，∠ADB＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
同法可证△BAE≌△DAC，
∴BE＝CD，
∵∠ACB＝30°，∠ACE＝60°，
∴∠BCE＝90°，
在Rt△BCE中，CE＝AC＝400米，BC＝300米，
∴BE＝＝＝500（米）．
∴CD＝BE＝500米，即DC的长为500米．
【点评】此题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形、等腰直角三角形以及正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．