2021-2022学年上海市实验学校高一上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市实验学校高一上学期期末数学试题

一、填空题

1．已知集合，，则__________．

【答案】

【分析】可求出集合，然后进行交集的运算即可．

【详解】解：，1，，，，

．

故答案为：．

2．设a、b都为正数，且，则的最小值为________.

【答案】1

【分析】把变形为：利用已知，结合基本不等式进行求解即可.

【详解】因为a、b都为正数，所以有：

，

当且仅当时取等号，即时取等号，

故答案为：

3．函数，则______________.

【答案】

【解析】3在反函数的定义域中，它必在原函数的值域中，因为反函数与原函数的对应关系相反，故由解得值为所求.

【详解】由解得，所以.

故答案为：

4．已知且，若，，则_______________.

【答案】6

【解析】利用指数式与对数式的互化，再利用同底数幂相乘即可.

【详解】，同理：

∴

故答案为：6

【点睛】对数运算技巧：

(1)指数式与对数式互化；

(2)灵活应用对数的运算性质；

(3) 逆用法则、公式；

(4) 应用换底公式，化为同底结构．

5．已知函数，是偶函数，则的值为______．

【答案】

【分析】根据奇偶定义可建立方程求解即可.

【详解】由题意得，所以，所以.

故答案为：

6．若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为______．

【答案】或

【分析】依题意可得，解得的取值范围，再由为整数，求出参数的值.

【详解】由题意得，解得，又为整数，所以或.

故答案为：或

7．用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一个取的点是______．

【答案】1.5##

【分析】先确定函数单调性，根据二分法求解即可得解.

【详解】设函数，易得函数为严格增函数，

因为，，

所以下一个有根区间是，

那么下一个取的点是．

故答案为：

8．已知函数的最小值为-2，则实数a=________.

【答案】

【分析】根据二次函数的对称轴与所给区间的相对位置进行分类讨论求解即可.

【详解】，所以该二次函数的对称轴为：，

当时，即，函数在时单调递减，

因此，显然符合；

当时，即时，，显然不符合；

当时，即时，函数在时单调递增，

因此，不符合题意，综上所述：，

故答案为：

9．设方程的实根，其中k为正整数，则所有实根的和为______．

【答案】4

【分析】画出的图象，由图象的特征可求.

【详解】令，，

所以函数图象关于轴对称，

令，则的图象关于直线对称，

因为方程的实根，可以看作函数的图象与直线的交点横坐标.

由图可知方程有4个实根，且关于直线对称.

所以.

故答案为：4.

10．设函数，，如果对任意的实数，任意的实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为________．

【答案】

【分析】分别求出函数，在上的值域，把问题转化为关于的不等式组，求出解集即可

【详解】解：因为在上为增函数，

所以，

所以在上的值域为，

因为的对称轴为直线，

所以在上为增函数，

所以，

所以在上的值域为，

因为对任意的实数，任意的实数，不等式恒成立，

所以，解得，

所以或，

所以实数a的取值范围为，

故答案为：

【点睛】此题考查函数在闭区间上的最值问题和不等式恒成立问题，考查了数学转化思想，解题的关键是求出函数，在上的值域，把问题转化为，从而可求出实数a的取值范围，属于中档题

二、单选题

11．已知x，y是实数，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由充要条件的定义求解即可

【详解】因为 ，

若，则，

若，则，即，

所以 ，即“”是“”的充要条件，

故选：C.

12．如果，那么（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据换底公式可得，再利用单调性可以判断C正确.

【详解】因为，则，

又因为在上单调递减，

那么，

故选：C．

13．在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图像的关系可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，结合二次函数和幂函数的性质依次分析选项，即可得到答案.

【详解】对于A，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数为减函数，符合题意；

对于B， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数为减函数，不符合题意；

对于C，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；

对于D， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意；

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题考查函数图像的分析，在同一个坐标系中同时考查二次函数和幂函数性质即可得解，考查学生的分析试题能力，数形结合思想，属于基础题.

14．若函数与在区间上都是严格减函数，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由一次函数及反比例函数的单调性，结合图像变换即可得到实数的取值范围.

【详解】函数的图像关于对称，

所以当，y随x的增大而减小，当，y随x的增大而增大.

要使函数在区间上都是严格减函数，

只需；

要使在区间上都是严格减函数，只需；

故a的范围为.

故选：D

三、解答题

15．求下列不等式的解集：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据分式不等式及一元二次不等式的解法求解集.

（2）应用公式法求绝对值不等式的解集.

【详解】（1），故解集为；

（2），

故解集为.

16．已知函数．

(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；

(2)判断函数的单调性并证明．

【答案】(1)是奇函数，理由见解析

(2)在上单调递减，证明见解析

【分析】（1）根据函数奇偶性定义进行判断证明；

（2）根据函数单调性定义进行证明.

【详解】（1）是奇函数，理由如下：

函数，则定义域关于原点对称，

因为，所以是奇函数；

（2）任取，

则

            ，

因为，所以，

所以，所以在上单调递减.

17．将函数（且）的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图像．

(1)求函数的解析式

(2)设函数，若对一切恒成立，求实数m的取值范围；

(3)讨论关于x的方程，在区间上解的个数．

【答案】(1)

(2)

(3)答案见解析

【分析】(1)由图象的平移特点可得所求函数的解析式；

(2)求得的解析式，可得对一切恒成立，再由二次函数的性质可得所求范围；

(3)将方程等价转化为且，根据题意只需讨论在区间上的解的个数，利用图象，数形结合即可求得答案.

【详解】（1）将函数且的图象向左平移1个单位，

得到的图象，再向上平移2个单位，得函数的图象；

（2）函数，，

若对一切恒成立，

则对一切恒成立，

由在严格单调递增，得，

所以，即的取值范围是；

（3）关于的方程

且，

所以只需讨论在区间且x≠0上的解的个数．

由二次函数且的图象得，

当时，原方程的解有0个；

当时，原方程的解有1个；

当时，原方程的解有2个．

18．其公司研发新产品，预估获得25万元到2000万元的投资收益，现在准备拟定一个奖励方案：奖金y（万元）随投资收益x（万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．

(1)用数学语言列出公司对函数模型的基本要求；

(2)判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；

(3)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)不符合，理由见解析

(3)

【分析】（1）根据函数单调性的定义以及最值的定义，结合题意中的不等关系，可得答案；

（2）由（1）所得的三个条件，进行检验，可得答案；

（3）利用幂函数的单调性，结合题意中的最值以及不等关系，可得不等式组，利用基本不等式，可得答案.

【详解】（1）满足的基本要求是：①是定义域上的严格增函数，

②的最大值不超过75，③在上恒成立；

（2），不满足要求③，故不符合；

（3）因为，所以函数满足条件①，

由函数满足条件②得，解得，

由函数满足条件③得，对恒成立，

即对恒成立，

因为，当且仅当，即时取等号，所以．

综上所述，实数的取值范围是．

19．已知函数

(1)设k、m均为实数，当时，的最大值为1，且满足此条件的任意实数x及m的值，使得关于x的不等式恒成立，求k的取值范围；

(2)设t为实数，若关于x的方程恰有两个不相等的实数根且，试将表示为关于t的函数，并写出此函数的定义域．

【答案】(1)

(2)，

【分析】(1)分离参数，得，再借助基本不等式求解即可；

(2)先得出，再对，进行分类讨论.

【详解】（1）当时，，故.

要使得不等式恒成立，

需使，

即对于任意的都成立.

因为，所以.

由，得

 （当且仅当时取等号）

所以；

（2）由函数，得，

①若，则方程变为，

即，则，

为递增函数，，则有；

②若，则方程变为

，即，且，故，

于是分别是方程、的两个根，则，，

即，

由于函数与的图像关于直线对称，

故，

，

故，且，

故此函数的定义域为.

【点睛】方法点睛：对于非二次不等式恒成立求参问题，一般先分离参数，转化为最值问题，进而可借助函数或基本不等式进行求解；方程解的个数可等价于两个不同函数交点个数，分段函数则需要考虑每一段解析式是否成立.

20．对于定义在D上的函数，设区间是D的一个子集，若存在，使得函数在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数，则称函数在区间上具有性质P．

（1）若函数在区间上具有性质P，写出实数a、b所满足的条件；

（2）设c是常数，若函数在区间上具有性质P，求实数c的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）根据定义判断出为二次函数，然后根据的单调性和单调区间判断出的开口以及对称轴，由此得到满足的条件；

（2）先分析函数在区间上为严格增函数和严格减函数时的取值，据此分析出在区间上先递减再递增时的取值范围，由此求解出的取值范围.

【详解】（1）当函数在区间上具有性质P时，由其图象在R上是抛物线，

故此抛物线的开口向上（即），且对称轴是；

于是，实数a，b所满足的条件为：．

（2）记．设，是区间上任意给定的两个实数，

总有．

若，当时，总有且，

故，因此在区间上是严格增函数，不符合题目要求．

若，当时，总有且，

故，因此在区间上是严格减函数，不符合题目要求．

若，当且时，总有且，

故，因此在区间上是严格减函数；

当且时，总有且，

故，因此在区间上是严格增函数．

因此，当时，函数在区间上具有性质P．

【点睛】关键点点睛：本题属于函数的新定义问题，求解本题第二问的关键在于对于性质的理解，通过分析函数不具备性质的情况：严格单调递增、严格单调递减，借此分析出可能具备性质的情况，然后再进行验证即可.