_浙江省宁波市慈溪市十校联考2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷 (含答案)

这是一份_浙江省宁波市慈溪市十校联考2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷 (含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年浙江省宁波市慈溪市十校联考八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列图形中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列语句中，是定义的是（　　）
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
C．三角形的角平分线是一条线段
D．同角的余角相等
3．三角形两边长为2，5，则第三条边的长可能为（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
4．下列各组数据作为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．5，6，8 C．2，，3 D．1.5，2，3
5．下列选项中，可以用来说明命题“若a2＞b2则a＞b”是假命题的反例为（　　）
A．a＝3，b＝﹣2 B．a＝﹣3，b＝2 C．a＝2，b＝1 D．a＝﹣2，b＝3
6．如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（　　）

A．AC＝BD B．BC＝AD C．∠C＝∠D D．∠CAB＝∠DBA
7．如图，△ABC≌△DEF，BC＝7，EC＝4，则CF的长为（　　）

A．2 B．3 C．5 D．7
8．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是（　　）

A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
9．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点（不与点B，C重合），点E，F是线段AD的三等分点，记△BDF的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S1+S2＝3，则△ABC的面积为（　　）

A．6 B．8 C．9 D．10
10．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若已知S1＝1，S2＝2，S3＝3，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（　　）

A．5 B．5.5 C．5.8 D．6
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．命题：“直角三角形只有两个锐角”的逆命题是　 　命题（填“真”或“假”）．
12．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作k．若k＝2，则该等腰三角形的顶角为 　 　度．
13．如图，在△ABC中，AB＝2cm，AC＝3cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为 　 　cm．

14．如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝49°，则∠BAE的度数为　 　．

15．直角三角形两条边分别是3，5，则斜边中线长为 　 　．
16．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝4cm，分别与AC、BC为直角边向外做等腰直角△ACD、△BCE，连结DE交AC的延长于点M，则CM的长为 　 　cm．

三、解答题（第17题、18题各6分，第19、20、21、22题各8分，第23题10分，第24题12分，共66分）
17．如图，在4×5的网格中，最小正方形的边长为1，A，B，C，D均为格点（最小正方形的顶点）．
（1）如图1，画出所有以AB为一边且与△ABC全等的格点三角形．
（2）如图2，在线段AB上画出一点P，使CP+PD最小，其最小值为　 　．

18．如图，已知△ABC．
（1）画AC边上的高线（不限工具）；
（2）尺规作图：①∠BAC的平分线；②在∠BAC的平分线上作一点P，使PB＝PC．

19．如图，BD∥AC，BD＝BC，点E在BC上，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．

20．已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求该三角形的腰的长度．

21．已知：如图，BD＝CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝DF．求证：AB＝AC．

22．如图，等边三角形ABC的边长为4，BD为AC边上的中线，且DE⊥BC，求AE的长．

23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．
（1）求AB的长；
（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CP．设点P运动的时间为t秒，当t为何值时，△ACP为等腰三角形．

24．【证明体验】
（1）如图1，在△ABC中，CD平分∠ACB，E为BC上一点且CE＝CA．求证：DE＝AD．
【思考探究】
（2）如图2，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，AD＝1，AC＝2，求BC的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝4，BC＝3，求AD的长．




参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列图形中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列语句中，是定义的是（　　）
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
C．三角形的角平分线是一条线段
D．同角的余角相等
【分析】根据定义的概念判断即可．
解：A、两点确定一条直线，是公理，不是定义，不符合题意；
B、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，是平行线的定义，符合题意；
C、三角形的角平分线是一条线段，不是定义，不符合题意；
D、同角的余角相等，是性质，不是定义，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是命题和定理，掌握定义的概念是解题的关键．
3．三角形两边长为2，5，则第三条边的长可能为（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
【分析】根据三角形的第三边大于两边之差小于两边之和，即可解决问题．
解：∵三角形的第三边大于两边之差小于两边之和，
∴三角形的两边长分别是2、5，则第三边长a的取值范围是3＜a＜7．
观察选项，只有选项C符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查三边关系，记住三角形的第三边大于两边之差小于两边之和是解题的关键，属于中考常考题型．
4．下列各组数据作为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．5，6，8 C．2，，3 D．1.5，2，3
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形可得答案．
解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意；
B、52+62≠82，不符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意；
C、22+（）2＝32，符合勾股定理的逆定理，故此选项符合题意；
D、1.52+22≠32，不符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
5．下列选项中，可以用来说明命题“若a2＞b2则a＞b”是假命题的反例为（　　）
A．a＝3，b＝﹣2 B．a＝﹣3，b＝2 C．a＝2，b＝1 D．a＝﹣2，b＝3
【分析】反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出正确的选项．
解：能说明命题“若a2＝b2，则a＞b”是假命题的是a＝﹣3，b＝2，此时a2＞b2，但a＜b，
故选：B．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握判定假命题的方法，属于中考常考题型．
6．如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（　　）

A．AC＝BD B．BC＝AD C．∠C＝∠D D．∠CAB＝∠DBA
【分析】根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案．
解：A、当添加AC＝BD时，且∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，由“SSA”不能证得△ABC≌△BAD，故本选项符合题意；
B、当添加BC＝AD时，且∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，由“SAS”能证得△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；
C、当添加∠C＝∠D时，且∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，由“AAS”能证得△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；
D、当添加∠CAB＝∠DBA时，且∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，由“ASA”能证得△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．如图，△ABC≌△DEF，BC＝7，EC＝4，则CF的长为（　　）

A．2 B．3 C．5 D．7
【分析】利用全等三角形的性质可得EF＝BC＝7，再解即可．
解：∵△ABC≌△DEF，
∴EF＝BC＝7，
∵EC＝4，
∴CF＝3，
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
8．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是（　　）

A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【分析】根据平行线的性质，得出∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，根据全等三角形的判定，得出△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质，得出AD＝CF，根据AB＝4，CF＝3，即可求线段DB的长．
解：∵CF∥AB，
∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，
在△ADE和△CFE中，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF＝3，
∵AB＝4，
∴DB＝AB﹣AD＝4﹣3＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定△ADE≌△FCE是解此题的关键，解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等．
9．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点（不与点B，C重合），点E，F是线段AD的三等分点，记△BDF的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S1+S2＝3，则△ABC的面积为（　　）

A．6 B．8 C．9 D．10
【分析】点E，F是线段AD的三等分点，根据同高三角形面积之比等于对应底边之比，可得出S△ABD＝3S1，S△ADC＝3S2，最后便可以求出△ABC的面积．
解：∵点E，F是线段AD的三等分点，
∴DF＝AD，
∴S△ABD＝3S1
同理S△ADC＝3S2，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ADC
＝3S1+3S2
＝3（S1+S2），
∵S1+S2＝3，
∴S△ABC＝3×3
＝9．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的面积，关键是掌握同高三角形面积之比等于对应底边之比．
10．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若已知S1＝1，S2＝2，S3＝3，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（　　）

A．5 B．5.5 C．5.8 D．6
【分析】根据勾股定理得到a2＝c2+b2，根据正方形的面积公式结合图形得出阴影部分面积等于两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积．
解：设直角三角形的斜边长为a，较长直角边为c，较短直角边为b，
由勾股定理得，a2＝c2+b2，
∴a2﹣c2﹣b2＝0，
∴S阴影＝a2﹣c2﹣（b2﹣S四边形DEFG）＝a2﹣c2﹣b2+S四边形DEFG＝S四边形DEFG
∴S四边形DEFG＝S1+S2+S3＝1+2+3＝6，
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．关键是弄清阴影部分与两小正方形重叠部分面积相等．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．命题：“直角三角形只有两个锐角”的逆命题是　假　命题（填“真”或“假”）．
【分析】先根据命题有题设与结论两个部分组成写出逆命题，然后判断即可．
解：逆命题：只有两个锐角的三角形是直角三角形．是假命题．
故答案为：假．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．
12．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作k．若k＝2，则该等腰三角形的顶角为 　90　度．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
解：∵k＝2，
∴设顶角＝2α，则底角＝α，
∴α+α+2α＝180°，
∴α＝45°，
∴该等腰三角形的顶角为90°，
故答案为：90．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，AB＝2cm，AC＝3cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为 　5　cm．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
解：∵BC的垂直平分线l与AC相交于点D，
∴DB＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+CD＝AB+AC＝2+3＝5（cm），
故答案为：5．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝49°，则∠BAE的度数为　82°　．

【分析】证明△ABC≌△ADC得∠D+∠ACD＝∠B+∠ACB＝49°，进而根据三角形内角和定理得结果．
解：∵AC平分∠DCB，
∴∠BCA＝∠DCA，
又∵CB＝CD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴∠B＝∠D，
∴∠B+∠ACB＝∠D+∠ACD，
∵∠CAE＝∠D+∠ACD＝49°，
∴∠B+∠ACB＝49°，
∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠ACB﹣∠CAE＝82°，
故答案为：82°．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，关键是证明三角形全等，求得∠B+∠ACB＝49°．
15．直角三角形两条边分别是3，5，则斜边中线长为 　或　．
【分析】分两种情况：当直角三角形的斜边为5时，当3和5为直角三角形的两条直角边时，然后分别进行计算即可解答．
解：分两种情况：
当直角三角形的斜边为5时，
∴斜边中线长＝×5＝；
当3和5为直角三角形的两条直角边时，
斜边＝＝，
∴斜边中线长＝×＝；
综上所述：斜边中线长为或，
故答案为：或．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，分两种情况进行计算是解题的关键．
16．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝4cm，分别与AC、BC为直角边向外做等腰直角△ACD、△BCE，连结DE交AC的延长于点M，则CM的长为 　2　cm．

【分析】过点E作EH⊥AN于H，由△ABC≌△HCE得AB＝CH，AC＝EH，再证明△DCM≌△EHM得CM＝HM即可解决问题．
解：如图，过点E作EH⊥AN于H，

∵BA⊥AN，EH⊥AN，
∴∠BAC＝∠EHC＝90°，
∵∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠ECH＝90°，
∴∠ABC＝∠ECH，
∵△BCE和△ACD都是等腰三角形，
∴BC＝CE，AC＝DC，∠BCE＝∠ACD＝90°，
在△ABC和△HCE中，
，
∴△ABC≌△HCE（AAS），
∴AC＝EH＝CD，AB＝CH，
在△DCM和△EHM中，
，
∴△DCM≌△EHM（AAS）．
∴CM＝HM，
∴CM＝CH＝AB＝2cm．
故答案为：2．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，掌握添加辅助线的方法．
三、解答题（第17题、18题各6分，第19、20、21、22题各8分，第23题10分，第24题12分，共66分）
17．如图，在4×5的网格中，最小正方形的边长为1，A，B，C，D均为格点（最小正方形的顶点）．
（1）如图1，画出所有以AB为一边且与△ABC全等的格点三角形．
（2）如图2，在线段AB上画出一点P，使CP+PD最小，其最小值为　5　．

【分析】（1）利用翻折，轴对称寻找全等三角形即可．
（2）作点D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于P，连接PD，此时PC+PD的值最小．
解：（1）如图1中，△ABD，△ABD′，△ABD″即为所求．
（2）如图2中，点P即为所求．PC+PD的最小值＝＝5

故答案为5．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，全等三角形的判定，勾股定理等知识天的关键是熟练掌握科基本知识，属于中考常考题型．
18．如图，已知△ABC．
（1）画AC边上的高线（不限工具）；
（2）尺规作图：①∠BAC的平分线；②在∠BAC的平分线上作一点P，使PB＝PC．

【分析】（1）过B点作BD⊥AC于D；
（2）①利用基本作图作AE平分∠BAC；
②作BC的垂直平分线交AE于P，利用线段垂直平分线的性质可得到P点满足条件．
解：（1）如图，BD为所作；
（2）①如图，AE为所作；
②如图，点P为所作．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
19．如图，BD∥AC，BD＝BC，点E在BC上，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．

【分析】先根据平行线的性质得到∠ACB＝∠EBD，然后根据“SAS”可判断△ABC≌△EDB，从而根据全等三角形的性质得到结论．
【解答】证明：∵BD∥AC，
∴∠ACB＝∠EBD，
在△ABC和△EDB中，
，
∴△ABC≌△EDB（SAS），
∴∠ABC＝∠D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
20．已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求该三角形的腰的长度．

【分析】（1）依据勾股定理的逆定理，即可得到∠BDC＝90°，即可得到CD⊥AB；
（2）设腰长为x，则AD＝x﹣12，由（1）可知AD2+CD2＝AC2，解方程（x﹣12）2+162＝x2，即可得到腰长．
解：（1）∵BC＝20cm，CD＝16cm，BD＝12cm，
∴满足BD2+CD2＝BC2，
∴根据勾股定理逆定理可知，∠BDC＝90°，
即CD⊥AB；
（2）设腰长为x，则AD＝x﹣12，
由（1）可知∠ADC＝90°，由勾股定理可知，AD2+CD2＝AC2，
即：（x﹣12）2+162＝x2，
解得x＝，
∴腰长为cm．

【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
21．已知：如图，BD＝CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝DF．求证：AB＝AC．

【分析】证明Rt△BDE≌Rt△CDF，可得∠EBD＝∠FCD，证出∠ABC＝∠ACB，则结论得证．
【解答】证明：∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∵DB＝DC，DE＝DF
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠EBD＝∠FCD，
∴∠DBC+∠EBD＝∠DCB+∠FCD．
即∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
22．如图，等边三角形ABC的边长为4，BD为AC边上的中线，且DE⊥BC，求AE的长．

【分析】过A作AF⊥BC于点F，根据等边三角形的性质可得CF，再根据勾股定理可得AF的长，根据含30°角的直角三角形的性质可得CE的长，进一步可得EF的长，再根据勾股定理可得AE的长．
解：过A作AF⊥BC于点F，如图所示：

∵△ABC是等边三角形，
∴F为BC边上的中点，
∵等边三角形ABC的边长为4，
∴CF＝2，
在Rt△AFC中，根据勾股定理，
得AF＝＝，
∵BD是AC边上的中线，
∴CD＝2，
∵DE⊥FC，∠C＝60°，
∴∠CDE＝30°，
∴CE＝CD＝1，
∴EF＝CF﹣CE＝1，
在Rt△AEF中，根据勾股定理，
得AE＝＝．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．
（1）求AB的长；
（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CP．设点P运动的时间为t秒，当t为何值时，△ACP为等腰三角形．

【分析】（1）由勾股定理可得AB＝5；
（2）依题意得AP＝t，分三种情况求解：当AP＝AC时，t＝3；当AP＝PC时，∠A＝∠ACP，t＝5﹣t，则t＝2.5； 当AC＝PC＝3时，过点C作CD⊥AB，垂直为D，在△ABC中，×3×4＝×5CD，求出CD＝2.4，在△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，求出AD＝，则t＝3.6．
解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理可得AB＝5；
（2）依题意得AP＝t，
当AP＝AC时，t＝3，
当AP＝PC时，∠A＝∠ACP，
∴∠PCB＝∠B，
t＝5﹣t，
∴t＝2.5；
当AC＝PC＝3时，过点C作CD⊥AB，垂直为D，
在△ABC中，×3×4＝×5CD，
∴CD＝2.4，
在△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，
∴AD＝，
∴t＝3.6，
当t＝3或t＝2.5或t＝3.6时，△ACP为等腰三角形．

【点评】本题考查等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的性质和判定方法，分类讨论动点的运动情况是解题的关键．
24．【证明体验】
（1）如图1，在△ABC中，CD平分∠ACB，E为BC上一点且CE＝CA．求证：DE＝AD．
【思考探究】
（2）如图2，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，AD＝1，AC＝2，求BC的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝4，BC＝3，求AD的长．


【分析】（1）证△ACD≌△ECD，可得AD＝DE；
（2）根据（1）中得：AC＝CE＝2，DE＝BE＝1，相加可得BC的长；
（3）在BA边上取点E，使BE＝BC＝3，连接DE，得到△DEB≌△DBC，在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出结论．
【解答】（1）证明：如图1，∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCE，
在△ACD与△ECD中，
，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴AD＝DE；

（2）解：如图2，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．

∵△ACD≌△ECD，
∴AC＝CE＝2，AD＝DE＝1，∠A＝∠DEC，
∵∠A＝2∠B，∠DEC＝∠B+∠EDB，
∴∠B＝∠EDB，
∴EB＝ED＝AD＝1，
∴BC＝BE+CE＝1+2＝3；

（3）解：∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，
∴∠ABC＝∠C＝80°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC＝60°，
在BA边上取点E，使BE＝BC＝3，连接DE，

在△DEB和△DBC中，
，
∴△DEB≌△DBC（SAS），
∴∠BED＝∠C＝80°，
∴∠4＝60°，
∴∠3＝60°，
在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，
同理得△BDE≌△FDE（SAS），
∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝3，
∵∠A＝20°，
∴∠6＝20°，
∴AF＝EF＝3，
∵BD＝DF＝4，
∴AD＝BD+BC＝7．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，根据题意正确的作出辅助线构造全等三角形即可解决问题．