2022新高一暑假数学讲义

第08讲_常用逻辑用语

一、命题与量词

1、含量词的命题真假判断

【例1】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．

（1）命题：有一对实数，使；

（2）命题，．

【练1】判断下列语句是不是命题，如果是，说明是全称量词命题还是存在量词命题．

（1）任何一个实数除以1，仍等于这个数；

（2）三角函数都是周期函数吗？

（3）有一个实数，不能取倒数；

（4）有的三角形内角和不等于．

2、含量词的命题否定

【例2】写出下列命题的否定，并判断其真假：

（1），方程必有实根；

（2），使得．

【练2】（1）命题，，则是　                   　．

（2）命题，，，则命题是　                     　．

3、命题的真假求参问题

【例3】（1）若“，”是真命题，则实数的最小值为　　．

（2）若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是　　．

【练3】（1）已知命题，，若为真命题，则的取值范围是　       　．

（2）已知命题“，恒成立”是真命题，则的取值范围是　        　．

【例3】若命题“，有”是假命题，则实数的取值范围是　     　．

【练3】若命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为 　   　．

二、充分条件与必要条件

1、充分性与必要性的判断

【例4】（1）下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中可以作为“”的一个充分不必要条件的所有序号是 　    　．

（2）已知，，给出下列四个条件：①；②；③；④．使“”成立的必要不充分条件是 　    　．

【练4】试从①；②；③中，选出适合下列条件者，用代号填空：

（1）是 　　的充分条件；

（2）是 　　的必要条件．

2、充分条件和必要条件逆向求参问题

【例5】（1）设或，或，，是的充分不必要条件，则实数的取值范围是　    　．

（2）条件，条件；若是的必要而不充分条件，则的取值集合是 　   　．

【练5】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是　       　．

（2）已知，，若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围是　       　．

【例6】已知命题，使为假命题．

（Ⅰ）求实数的取值集合；

（Ⅱ）设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【练6】已知全集，若集合，．

（1）当，求；

（2）若是的充分条件，求实数的取值范围．

【例7】已知a，b，c，d均为正数，且，求证：“”是“”的充要条件．

【练7】求证：关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立的充要条件是．