第13讲 函数的应用-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第13讲 函数的应用

       【学习目标】

1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系

2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性．

3.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．

4.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．

5.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义．

        【基础知识】

一、函数的零点

1.对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标．注意：函数的零点不是一个点，而是f(x)＝0的实数解．

2.方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．

3.如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的解．

注意：(1)函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，f(a)·f(b)＜0不一定成立．

4.若连续不断的曲线y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)＜0，y＝f(x)在(a，b)内一定有零点，但不能确定有几个．

【解读】

1.一个函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点必须同时满足：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可．可从函数y＝来理解，易知f(－1)·f(1)＝－1×1<0，但显然y＝在(－1,1)内没有零点．

2.若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且在两端点处的函数值f(a)，f(b)异号，则函数y＝f(x)在(a，b)上的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解C．

3.函数零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，虽然都有f(a)·f(b)<0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点．

4.函数零点存在定理是不可逆的，因为f(a)·f(b)<0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)·f(b)<0.如图③，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但f(a)·f(b)>0.

5.如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数解．

二、二分法

1.对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

2.二分法求方程近似解的步骤

给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：

(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.

(2)求区间(a，b)的中点C．

(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：

①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；

②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈ (a，c))，则令b＝c；

③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝C．

(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．

三、函数模型

1.函数模型应用的两个方面

(1)利用已知函数模型解决问题．

(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．

2.用函数模型解决实际问题的步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．

(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型．

(3)求模：求解函数模型，得到数学结论．

(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．

可将这些步骤用框图表示如下：

3.数据拟合

(1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．

(2)数据拟合的步骤

①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；

②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式；

③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；

④做必要的检验．

【考点剖析】

考点一：确定函数零点个数

例1．（2021-2022学年广东省茂名市重点中学高一下学期期中）函数的零点的个数为（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】由于函数在上是增函数，且，故函数在上有唯一零点，也即在上有唯一零点.故选B.

考点二：确定函数零点所在区间

例2．（2021-2022学年陕西省安康中学高一上学期期末）已知函数，下列含有函数零点的区间是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为函数单调递增，且，，

，，.

且，所以含有函数零点的区间为.故选C．

考点三：根据函数零点满足条件求参数范围

例3．（2021-2022学年黑龙江省佳木斯市第一中学高一下学期开学考试）已知函数，若恰有两个零点.则正数a的取值范围______.

【答案】

【解析】依题意，当时，单调递增，，所以在区间上，有零点，

所以当时，有唯一零点，所以.所以的取值范围是.

考点四：二分法的应用

例4．（2021-2022学年江苏省南京师范大学附属中学江宁分校高一下学期期中）用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于（       ）

A．1 B． C．0.25 D．0.75

【答案】C

【解析】因为，，所以在内存在零点，根据二分法第二次应该计算，其中；故选C

考点五：一次函数与二次函数模型

例5. （2021-2022学年湖南省天壹名校联盟高一上学期期中联考）某社区超市的某种商品的日利润y（单位：元）与该商品的当日售价x（单位：元）之间的关系为，那么该商品的日利润最大时，当日售价为___________元.

【答案】150

【解析】因为，所以当时，y取最大值.故答案为150

考点六：指数函数模型

例6．（2021-2022学年陕西省铜川市第一中学高一上学期期中）某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气中的污染物数量P（单位：）与过滤时间（单位：）间的关系为（，均为非零常数，为自然对数的底数），其中为时废气中的污染物数量，经测试过滤5h后还剩余80%的污染物.

(1)求常数的值；

(2)试计算废气中的污染物减少到40%至少需要多长时间.（精确到1，参考数据：，）

【解析】 (1)由题意，，

；

(2)设需要小时污染物减少到40%，

则，，，

．

废气中的污染物减少到40%约需要20h．

考点七：对数函数模型

例7．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系y＝alog3(x＋2)，观测发现2013年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2019年冬有越冬白鹤（       ）

A．4 000只 B．5 000只 C．6 000只 D．7 000只

【答案】C

【解析】由题意，当时，可得，解得，所以2019年冬有越冬白鹤为.故选 C.

考点八：分段函数模型

例8．（2021-2022学年湖北省云学新高考联盟学校高一下学期5月联考）某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为600万元，除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式.设年产量为x（，）台，若年产量不足70台，则每台设备的额外成本为万元；若年产量大于等于70台不超过200台，则每台设备的额外成本为万元.每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.

(1)写出年利润W（万元）关于年产量x（台）的关系式；

(2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？

【解析】 (1)当，时，

；

当，时，

.

∴.；

(2)①当，时，

，

∴当时，y取得最大值，最大值为1200万元.

②当，时，

，

当且仅当，即时，y取得最大值1320，

∵，

∴当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.

考点九：函数模型的选择

例9．某学校开展研究性学习活动，一组同学得到下面的试验数据：

现有如下个模拟函数：

①；②；③；④.　

请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．

【答案】④

【解析】画出散点图，由图分析增长速度的变化，可知符合对数函数，故答案为④

        【真题演练】

1．（2021-2022学年山西省高一下学期期中）函数的零点所在的区间是（       ）

A． B． C． D．

2. （2021-2022学年重庆市石柱中学校高一上学期月考）某超市宣传在“双十一”期间对顾客购物实行一定的优惠，超市规定：

①如一次性购物不超过元不予以折扣；

②如一次性购物超过元但不超过元的，按标价给予九折优惠；

③如一次性购物超过元的，其中元给予折优惠，超过元的部分给予八五折优惠.某人两次去该超市购物分别付款元和元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（       ）

A．元 B．元 C．元 D．元

3.已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是(       )

A． B．

C． D．

4.（多选）（2021-2022学年福建省莆田第二十五中学高一上学期期末）设，某学生用二分法求方程的近似解（精确度为），列出了它的对应值表如下：

若依据此表格中的数据，则得到符合要求的方程的近似解可以为（       ）

A．1.31 B．1.38 C．1.43 D．1.44

5.（多选）（2021-2022学年江苏省南通市海安市高一上学期期末）已知函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线，则下列结论正确的是（       ）

A．若，则在内至少有一个零点

B．若，则在内没有零点

C．若在内没有零点，则必有

D．若在内有唯一零点，，则在上是单调函数

6.（2021-2022学年安徽省江淮十校高一上学期11月检测）2021年3月20日，国家文物局公布，四川三星堆考古发掘取得重大进展，考古人员在三星堆遗址内新发现6座祭祀坑，经碳14测年法测定，这6座祭祀坑为商代晚期遗址，碳14测年法是根据碳14的衰变程度测度样本年代的一种测量方法，已知样本中碳14的原子数随时间（单位：年）的变化规律是，则该样本中碳14的原子数由个减少到个时所经历的时间（单位：年）为______．

7.（2021-2022学年四川省攀枝花市第七高级中学校高一上学期期中）已知为上的偶函数，当时，，对于结论

（1）当时，；

（2）方程根的个数可以为；

（3）若函数在区间上恒为正，则实数的范围是；

（4）若，关于的方程有个不同的实根.

说法正确的序号是___．

8.（2021-2022学年湖北省部分重点中学（六校）高一下学期五月联考）自2020新冠疫情爆发以来，直播电商迅猛发展，以信息流为代表的各大社交平台也相继入场，平台用短视频和直播的形式，激发起用户情感与场景的共鸣，让用户在大脑中不知不觉间自我说服，然后引起消费行动.某厂家往年不与直播平台合作时，每年都举行多次大型线下促销活动，经测算，只进行线下促销活动时总促销费用为24万元.为响应当地政府防疫政策，决定采用线上（直播促销）线下同时进行的促销模式，与某直播平台达成一个为期4年的合作协议，直播费用（单位：万元）只与4年的总直播时长x（单位：小时）成正比，比例系数为0.12.已知与直播平台合作后该厂家每年所需的线下促销费C（单位：万元）与总直播时长x（单位：小时）之间的关系为（，k为常数）.记该厂家线上促销费用与4年线下促销费用之和为y（单位：万元）.

(1)写出y关于x的函数关系式；

(2)该厂家直播时长x为多少时，可使y最小？并求出y的最小值.

       【过关检测】

1.（2021-2022学年云南省昆明市第三中学高一下学期期中）第19届亚洲运动会将于2022年9月10日至2022年9月25日在浙江省杭州市举行，换上智慧脑、聪明肺的黄龙体育中心将承办足球、体操、水球等项目．为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水污染物数量与时间t的关系为（N0为最初污染物数量）．如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要（       ）

A．3.6小时 B．3.8小时 C．4小时 D．4.2小时

2．（2021-2022学年新疆喀什第二中学高一下学期考试）函数的零点所在区间为（          ）

A． B． C． D．

3．已知函数，则使函数有零点的实数m的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

4.（2021-2022学年天津市河西区高一上学期期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：

若某户居民本月缴纳的水费为90元，则此户居民本月的用水量为（       ）

A．17 B．18 C．19 D．20

5.（多选）（2021-2022学年贵州省黔东南州高一上学期期末）若函数y＝(ax－1)(x＋2)的唯一零点为－2，则实数a可取值为(       )

A．－2 B．0 C． D．－

6.（多选）（2021-2022学年广东省茂名市“五校联盟”高一上学期期末联考）甲、乙两位股民以相同的资金进行股票投资，在接下来的交易时间内，甲购买的股票先经历了一次涨停（上涨10%），又经历了一次跌停（下跌10%），乙购买的股票先经历了一次跌停（下跌10%），又经历了一次涨停（上涨10%），则甲，乙的盈亏情况（不考虑其他费用）为（       ）

A．甲、乙都亏损 B．甲盈利，乙亏损 C．甲亏损，乙盈利 D．甲、乙亏损的一样多

7.（多选）（2021-2022学年云南省昆明市第十中学高一上学期第二次阶段考试）在学校周二数学选修课上，姜老师让问学们研究函数的性质时，某同学得到如下结论，则正确的是（       ）

A．的图像关于原点对称 B．的值域是

C．在区间上是增函数 D．有三个零点

8.端午节来临之际，商家推出了两种礼盒进行售卖．A类礼盒中有4个甜味粽，4个肉馅粽；B类礼盒中有2个甜味粽，4个肉馅粽，6个咸鸭蛋，两种礼盒的成本分别为盒中食品的成本之和，包装费用忽略不计．其中，每个咸鸭蛋的成本为每个肉馅粽成本的，每个甜味粽的成本比每个肉馅粽的成本少，且每个甜味粽和每个肉馅粽的成本均为整数．已知A类礼盒的售价为50元，利润率为25%．端午节当天一共卖出了两类礼盒共计128盒，且卖出的B类礼盒至少50盒．后续工作人员在核算总成本的过程中，把每个甜味粽和每个肉馅粽的成本看反了，并用看反的每个肉馅粽的成本的去计算每个成鸭蛋的成本，结果算出来的总成本比实际总成本少了480元，则当日实际卖出的两种礼盒的总成本为______元．

9.（2021-2022学年广西柳州市高一4月期中联考）为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为每平方米400元，左右两侧报价为每平方米300元，屋顶和地面报价共计9600元，设应急室的左右两侧的长度均为x米（），公司甲的整体报价为y元．

(1)试求y关于x的函数解析式；

(2)现有公司乙也要参与此应急室建造的竞标，其给出的整体报价为元，若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由．

10.（2021-2022学年湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高一下学期期中联考）自2014年9月25日起，三峡大坝旅游景点对中国游客（含港、澳、台同胞、海外侨胞）施行门票免费，去三峡大坝旅游的游客人数增长越来越快，经统计发现2017年三峡大坝游客总量约为200万人，2018年约为240万人，2019年约为288万人，三峡大坝的年游客人数y与年份代码x（记2017年的年份代码为，2018年年份代码为，依此类推）有两个函数模型与可供选择．

(1)试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该模型的函数解析式；

(2)问大约在哪一年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．（参考数据：，，，）