2022-2023学年上海市实验学校高一上学期开学考数学试题含解析

2022-2023学年上海市实验学校高一上学期开学考数学试题

一、单选题

1．若是锐角，.那么锐角等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题可得，即得.

【详解】因为，是锐角，

所以，，

所以.

故选：.

2．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：.2和26均为“和谐数”.那么､不超过2016的正整数中，所有们“和谐数”之和为（       ）

A．6858 B．6860 C．9260 D．9262

【答案】B

【分析】根据“和谐数”的概念找出公式：，（其中为非负整数，然后再分析计算即可.

【详解】

（其中为非负整数，

由得，

所以，即得所有不超过2016的“和谐数”，

它们的和为：.

故选：B.

3．100人共有2000元人民币，其中任意10人的钱数的和不超过380元.那么一个人最多有（       ）元.

A．216 B．218 C．238 D．236

【答案】B

【分析】由题可得存在9人的钱数的和不少于162元，结合条件进而即得.

【详解】因为任意10个人的钱数的和不超过380元，

所以任意90个人的钱数的和不少于1620元，

所以存在9人的钱数的和不少于162元，

所以一个人最多能有元.

故选：B.

4．函数与的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（       ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【分析】的图象为过原点的折线，关于y轴对称，的图象是直线，斜率为1，按的正负分类作出图象后，分析可得．

【详解】的图象为过原点的折线，关于y轴对称，

分两种情况讨论，①当a>0时，的图象过第一､二象限，直线斜率为1，

当a>0时，直线过第一､二､三象限，若使其图象恰有两个公共点，如图1，必有a>1；

②当a<0时，过第三､四象限；而y=x+a过第二､三､四象限，若使共图象恰有两个公共点，如图2，必有,

故选：D.

　　　　　　　　　图1

　　　　　　　　图2

二、填空题

5．计算：___________.

【答案】

【分析】根据特殊角的三角函数值计算．

【详解】原式.

故答案为：．

6．若，则___________.

【答案】或

【分析】依题意可得，再分和两种情况讨论，即可得解.

【详解】解：因为，

所以①，②，③，

①②③得，

当时，；

当时，，代入①得，解得，

综上所述，或.

故答案为：或

7．若抛物线中不管取何值时都通过定点，则定点坐标为___________.

【答案】

【分析】若抛物线中不管取何值时都通过定点，则含的项的系数为0，由此求出的值，再求的值，得出定点坐标.

【详解】可化为，

当时，，且与的取值无关，

所以不管取何值时都通过定点.

故答案为：

8．已知抛物线的部分图象如图，则下列说法：①对称轴是直线；②当时，；③方程无实数根．其中正确的说法是___________.（只填写序号）.

【答案】①②③

【分析】根据图像确定二次函数图像的对称轴，与轴交点的横坐标，函数的最小值然后判断．

【详解】①由图像知对称轴是直线，正确；

②由对称性得是方程的另一根，因此当时，函数图像对应的点在轴下方，因而，正确；

③函数的最小值是，因而函数值必须不小于，

因而方程无实数根，正确.

故答案为：①②③．

9．如图.在中，，为三角形内部一点，其，.则的面积为___________.

【答案】

【分析】过作与的垂线，得到矩形，设矩形的长与宽，以及等腰的直角边，根据，，利用勾股定理构造方程，整理化简，然后利用面积差，整体代入求解的面积.

【详解】过作于于，

则四边形是矩形，设，

所以，

因为，根据勾股定理可得，

，所以，所以，

所以.

故答案为：.

10．把三张大小相同的正方形卡片A､B､C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.若按图1摆放时，阴影部分的面积为；若按图2摆放时，阴影部分的面积为，则___________，（填“>”“<”或“=”）

【答案】=

【分析】根据正方形的性质，可以把两块阴影部分合并后计算面积，然后比较和的大小.

【详解】设底面的正方形的边长为a，正方形卡片A､B､C的边长为b，

由图1得，

由图2得，

所以.

故答案为：=

11．若一元二次方程的两个实数根分別是3､，则___________.

【答案】

【分析】把代入方程求得，再由韦达定理求得另一根即得结论．

【详解】把代入一元二次方程，得，解得，

由根与系数的关系得，解得，所以.

故答案为：5．

12．有一个六位数，它乘以3后得六位数，则此六位数为___________.

【答案】

【分析】设1后面的五位数为，列出方程，求出，写出此六位数.

【详解】设1后面的五位数为.则，解得，

所以这个六位数为.

故答案为：

13．若质数满足：，则的最大值为___________.

【答案】

【分析】由得，，代入不等式求得的范围，要最大，则也最大，由质数分析可得结论．

【详解】因为，所以，因为，所以，

解得，因为，所以，则，

因为，所以，解得，

由于，因此最大时，也最大，

所以当取最大质数23时，不合题意舍去，

则时，，此时符命题意，故的最大值为.

故答案为：1007．

14．在平面直角坐标系中，对于任意两点的“破晓距离”，给出如下定义：若，则点与点的“破晓距离”为；若，则点与点的“破晓距离”为．例如：点，点，因为，所以点与点的“破晓距离”为，也就是线段与线段长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点）.已知是直线上的一个动点，点D的坐标是，则当点C与点D的“破晓距离”取最小值时相应的点C的坐标为___________.

【答案】

【分析】过点C作x轴的垂线，过点D作y的垂线，两条垂线交于点M，连接CD．当点C在直线上方且使为等腰直角三角形时，点C与点D的“破晓距离”最小，根据新定义证此结论成立，然后求出即得．

【详解】过点C作x轴的垂线，过点D作y的垂线，两条垂线交于点M，连接CD.

当点C在点D的后上方且使为等腰直角三角形时，

点C与点D的“破晓距离”最小.理由如下：

记此时C所在位置的坐标为.

当点C的横坐标大于时，线段CM的长度变大，

由于点C与点D的“破晓距离”是线段CM与线段MD长度的较大值，

所以点C与点D的“破晓距离”变大：

当点C的横坐标小于时，线段MD的长度变大，

点C与点D的“破晓距离”变大.

所以当点C的横坐标等于时，点C与点D的“破晓距离”最小.

因为，所以，

解得，所以点C的坐标是.

故答案为：．

三、解答题

15．如图，已知平行四边形ABCD，对角AC与BD交于点O，以AD､AB边分别为边长作正方形ADEF和正方形ABHG，连接FG.

(1)求证：：

(2)若，请求出的面积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）通过条件证明即可；

（2）根据条件求出，然后得到即可.

【详解】(1)因为四边形ADEF和四边形ABHG都是正方形，

所以，

所以，

因为四边形是平行四边形，所以

所以，所以，

在和中，

所以

所以，在平行四边形中，，所以；

(2)过点作交于点，

因为，

所以，

所以

所以

因为，所以，即的面积为.

16．一块三角形材料如图所示，用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中，点D､E､F分别在.设AE的长为x，矩形CDEF的面积为S.

(1)写出S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

(2)当矩形CDEF的面积为时，求AE的长：

(3)当AE的长为多少时，矩形CDEF的面积最大？最大面积是多少？

【答案】(1)；

(2)4或8；

(3)时，最大面积是．

【分析】（1）易得，由直角三角形由表示出，可得矩形面积；

（2）解方程可得的长；

（3）由二次函数的性质可得最大值．

【详解】(1)因为AB=12，AE=x，点E与点A､点B均不重合，

所以，

因为四边形CDEF是矩形，所以，

因为，所以，，

在Rt中，，所以，

由勾股定理得，所以，

所以；

(2)由题意得.解得，

所以的长为4或8；

(3)因为，

所以当时，矩形CDEF的面积最大，

即当点为的中点时，矩形的面积最大，最大面积是.

17．已知是一元二次方程的两个实数根.

(1)是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

(2)求使的值为整数的实数的整数值.

【答案】(1)不存在，理由见解析；

(2)

【分析】（1）利用反证法先假设存在实数，使得成立，根据一元二次方程有两个实数根可得，因此原假设不成立，故不存在；

（2）根据题意，可得能被整除，即可求出的值.

【详解】(1)假设存在实数，使得成立，

一元二次方程的两个实数根，

，(不要忽略判别式的要求)，

由韦达定理得，

，

但，

不存在实数，使得成立.

(2)，

要使其值是整数，只需要能被整除，

故，即，

，

.

18．阅读理解：对于任意正实数，因为，所以，所以，只有当时，等号成立.结论：在（均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值.根据上述内容，回答下列问题：

(1)若，只有当___________时，有最小值___________；

(2)思考验证：如图1，为半圆的直径，为半圆上任意一点（与点不重合），过点作，垂足为.试根据图形验证，并指出等号成立时的条件.

(3)探索应用：如图2，已知为双曲线上的任意一点，过点作轴，垂足为轴，垂足为.求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状.

【答案】(1)，2

(2)验证答案见解析，等于半径时取等号

(3)最小值24，四边形是菱形

【分析】（1）根据阅读材料，时，取得最小值，由此计算可得；

（2）利用直角三角形相似得，由（重合时取等号）可得不等式成立；

（3）设，求出坐标，求出后可计算出四边形的面积，然后由阅读材料的结论得出最小值及四边形形状．

【详解】(1)由题意，又，因此时，的最小值为2；

(2)因为是的直径.所以.

又，所以，

所以RtRt，所以，即，所以，

若点与O不重合，连接，

在Rt中，有，所以，

若点与重合时，.所以.

综上所述，，即，当等于半径时取等号；

(3)设，则，

化简得，因为，所以，

当且仅当，即时取等号，所以.

由最小值24.

此时，

所以四边形是菱形.

19．已知正实数，，满足：，且.

(1)求的值.

(2)证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）已知等式化简得，求值式通分后可得结论；

（2）作差后，凑配成非负数的和，即证．

【详解】(1)由等式，

去分母得，

，

，

∴，∵，∴，

∴，∴，

∴原式.

(2)由（1）知，又，，为正实数，

，

∴

.

所以.

20．如图，在平面直角坐标系中，对称轴为直线的抛物线与轴交于两点，其中点的坐标为，与轴交于点，作直线.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，点是直线下方抛物线上的一个动点，连结.当面积最大时，求点的坐标；

（3）如图，在（2）的条件下，过点作于点交轴于点将绕点旋转得到在旋转过程中，当点或点落在轴上(不与点重合)时，将沿射线平移得到，在平移过程中，平面内是否存在点使得四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1);(2)；(3) 所有符合条件的点坐标为或

【分析】(1)分别根据对称轴方程,再代入点的坐标进行求解即可.

(2) 过作轴交于,进而根据表达出关于的横坐标的表达式,再根据二次函数的最值求解即可.

(3)分两种情况,设平移的距离为,再根据菱形满足即可求得,进而根据菱形的性质可求得

【详解】抛物线对称轴为.

且点的坐标为.点的坐标为

.解得

抛物线的解析式为

(2)过作轴交于.设,

设的解析式为,则,解得.

故的解析式为.则

则

.

故当时,取最大值.此时

(3) 存在,所有符合条件的坐标为,.

提示：.

①当落在轴上时,如图,点,,

设平移距离是,则,.

由得 ,解得.

此时,,所以.

②当落在轴上时,如图,点,,

设平移距离是,则,.

由得 ,解得.

此时,,所以.

综上所述,所有符合条件的点坐标为或

【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求解,同时也考查了抛物线上的点构成的三角形的面积最值问题.也考查了三角形旋转以及是否存在点满足条件的问题.需要根据题意,利用二次函数与菱形的性质建立适当的等式进行求解.属于难题.