2023衡阳师范学院祁东附中高二上学期期中考试数学试卷含答案

衡师祁东附中2022年下学期期中考试试卷

高二数学

第Ⅰ卷（选择题）

一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一项是符合题目要求）

1．抛物线的焦点坐标为（    ）

A． B． C． D．

2．若向量，且与的夹角余弦值为，则实数等于（    ）

A．0或 B． C．0 D．0或

3．如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（    ）

A． B． C． D．

4．已知直线斜率为k，且那么倾斜角α的取值范围是（    ）

A．  B．

C．  D．

5．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

6．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（且）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比满足：，当P、A、B三点不共线时，面积的最大值是（    ）

A． B． C．2 D．

7．已知是椭圆的左焦点，P为椭圆上的动点，椭圆内部一点M的坐标是，则的最大值是（    ）

A．10 B．11 C．13 D．21

8．已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，过作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一渐近线交于点B，若，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分；错选0分，部分选对2分）

9．已知曲线的C方程为，则下列结论正确的是（    ）

A．当时，曲线C为圆

B．曲线C为椭圆的充要条件是

C．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则

D．存在实数k使得曲线C为抛物线

10．已知m，n是两条不同的直线，α，β，是三个不同的平面．下列说法中正确的是（    ）

A．若，，，则

B．若，，则

C．若，，

D．若，，，则

11．设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A，B两点，则（    ）

A．为定值

B．的周长的取值范围是

C．当时，为直角三角形

D．当时，的面积为

12．如图，在棱长为1的正方体中，M为BC的中点，则下列结论正确的有（    ）

A．AM与所成角的余弦值为

B．C到平面的距离为

C．过点A，M，的平面截正方体所得截面的面积为

D．四面体内切球的表面积为

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若：与：平行，则，的距离为________．

14．若实数x，满足，则的取值范围为________．

15．过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点构成的三角形的周长为________．

16．在四棱锥中，已知底面ABCD，，，，，M是平面SAD内的动点，且满足．则当四棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为________．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本题满分10分）已知，；

（1）若，求实数k的值：

（2）若，且，求的坐标．

18．（本题满分12分）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点．

（1）求椭圆的标准方程：

（2）若直线与椭圆交于A、B两点，求AB中点的坐标．

19．（本题满分12分）已知在三棱柱中，底面是正三角形，底面ABC，，，点E，F分别为侧棱和边的中点．

（1）求证：平ACE面：

求直线AF与平面ACE所成角的正弦值：

（3）求二面角的余弦值．

20．（本题满分12分）已知圆C经过，两点，且圆心在直线：

上．

（1）求圆C的方程；

已知过点的直线与圆C相交，被圆C截得的弦长为2，求直线的方程．

21．（本题满分12分）如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，平面平面，且，，，且．

（1）设点M为棱PD中点，求证：平面ABCD；

（2）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平PCD面所成角的正弦值等于?若

存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

22．（本题满分12分）已知椭圆C：的长轴为双曲

线的实轴，且椭圆C过点．

（1）求椭圆C的标准方程：

（2）设点A，B是椭圆C上异于点P的两个不同的点，直线PA与PB的斜率均存在，分别记为，，若，试问直线AB是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．

参考答案：

1．B

【分析】根据抛物线的标准方程以及焦点坐标求解即可

【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为．

故选：B

2．A

【分析】由空间向量夹角余弦的坐标表示直接计算可得．

【详解】由题知，

即，解得或．

故选：A

3．C

【分析】结合空间向量的线性运算即可求出结果．

【详解】，

故选：C．

4．A

【分析】根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角α的取值范

围．

【详解】解：直线l的斜率为k，且，

∴，．

∴．

故选：A．

5．B

【分析】取AC的中点N，连接MN、BN，分析可知异面直线BM与CD的夹角为或其补角，计算出三边边长，分析可知为直角三角形，即可求得的余弦值，即为所求．

【详解】取AC的中点N，连接MN、BN，如下图所示：

因为M、N分别为AD、AC的中点，则且，

所以，异面直线BM与CD的夹角为或其补角，

因为平面BCD，平面BCD，∴，则，

∴，同理可得，∴

所以，，则．

故选：B．

6．B

【分析】根据给定条件建立平面直角坐标系，求出点P的轨迹方程，探求点P与直线AB的

最大距离即可计算作答．

【详解】依题意，以线段AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图，

则，，设，

因，则，化简整理得：，

因此，点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，点P不在x轴上时，与点A，B可构成三角形，

当点P到直线AB（x轴）的距离最大时，的面积最大，

显然，点P到x轴的最大距离为，此时，，

所以面积的最大值是．

故选：B

7．D

【分析】利用椭圆的定义转化为P到M和到另一焦点的距离的差的最大值来解决．

【详解】解：如图，

由椭圆，得，，

∴，

得，则椭圆右焦点为，

则

．

当P与射线与椭圆的交点重合时取到等号，

∴的最大值为21．

故选：D．

8．A

【分析】根据题意设出直线AB的方程，然后分别联立直线方程求解出A，B坐标，根据向量共线对应的纵坐标关系求解出a，c的关系，则离心率可求．

【详解】不妨设过的直线AB与垂直，所以：：，

因为，所以，所以，

又因为，，所以，所以，

又因为，所以，所以，

所以，所以，所以，

故选：A．

【点睛】方法点睛：求解双曲线离心率的值或范围的常用方法：

（1）根据双曲线的方程直接求解出a，c的值，从而求解出离心率；

（2）构造关于a，c的齐次方程，求解出的值，从而离心率可知；

（3）根据离心率的定义以及双曲线的定义求解离心率；

（4）利用双曲线及图形的几何性质构建关于e的不等式，从而e的范围可求．

9．AC

【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线标准方程的特征即可逐项判断求解．

【详解】对于A，当时，曲线C的方程为，此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，所以A正确；

对于B，若曲线C为椭圆，则，且，所以B错误；

对于C，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，，解得，所以C正确；

对于D，曲线C不存在x，y的一次项，所以曲线C不可能是抛物线，所以D错误．

故选：AC．

10．AD

【分析】根据空间中的线面、面面关系逐一判断即可．

【详解】由线面平行的性质可得A正确；

若，，则或，故B错误；

由，，推不出，也可能有，故C错误：

若，，则，又，则，故D正确；

故选：AD

11．ACD

【分析】对选项进行逐一判断．由椭圆的定义判断A；由为定值以及的范围判断B；求出A，B坐标，由数量积公式得出，得出为直角三角形判断C；

求出A，B坐标，由面积公式得出的面积判断D．

【详解】设椭圆的左焦点为，则

所以为定值，A正确：

的周长为，因为为定值6，

所以的范围是，所以的周长的范围是，B错误；

将与椭圆方程联立，可解得，

又因为，∴．

所以为直角三角形，C正确：

将与椭圆方程联立，解得，，所以，D正确．

故选：ACD

12．ABD

【分析】对于A运用空间向量的夹角公式求解即可：对于B利用等体积法或者空间向量的线面角求法求解即可：对于C根据基本事实：两平行线确定一个平面，作出截面再根据平面几何知识求解面积即可：对于D利用正四面体的体积与内切球球心与各个顶点连线组成的四个小三棱锥的体积之和相等，求内切球半径，进而求其表面积．

【详解】对于A，构建如图①所示的空间直角坐标系，则，，，，

∴，，

∴；故A正确；

对于B，方法1：如图②，连接AC，由正方体几何特征得，，

又∵面，面，∴面，

设C到平面的距离为d，即点A到平面的距离，，

即，求得．

方程法2：根据图①，，，∴，，

设平面的法向量，则，即，令得：，

∴平面的一个法向量为，，

设C到平面的距离为d，则，故B正确；

对于C，取的中点N，连接MN，，，则，如图②所示，

则梯形为过点A，M，的平面截正方体所得的截面，

易知，，，

可得梯形的高为，

则梯形的面积，故C错误；

对于D，易知四面体的体积，

因为四面体的棱长都为，所以其表面积．

设四面体内切球的半径为r，则，解得，

所以四面体内切球的表面积为，故D正确．

故选：ABD．

13．

【分析】先由两直线平行求解加，再利用平行线间的距离公式，即得解

【详解】由题意，直线：﹐

直线，故，即．

故：，：，

则，的距离．

故答案为：

14．

【分析】条件方程化为，即为圆心为，半径为1的圆，

为与连线的斜率，由数形结合，求出直线与圆相切的斜率，即可求解

【详解】由题得，，即为圆心为，半径为1的圆，

为与连线的斜率，记为k，如图所示，

∵，∴斜率存在，设过的直线为，

则当直线与圆相切时，有，解得，

由图易得k在直线与圆的两切线斜率之间，故

故答案为：

15．4

【分析】先将椭圆的方程化为标准形式，求得半长轴a的值，然后利用椭圆的定义进行转化即可求得．

【详解】解：椭圆方程可化为，显然焦点在y轴上，

根据椭圆定义，，

所以的周长为．．

故答案为4．

16．

【分析】分析可知，然后以点以点A为坐标原点，AD、AB、AS所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设点，求出点M的轨迹方程，可知当点M到平面ABCD的距离最大时，四棱锥的体积最大，设点，设三棱锥的球心为，列方程组求出点O的坐标，可求得球O的半径，再利用球体表面积公式可求得结果．

【详解】因为，，，，则四边形ABCD为直角梯形，

∵平面ABCD，平面ABCD，则，

∵，，∴平面SAD，则平面SAD，

∵AM﹑平面SAD，∴，，则，

故，

∵平面ABCD，，以点A为坐标原点，AD、AB、AS所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，设点，

由可得，化简可得，

即点M的轨迹为圆，当点M到平面ABCD的距离最大时，四棱锥的体积最大，不妨设点，设三棱锥的球心为，

由，可得，解得，

所以，三棱锥的外接球球心为，球O的半径为，

因此，三棱锥的外接球的表面积为．

故答案为：．

【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法．①补形法．侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；

④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径．

17．（1）

（2）或

【分析】（1）利用，即可计算求解．

（2）由已知，可设，根据，列方程即可求出．

（1）

由已知得，，得

，解得

（2）

设，由，可得

，得到，求得，

∴，则或

18．（1）；（2）．

【分析】（1）由椭圆的焦点坐标和椭圆的定义，可得椭圆的标准方程；

（2）联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系得出AB中点的坐标．

【详解】（1）由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为，

由椭圆定义知，

，

所以，所以，

所求椭圆标准方程为．

（2）设直线与椭圆的交点为，，

联立方程，得，

得，．

设AB的中点坐标为，则，，

所以中点坐标为．

19．（1）证明见详解：

（2）；

（3）

【分析】（1）取AC的中点O，以O为点建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，从而得，，的坐标，即可由向量数量积公式证明得，，由线面垂直的判定定理可证明得平面ACE；（2）由（1）得平面ACE的一个法向量，再由，根据向量法计算线面夹角的正弦值；（3）设平面FCE的法向量为，由数量积列式计算，再由平面ACE的一个法向量，根据向量法求解面面角的余弦值．

（1）

取AC的中点O，连接OF，OB，则，平面ABC．

如图，以O为原点，分别以，，的方向

为轴x、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

依题意，可得：，，，，，．

∵，，，

∴，，即 ，．

又，，平面ACE．

∴平面ACE．

（2）

由（1）知平面ACE的一个法向量，

设直线AF与平面ACE所成角为α，∵，

∴，

所以直线AF与平面ACE所成角的正弦值为．

（3）

设平面FCE的法向量为，

∵，，

∴，即，

解得．

由（1）可知平面ACE的一个法向量，

设二面角的平面角为，易知，

∴，

所以二面角的余弦值为．

20．（1）

（2）或．

【分析】（1）因为垂径定理得到圆心在AB的垂直平分线上，从而求得圆心坐标以及圆C的方程；

（2）由于弦长已知，半径已知，可以求得圆心C到直线的距离，并将直线分为斜率存在和斜率不存在，从而通过圆心C到直线的距离公式，得到直线的方程．

（1）

线段AB的中点为，直线AB的斜率为1，

所以线段AB的垂直平分线为，即

又因为圆心C在直线：上

由解得，

（2）

所以圆心为，半径为，

所以圆C的方程为．

（2）

当直线的斜率不存在时，由，得或

即直线与圆C相交所得弦长为符合题意．

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

由于圆C到的距离，所以，解得

所以，即

综上所述，直线的方程为或．

21．（1）证明：∵平面平面ABPE，

平面平面，

∴平面ABCD，又，∴直线BA，BP，BC两两垂直，

以B为原点，分别以BA，BP，BC为x轴，y轴，z轴

建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，，

∴，∴，．

∵平面ABCD，

∴为平面ABCD的一个法向量，

∵，∴．

又平面ABCD，∴平面ABCD．

（2）当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为

理由如下：

∵﹐设平面PCD的法向量为，

则．令，得．

假设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角α的正弦值等

于．设，

∴

∴．

∴，解得或（舍去）

∴当N点与D点重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于．

22．（1）

（2）过定点

【分析】（1）由题意可得，，求出，从而可得椭圆方程，

（2）分直线AB的斜率存在和不存在两种情况讨论，设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，求出直线PA与PB的斜率，再由列方程可得参数的关系，代入直线方程可求出直线恒过的定点．

（1）

因为椭圆C：的长轴为双曲线的实轴，

所以，

因为椭圆C过点，

所以，，得

所以椭圆方程为，

（2）

①当直线AB的斜率存在时，设其方程为，，，

由，得，

所以，

所以，

，

因为，

所以，

所以，

所以，

所以，

化简得，

即，

所以或，

当时，直线AB的方程为，

则直线过定点（舍去），

当时，直线AB的方程为，

所以直线过定点，

②当直线AB的斜率不存在时，设直线为，

由，得

所以，

所以，

解得（舍去），或，

所以直线也过定点，

综上，直线AB恒过定点．