上海市实验学校2023届高三数学下学期开学考试试题（Word版附解析）

上海实验学校高三开学考数学试卷

2023.02

一、填空题（每题5分）

1. 不等式≥0的解集为_______．

【答案】；

【解析】

【分析】把分式不等式转化整式不等式，再利用一元二次不等式的结论求解．

【详解】．

故答案为：．

2. 若，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据，利用两角差的余弦公式可求出结果.

【详解】因为，所以，

所以

.

故答案为：．

3. 已知奇函数的周期为2，且当时，，则的值为_______．

【答案】1

【解析】

【分析】由条件可得，然后可得答案.

【详解】因为奇函数的周期为2，且当时，

所以

故答案为：1

4. 在无穷等比数列中，，，则的各项和____________.

【答案】

【解析】

【分析】求得，，再根据等比数列前项和公式计算即可.

【详解】由题知，无穷等比数列中，，，

所以，解得，

所以，解得，

所以

故答案为：

5. 给出下列命题：

①若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；

②若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行；

③若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.

其中所有正确命题的序号为___________.

【答案】②③

【解析】

【分析】由垂直于同一直线的两直线的位置关系判断①；由直线与平面垂直的性质判断②；由空间中直线与平面的位置关系判断③．

【详解】对于①，若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线有三种位置关系：平行、相交或异面，故①错误；

对于②，根据线面垂直的性质可知，若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行，故②正确；

对于③，若一条直线平行于一个平面，则与该平面垂直的直线与该直线垂直，故③正确．

其中所有正确命题的序号为②③．

故答案为：②③．

6. 已知一组数据的中位数为4，则其总体方差为___________．

【答案】

【解析】

【分析】先利用中位数的定义求出，然后由方差的计算公式求解即可.

【详解】因为数据的中位数为4，

所以，故，

所以这组数据的平均数为，

故方差为，

故答案为：.

7. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，中点横坐标为，则此双曲线的方程是______.

【答案】

【解析】

【分析】设双曲线的标准方程为，利用点差法可求得的值，再结合焦点的坐标可求得和的值，由此可得出双曲线的标准方程.

【详解】设点、，

由题意可得，，，

直线的斜率为，

则，两式相减得，

所以，

由于双曲线的一个焦点为，则，，，

因此，该双曲线的标准方程为.

故答案为：.

【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，涉及点差法的应用，考查计算能力，属于中等题.

8. 在的展开式中，项的系数为________（结果用数值表示）

【答案】

【解析】

【分析】将多项式整理为，由二项式定理可得展开式的通项，令和可求得符合题意的的值，代入可求得结果.

【详解】，

展开式通项公式为，

令，解得：；令，解得：，不合题意；

的系数为.

故答案为：.

9. 函数在内单调递增，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】讨论、、：显然根据解析式知、，函数在内单调递增；，利用基本不等式(注意等号成立的条件)，结合对勾函数的性质判断函数的单调增区间，即可求a的范围.

【详解】当时，在上，单调递增，单调递增，即单调递增，符合题意；

当时，在内单调递增，符合题意；

当时，，

∴若，时，等号不成立，此时在内单调递增，符合题意；

若，时，若当且仅当时等号成立，此时在内单调递增，不符合题意.

综上，有时，函数在内单调递增.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：应用分类讨论，当、时，根据函数解析式直接判断单调性，当时，综合应用基本不等式、对勾函数的性质判断函数的单调区间，进而求出参数范围.

10. 某学校组织学生参加劳动实践活动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名女生互不相邻，且农场主站在中间的概率等于___________．（用数字作答）

【答案】；

【解析】

【分析】根据题意，由排列数公式计算“农场主与6名同学站成一排”和“2名女生互不相邻，且农场主站在中间”的站法数目，由古典概型公式计算可得答案．

【详解】根据题意，农场主与6名同学站成一排，有种不同的站法，

若农场主站在中间，有种不同的站法，农场主人站在中间，两名女生相邻共有种站法，

则2名女生互不相邻，且农场主站在中间的站法有种站法，

则其概率，

故答案为：．

11. 已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为____________.

【答案】

【解析】

【分析】设切点坐标为，根据切线所过的点得到的方程，解出后可得所求的切线方程.

【详解】设切点坐标为，,则切线的斜率，

故切线方程为，又因为点在切线上，

所以，整理得到，

解得，所以切线方程为．

故答案为: .

12. 已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是_______________.

【答案】

【解析】

【分析】讨论与、的大小关系，判断函数在、上的单调性与最小值，根据函数的最小值列方程解出实数的值.

【详解】分以下三种情况讨论：

①若时，即当时，，

所以，函数在上单调递减，且，

当时，，

此时，函数无最小值；

②若时，即当时，，

当时，，

当时，.

，所以，，整理可得，

，解得（舍去）；

③当时，即当时，，

当时，，

当时，.

因为，所以，，整理可得，

，解得或（舍去）.

综上所述，实数的取值集合为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对参数的取值进行分类讨论，化简函数解析式，利用函数的单调性得出函数的最小值，进而求解.

二、选择题（每题5分）

13. 经过点，且方向向量为的直线方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由直线方向向量可得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果.

【详解】直线的方向向量为，直线的斜率，

直线的方程为，即.

故选：A.

14. 设z1，z2为复数，下列命题一定成立的是（    ）

A. 如果，a是正实数，那么

B. 如果，那

C. 如果，a是正实数，那么

D. 如果，那么

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的相关概念结合复数的相关运算逐项分析判断.

【详解】设，

对A：∵，则，

∴，A正确；

对B：∵，即，则，

不能得到，更不能得到，

例如，则，但，B错误；

对C：∵，则，

但只有实数才能比较大小，对于虚数无法比较大小，C错误；

对D：∵，则，

可得，不能得到，

例如，则，但显然，D错误.

故选：A.

15. 设直线与椭圆交于、两点，点在直线上．若，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先消参将参数方程转化为普通方程，得、两点关于原点对称，转化为，则问题转化为定点O到直线上一点P距离为1，建立不等式求斜率范围即可.

【详解】椭圆方程为，椭圆中心在原点，直线与椭圆交于、两点，

则由对称性可知，、关于原点对称，所以，

所以，故原点到直线的距离，

解得或，

故选：D.

【点睛】关于三角形中线的向量表示：

在中，是边上的中线，则.

16. 已知函数的定义域为，值域为， 函数具有下列性质：（1）若，则；（2）若，则.下列结论正确的是（     ）

①函数可能是奇函数；

②函数可能是周期函数；

③存在，使得；

④对任意，都有.

A. ①③④ B. ②③④ C. ②④ D. ②③

【答案】B

【解析】

【分析】利用函数奇偶性、周期性的定义以及函数所满足的两个性质对①②③④逐一分析可解.

【详解】解：对①：若为奇函数，则.令，由（2）知，

而与（1）矛盾，所以①错误.

对②：若为周期函数，则(其中为非零常数)，

当（比如）值域时，令，

则（1）成立；（2）也成立，故②正确.

对③：由②可知，存在，使为任意非零常数，所以可使，故③正确.

对④：令，则由（1）知，从而，所以，

所以④正确.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：牢牢抓住所满足的两个性质以及函数的奇偶性、周期性的定义进行分析判断.

三、解答题（每题14分）

17. 在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AC＝，BA＝BC＝2，O是线段AC的中点，M是线段BC的中点．

（1）求证：PO⊥平面ABC；

（2）求直线PM与平面PBO所成角的大小．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用勾股定理得，从而，结合等边三角形的特点得，利用勾股定理得出，进而证得结论；

（2）过点作交于点，可证得面，则是直线与平面所成的角，求出即可得出答案．

【小问1详解】

（1）由，有，从而有

且

又是边长等于的等边三角形

又，从而有

又，平面,平面．

【小问2详解】

过点作交于点，连

由（1）知平面，平面,得

又，，平面，平面

则是直线与平面所成的角．

由，得，从而为线段的中点

所以直线与平面所成角大小为．

18. 数列中，已知，()．

（1）证明：数列为等比数列；

（2）记，数列的前n项和为，求使得的整数n的最小值．

【答案】（1）证明见解析；（2）10．

【解析】

【分析】（1）由递推式可得，并求出，依据等比数列的定义可证结论；

（2）由（1）求出，进而写出，应用裂项相消法求，最后依据题设不等式求的范围，进而确定其最小值.

【详解】（1）证明：由，得，从而，

∴，又，

故数列为等比数列；

（2）解：由（1）得，故，

∴，

，

令，则，解得，

∵，

∴．

故使得的整数n的最小值为10；

19. 如图，A、B、C三地在以O为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，，D是圆形区域外一景点，，.

（1）O、A相距多少公里？（精确到小数点后两位）

（2）若一汽车从A处出发，以每小时50公里的速度沿公路AD行驶到D处.需要多少小时？（精确到小数点后两位）

【答案】（1）15.28公里   

（2）1.25小时

【解析】

【分析】（1）由余弦定理求出，由正弦定理得到的外接圆半径，即可求出O、A相距多少公里；

（2）求出，由正弦定理求出，由余弦定理计算出公路AD的长，根据汽车的速度，即可求出所需的时间.

【小问1详解】

由题意，设圆的半径为R，

在中，，，，

由余弦定理，

由正弦定理，

，

解得：,

由几何知识得，O、A间的距离即为半径，

∴，

∴O、A相距15.28公里

【小问2详解】

由题意及（1）得

在中，，，，

∴，

在中，，，，

由正弦定理，

，

∴在中，

，

由余弦定理，

，

∵一汽车从A处出发，以每小时50公里的速度沿公路AD行驶到D处，

∴所需时间：，

∴需要1.25小时.

20. 已知椭圆：的左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于不同的两点.

（1）若直线经过，求的周长；

（2）若以线段为直径的圆过点，求直线的方程；

（3）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）或；（3）

【解析】

【分析】（1）由椭圆定义知所求周长，由此得到结果；

（2）当直线斜率不存在时，易知；当直线斜率存在时，将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理形式，由，利用平面向量数量积的坐标运算可构造方程求得，得到直线方程；综合两种情况可得结果；

（3）当直线斜率不存在时，可得坐标，由此可确定的取值；当直线斜率存在时，由得，利用可得与的关系，借助的范围可得的范围，解不等式可求得的取值范围；综合两种情况可得结果.

【详解】（1）由椭圆定义知：，

则的周长.

（2）当直线斜率不存在时，直线，设，，

则，符合题意；

当直线斜率存在时，设直线，，，

联立直线与椭圆得：，

，解得：，

则，，

又，，

，

即，

，解得：，满足，

直线的方程为：或；

（3）①当直线斜率不存在时， 直线，

若，，则，，，此时；

若，，则，，，此时；

②当直线斜率存在时，设直线，，，

又，即，故，

由（2）知：，即

，

又，故，，，

即，或；

综上所述：实数取值范围为.

【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中取值范围问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：

①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；

②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；

③利用韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式；

④化简所得函数式，利用函数值域的求解方法求得取值范围.

21. 已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）设，讨论函数在上的单调性；

（3）证明：对任意的，有．

【答案】（1）   

（2）在上单调递增.   

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；

（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；

（3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证.

【小问1详解】

解：因为，所以，

即切点坐标为，

又，

∴切线斜率

∴切线方程为：

【小问2详解】

解：因为，   

所以，

令，

则，

∴在上单调递增，

∴

∴在上恒成立，

∴在上单调递增.

【小问3详解】

解：原不等式等价于，

令，，

即证，

∵，

，

由（2）知在上单调递增，

∴，

∴

∴在上单调递增，又因为，

∴，所以命题得证.