新高一暑假数学预习精讲

2.2  基本不等式

【题型解读】

【知识储备】

1. 两个不等式

重要不等式：当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

基本不等式：当a>0，b>0时有≤，当且仅当a＝b时，等号成立．

叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．

基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<.

2．基本不等式与最值

已知x，y都是正数，

(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；

(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.

温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．

【题型精讲】

【题型一　对基本不等式的理解】

方法技巧   对基本不等式的理解

(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．

(2)“当且仅当”的含义：

①当a＝b时，≥的等号成立，即a＝b⇒＝；

②仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b.

例1　（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一月考）下列说法中错误的是（　　）

A．不等式a+b≥2恒成立 

B．若a，b∈R+，则2 

C．若a，b∈R+，满足a+2b＝1，则8 

D．存在a∈R，使得a2成立

例2　（多选）（2022·衡水市第十三中学高一月考）已知正数，，则下列不等式中恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【题型精练】

1. （2022·宁夏·银川一中期中）下列不等式恒成立的是（       ）

A． B．

C． D．

2．（多选题）（2022•海南高一期末）下列说法中正确的有（　　）

A．不等式恒成立 

B．存在a，使得不等式成立 

C．若a，b∈（0，+∞），则 

D．若正实数x，y满足x+2y＝1，则

【题型二　直接法求最值】

例3　（2022·甘肃酒泉·高一期中）若实数a，b满足，则ab的最大值为（       ）

A．2 B．1 C． D．

例4　（2022·河北·高一期末）已知，，，且，，则的最小值是（   ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【题型精练】

1．（2022·湖北十堰期末）设x＞0，y＞0，则x+4y的最小值为 　　．

2. （多选）（2022·河北石家庄期中）设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（       ）

A．上的最小值为2 B．的最大值为1

C．的最大值为4 D．的最小值为

【题型三　凑配法求最值】

必备技巧  通过配凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：

(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；

(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；

(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　

例5　（2022·山西·怀仁市第一中学校月考）设实数满足，则函数的最小值为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

例6　（2022·上海虹口·高一期末）已知，则的最大值为______．

【题型精练】

1．（2022·北京大兴·高一期末）当时，的最大值为（       ）

A． B． C． D．

2. （2022·全国·高一专题练习）（1）求函数的最小值及此时的值；

（2）已知函数，，求此函数的最小值及此时的值.

【题型四  “1”的代换法求最值】

必备技巧  “1”的代换法求最值

(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；

(2)把确定的定值(常数)变形为1；

(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；

(4)利用基本不等式求解最值．　

例7　（2022·河南·夏邑第一高级中学高一期末）已知,则的最小值是(    )

A．2 B． C．4 D．

例8　（2022·安徽·南陵中学高一月考）若实数，满足，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【题型精练】

1．（2022·安徽·高三阶段练习）已知，，，则的最小值是（       ）

A．1 B．2 C．4 D．6

2. （2022·全国高一课时练习）已知，，则的最小值为_______________；

【题型五  二次商式求最值】

例9　（2022·全国·高一课时练习）求下列函数的最小值

（1）；

（2）.

例10　（2022·江西·宁冈中学高一月考）的最大值为______.

【题型精练】

1．（2022·全国·高一课时练习）函数的最大值为（       ）

A．3 B．2 C．1 D．-1

2. （2022·全国·高一课时练习）若 ，则有（       ）

A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值

【题型六  基本不等式求参】

例11　（2022·全国·高一课时练习）若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

例12　（2022•南开区校级月考）设x＞0，y＞0，且不等式（ax+y）（）≥9恒成立，则正实数a的取值范围是（　　）

A．0＜a≤4 B．0＜a≤2 C．a≥4 D．a≥2

【题型精练】

1．（2022·全国·高一课时练习）已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（       ）

A．10 B．12 C．16 D．9

2. （2022·全国高一课时练习）已知关于x的不等式在上恒成立，则实数a的最小值为 （ ）

A．1 B． C．2 D．

【题型七  基本不等式的实际应用】

例13　（2022·全国·高一课时练习）将一根铁丝切割成三段，做一个面积为，形状为直角三角形的框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合理共用且浪费最少的是(         )

A．6.5m B．6.8m C．7m D．7.2m

【题型精练】

1．（2022·北京市十一学校高一期末）某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2造价为12元，则箱子的最低总造价为（　　）

A．72元 B．300元 C．512元 D．816元