2022-2023学年上海市实验学校高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年上海市实验学校高二下学期期中数学试题

一、填空题

1．过点，且一个法向量为的直线的点法向式方程是________.

【答案】

【分析】根据直线的方向向量与其法向量垂直列式可得.

【详解】在所求直线上任取一点,则所求直线的方向向量为,

再根据直线的方向向量与法向量垂直可得,

,

即.

故答案为: .

【点睛】本题考查了直线的方向向量与法向量以及直线的点法向式方程,属于基础题.

2．若，求圆心坐标为___________.

【答案】

【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得出答案.

【详解】解：由，可得圆的标准方程为，

所以圆心坐标为.

故答案为：.

3．椭圆的焦距是______.

【答案】

【解析】根据椭圆中，，的数量关系求解．

【详解】解：椭圆的焦距是．

故答案为：．

【点睛】本题考查了椭圆中，，的数量关系，属于基础题．

4．双曲线的两条渐近线夹角为________．

【答案】

【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，求出渐近线的斜率，由夹角公式即可求出渐近线的夹角．

【详解】因为双曲线，所以渐近线方程为或，

设两条渐近线的夹角为锐角，

则，所以夹角为．

故答案为

【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法以及夹角公式，属于基础题．

5．已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为______.

【答案】

【分析】把直线方程化为，令，求出，的值即可.

【详解】因为直线可化为，

令，解得，

所以直线过定点，

故答案为：.

6．若原点到直线：的距离为4，则的值是______.

【答案】；

【解析】由点到直线的距离公式得，再求解即可.

【详解】解：由点到直线的距离公式可得：，解得，

故答案为：.

【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，属基础题.

7．已知直线过点且与直线垂直，则圆与直线相交所得的弦长为__

【答案】

【解析】先求出直线的方程，再求出圆心与半径，计算圆心到直线的距离，由垂径定理求弦长．

【详解】解：由题意可得，的方程为，

可化为，圆心，半径，

圆心到的距离，

．

故答案为：．

【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，属于基础题．

8．设是椭圆的两个焦点，在椭圆上，且满足，则的面积是___________．

【答案】

【详解】由题意，得，

即，则，

即，所以的面积为.

点睛：本题考查椭圆的定义和余弦定理的应用；在处理椭圆或双曲线中涉及两个焦点问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义（定和或定差）进行处理，往往再结合正弦定理、余弦定理进行求解.

9．已知，是曲线上的动点，为直线上的一个动点，则的最小值为______.

【答案】

【分析】根据题意，求得关于直线的对称点，结合图像即可得到当三点共线时，取得最小值.

【详解】

如图，曲线是以为圆心，以为半径的圆，

则根据圆的性质可知，的最小值为，

设关于直线的对称点为，

则可得，解得，即，

连接，分别交直线与圆于，

则，

当且仅当三点共线时取等号，此时取得最小值，

所以的最小值为.

故答案为:

10．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___.

【答案】

【分析】设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2, 由余弦定理可得

4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②，在双曲线中，

化简为即4c2=4a12+r1r2…③，，再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的离

心率的倒数之和的最大值.

【详解】设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，

由椭圆和双曲线的定义可知，

设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，

椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2,

∵∠F1PF2=，则∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①

在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②，

在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2…③，

，

由柯西不等式得（1+）（）≥（）2

故答案为

【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关

键．属于难题．

二、单选题

11．“”是“直线与直线相互垂直”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】直线与直线相互垂直得到，再利用充分必要条件的定义判断得解.

【详解】因为直线与直线相互垂直，

所以，

所以.

所以时，直线与直线相互垂直，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分条件；

当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“”是“直线与直线相互垂直”的非必要条件.

所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件.

故选：A

【点睛】方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.

12．已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据直线过定点P ，画出图形，再求出，的斜率，然后利用数形结合求解.

【详解】如图所示：

若直线与线段相交，

则或 ，

因为，，

所以直线的斜率取值范围是.

故选：A.

【点睛】本题主要考查直线斜率的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.

13．已知椭圆：的右焦点为，左顶点为，若上的点满足轴，，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意构建方程，进而转化为的齐次式，从而得到结果.

【详解】∵，

∴

∴，即

∴.

故选：C

14．已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，延长 交椭圆于点，若△为等腰三角形，则椭圆的离心率（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由△为等腰三角形，可知，可求出，设，结合椭圆的定义可求得，过点作轴的垂线，交轴于点，易知，可求出点的坐标，将点的坐标代入椭圆方程，进而可求出离心率.

【详解】在直角三角形中，，且，

易知，，故等腰△中，.

设，则，

由椭圆的定义知，则，解得，所以，

过点作轴的垂线，交轴于点，易知，

所以，故点的坐标为，

将点的坐标代入椭圆方程得，解得，故.

故选：B.

【点睛】本题考查椭圆的性质，考查离心率的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

三、解答题

15．设直线的方程为.

（1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；

（2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求a的值.

【答案】（1）或（2）

【分析】（1）讨论截距是否为0：当截距为0时，过原点，代入可得，进而得直线方程；当截距不为0时，使得截距相等，求得，进而得直线方程；

（2）先求得直线在轴，轴上的截距，结合面积为1，即可解方程求得a的值.

【详解】（1）由题意知，

当直线过原点时，该直线在两条坐标轴上的截距都为0，

此时，直线的方程为；

当直线不过原点时，由截距相等，得，则，

直线的方程为，

综上所述，所求直线的方程为或.

（2）由题意知，直线在轴，轴上的截距分别为、，

，

解得.

【点睛】本题考查了直线方程截距的概念，直线方程的求法，由直线围成图形面积的应用，属于基础题.

16．如图，在宽为14的路边安装路灯，灯柱高为8，灯杆是半径为r的圆C的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶P到路面的距离为10，到灯柱所在直线的距离为2．设Q为圆心C与P连线与路面的交点．

（1）当r为何值时，点Q恰好在路面中线上？

（2）记圆心C在路面上的射影为H，且H在线段上，求的最大值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）以O为原点，以所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设圆心，根据圆心C到A，P的距离相等得到，再由圆心在直线PQ上联立求解.

（2）由（1）知，当时，灯罩轴线所在直线方程为，易得；当时，设灯罩轴线所在方程为：，令得到，然后由，利用基本不等式求解.

【详解】（1）以O为原点，以所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：

则，

∴直线的方程为．

设，则，两式相减得：，

又，解得，

∴．

∴当时，点Q恰好在路面中线上．

（2）由（1）知，

当时，灯罩轴线所在直线方程为，此时

当时，灯罩轴线所在方程为：，

令可得，即，

∵H在线段上，∴，解得．

∴，

当且仅当即时取等号．

∴的最大值为．

【点睛】本题主要考查直线，圆的实际应用以及基本不等式的应用，还考查了数形结合的思想方法和运算求解的能力，属于中档题.

17．设椭圆，直线经过点，直线经过点，直线直线，且直线分别与椭圆相交于两点和两点.

(Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点，且直线轴，求四边形的面积;

(Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0，四边形为平行四边形，求证:;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形能否为矩形，说明理由.

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析

【解析】(Ⅰ)计算得到故，，，，计算得到面积.

(Ⅱ) 设为，联立方程得到，计算，同理，根据得到，得到证明.

(Ⅲ) 设中点为，根据点差法得到，同理，故，得到结论.

【详解】(Ⅰ)，，故，，，.

故四边形的面积为.

(Ⅱ)设为，则，故，

设，，故，

，

同理可得，

，故，

即，，故.

(Ⅲ)设中点为，则，，

相减得到，即，

同理可得：的中点，满足，

故，故四边形不能为矩形.

【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

18．设，椭圆：与双曲线：的焦点相同．

（1）求椭圆与双曲线的方程；

（2）过双曲线的右顶点作两条斜率分别为，的直线，，分别交双曲线于点，（，不同于右顶点），若，求证：直线的倾斜角为定值，并求出此定值；

（3）设点，若对于直线，椭圆上总存在不同的两点与关于直线对称，且，求实数的取值范围．

【答案】（1）椭圆的方程为，双曲线的方程为；（2）详见解析.（3）见解析．

【分析】（1）利用椭圆和双曲线的性质，结合焦点相同，建立方程，计算m值，即可．（2）设出直线方程，代入双曲线方程，建立等式，计算P的坐标，同理得到Q的坐标，结合，可以得到，发现直线PQ与x轴平行，故证之．（3）结合题意，设出直线AB的方程，代入椭圆解析式中，建立方程，计算出AB的中点M坐标，而M又在直线l上，代入，结合题目所提供的不等式，建立不等关系，即可得到b的范围．

【详解】解：（1）由题意，，所以．

所以椭圆的方程为，双曲线的方程为．

（2）双曲线的右顶点为，因为，不妨设，则，

设直线的方程为，

由,得，

则,()，.

同理，，，

又，所以，.

因为，所以直线与轴平行，即为定值，倾斜角为0． ，

（3）设，，直线的方程为，

由整理得，

△，故．

，，

设的中点为，则，，

又在直线 上，所以，．

因为，，

所以

，所以．又，．

即.

【点睛】本道题考查了椭圆与双曲线的性质，直线与圆锥曲线位置关系，难度较大．

19．如图，过点的直线与圆相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一交点为.

（1）当点坐标为(0，-2)时，求直线的方程；

（2）记点关于轴的对称点为（异于点，），求证：直线 恒过定点；

（3）求四边形面积的取值范围.

【答案】（1）；（2）直线恒过定点；（3）.

【解析】（1）当时，直线的斜率为2，由与垂直，直线的斜率为，由此能求出直线的方程；

（2）由对称性可知直线恒过的定点必在轴上，记为，设方程为，，，然后联立直线的方程与圆的方程消元，求出

，，然后利用算出答案即可；

（3）当直线与轴垂直时，求出四边形的面积，当直线与轴不垂直时，设直线方程为，则直线方程为，求出点到直线的距离，从而得到弦长和，然后表示出面积，然后用换元法能求出四边形面积的范围．

【详解】（1）当点坐标为时，直线的斜率为，

因为与垂直，所以直线的斜率为，

所以直线的方程为，即．

（2）设，，则，由对称性可知直线恒过的定点必在轴上，记为

设由题意直线斜率存在且不为，设方程为，代入圆可得：，

∴，，

∵三点共线    ∴，解得

∴

∴直线恒过定点

（3）当直线与轴垂直时，，所以四边形面积．

当直线与轴不垂直时，设直线方程为，即，

则直线方程为，即

点到直线的距离为，所以，

点到直线的距离为，所以，

则四边形面积 ，

令（当时四边形不存在），

所以 ，

综上：四边形面积的取值范围为．

【点睛】结论点睛：（1）圆中的弦长要用几何法计算，较代数法简单；（2）对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长度相乘的一半.

20．如图，已知双曲线的方程为（），两条渐近线的夹角为，焦点到渐近线的距离为．、两动点在双曲线的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，是直线与双曲线右支的一个公共点，.

（1）求双曲线的方程；

（2）当时，求的取值范围；

（3）试用表示的面积，设双曲线上的点到其焦点的距离的取值范围为集合，若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）先由题意，得到双曲线的渐近线方程，根据夹角公式，由题中条件，得到，再由点到直线距离公式，求出，进而可得出结果；

（2）先由题意，设，，，，当，得到代入双曲线方程，得到，再计算向量数量积，即可得出结果；

（3）同（2），设，，，，

由得，代入双曲线方程，得到，再由点到直线距离公式，两点间距离公式，求出，由题中条件，求出，进而可求出结果.

【详解】（1）由题意双曲线渐近线为.

根据夹角公式.

又.

所以.

（2）由题意，设，，，，

当时，，则

所以，整理得；

又，，

所以

，当且仅当时，等号成立；

所以.

（3）同（2），设，，，，

由得，即，

则

所以.

把点的坐标代入双曲线的方程得.

  所以，

因为直线的斜率为，

则直线的方程为，即，

所以点到直线的距离为，

又，

所以，

由题意知，，所以，

.

设是双曲线右支上一点，记双曲线左右焦点分别为，，

由双曲线的性质可得，，

又

，，

所以，即双曲线上的点到其焦点的距离的范围是，

由题意可得，，

令，，

任取，

则显然成立，

所以在上单调递增，

因此，

即.

所以.

【点睛】方法点睛：

圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法：

（1）函数法：用其他变量表示参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解；

（2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的范围；

（3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式求参数的取值范围；

（4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解.